피타고라스 삼각 항등식

Last Updated on 2025-10-01 by BallPen

피타고라스 삼각 항등식을 증명해 봐요.

피타고라스 삼각 항등식(Pythagorean trigonometric identity)을 증명해 보겠습니다.

아래는 이 글의 목차입니다.

1. 피타고라스 항등식

좌표평면위에서 빗변의 길이가 r인 직각삼각형에 피타고라스(Pythagoras) 정리를 적용하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{1}
x^2 + y^2 = r^2
\end{align}

그리고 x=r \cos \theta, y=r \sin \theta를 (1)식에 대입하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{2}
(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = r^2
\end{align}

이 식을 정리하면 다음의 피타고라스 기본 항등식이 유도됩니다.

\begin{align}
\tag{3}
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\end{align}

2. 피타고라스 삼각 항등식

2-1. 첫번째 식

피타고라스 기본 항등식인 (3)식의 양변을 \cos^2 \theta로 나눠 봐요.

\begin{align}
\tag{4}
{{\sin^2 \theta}\over{\cos^2 \theta}} + {{\cos^2 \theta}\over{\cos^2 \theta}} = {1 \over{\cos^2 \theta}}
\end{align}

그러면 다음 식이 성립합니다.

\begin{align}
\tag{5}
\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta
\end{align}

2-2. 두번째 식

이번에는 피타고라스 기본 항등식인 (3)식의 양변을 \sin^2 \theta로 나눠 봐요.

\begin{align}
\tag{6}
{{\sin^2 \theta}\over{\sin^2 \theta}} + {{\cos^2 \theta}\over{\sin^2 \theta}} = {1 \over \sin^2 \theta}
\end{align}

그러면 다음 식이 성립합니다.

\begin{align}
\tag{7}
1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
\end{align}

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