cot(wt) 적분 - ilovemyage

BallPen · 2024-02-14T21:44:23+09:00

cot(wt) 적분 풀이를 설명합니다.

Last Updated on 2024-02-19 by BallPen

$\int \cot(wt)dt$ 를 적분해 보겠습니다.

$\cot(wt)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 다음과 같습니다. 여기서 $w$ 는 상수에요.

\tag{D1} \begin{align} \int\cot(wt)dt ={1 \over w} \ln|\sin(wt)|+c \end{align}

위 (D1)식이 어떻게 도출되는지 함께 유도해 봐요.

우선 식을 쓰면 다음과 같아요.

\tag{1} \int\cot(wt)dt = \int{{\cos(wt)}\over{\sin(wt)}}dt

그리고(1)식의 분모에 있는 $\sin(wt)$ 를 $u$ 로 치환하겠습니다. 그리고 미분할게요.

\tag{2} \begin{align} &\color{blue}\sin(wt)=u\\[5pt] &w\cos(wt)dt = du\\[5pt] &\color{blue}\cos(wt)dt = {1 \over w}du \end{align}

(2)식의 첫번째와 마지막 줄을 (1)식에 대입하고 정리해 보세요.

\tag{3} \begin{align} \int\cot(wt)dt &=\int{1 \over u} {1 \over w}du\\[10pt] &={1 \over w} \int{1 \over u} du\\[10pt] &={1 \over w} \Big(\ln|u|+c\Big)\\[10pt] &={1 \over w} \ln|\sin(wt)|+c \end{align}

윗식의 마지막 줄에서 $1 \over w$ 과 적분상수 $c$ 의 곱을 상수 $c$ 로 나타내었어요. 어차피 상수와 상수의 곱은 다시 상수가 될 뿐입니다.

그 결과 (D1)식이 성공적으로 도출되었습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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