크래머 공식(Cramer's rule)

BallPen · 2024-08-06T22:43:04+09:00

크래머 공식(Cramer's rule)이란 행렬 연산 규칙을 통해 연립방정식의 미지수를 구하는 공식을 말합니다. 간단한 연립방정식은 소거법으로 미지수를 쉽게 구할 수 있지만, 연립방정식이 복잡한 경우 크래머 공식이 미지수를 구하는데 더 유용합니다.

Last Updated on 2024-08-07 by BallPen

연립 1차 방정식을 푸는데 사용되는 크래머 공식을 알아 봐요.

크래머 공식(Cramer’s rule)이란 1차 연립방정식을 행렬로 변환한 후 미지수 $x$ 와 $y$ 를 구하는 공식을 말합니다.

예를 들어 아래 왼쪽의 연립방정식을 행렬로 표현하면 오른쪽과 같아요. 이때 아래 식에서 붉은색 행렬을 $\bold A$ 행렬이라고 해봐요.

\begin{cases} ax + by =c\\ dx + ey =f\\ \end{cases} ~~~~~ \rightarrow ~~~~~ {\color{red} \begin{pmatrix} a & b \\ d & e \end{pmatrix} } \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\f \end{pmatrix}

그리고 위 식에서 $x$ 와 $y$ 를 구하는 아래의 공식을 ‘크래머 공식’이라고 말합니다.

\begin{align*} x={1 \over {det (\bold A)}} \begin{vmatrix} c & b\\ f & e \end{vmatrix} \end{align*} ~~~~~,~~~~~ \begin{align*} y={1 \over {det (\bold A)}} \begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix} \end{align*}

여기서 $det(\bold A )$ 는 $\bold A$ 행렬의 행렬식(determinant)을 뜻해요.

그럼 이제부터 크래머 공식이 어떤 과정으로 만들어지는지 구체적으로 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 연립방정식 풀이: 소거법
2. 연립방정식 풀이: 크래머 공식
- 2-1. 2×2 행렬의 경우
  - [2×2 행렬의 행렬식]
- 2-2. 3×3 행렬의 경우
  - [3×3 행렬의 행렬식]
3. 크래머 공식 예제
- 3-1. 2×2 행렬의 경우
- 3-2. 3×3 행렬의 경우

1. 연립방정식 풀이: 소거법

아래를 보면 1차 방정식 2개가 있는데요. 여기서 $a$ 부터 $f$ 까지의 알파벳은 우리가 알고 있는 어떤 숫자들이에요. 그럼 이 두개의 방정식을 연립해서 미지수 $x$ 와 $y$ 를 구해보세요.

\tag{1} \begin{cases} ax + by =c ~~~~~~~~~~~~~\cdots \small\textcircled{1}\\ dx + ey =f~~~~~~~~~~~~\cdots \small\textcircled{2}\\ \end{cases}

방정식의 갯수가 2개뿐이므로 미지수를 구하는 가장 쉬운 방법은 소거법(elimination method)을 적용해서 푸는 거에요. 이를 위해 위 $\textcircled{1}$ 식의 양변에 $d$ 를 곱하고, $\textcircled{2}$ 식의 양변에 $a$ 를 곱한 후 $\textcircled{2}$ 식에서 $\textcircled{1}$ 식을 빼보세요.

그 결과는 다음과 같습니다.

\begin{align*} &~~~{{\cancel {adx}}+aey=af}\\ &~~~{{\cancel {adx}}+bdy=cd}\\ &---------\\ &\color{blue}aey-bdy = af-cd \end{align*}

그리고 윗 식에서 파랑색 수식을 $y$ 에 대해 정리하면 다음과 같아요.

\tag{2} y = {{af - cd}\over{ae - bd}}

동일한 방식으로 이번에는 위 $\textcircled{1}$ 식의 양변에 $e$ 를 곱하고, $\textcircled{2}$ 식의 양변에 $b$ 를 곱한 후 $\textcircled{1}$ 식에서 $\textcircled{2}$ 식을 빼보세요.

\begin{align*} &~~~{{{aex}}+{\cancel {bey}}=ce}\\ &~~~{{{bdx}}+{\cancel {bey}}=bf}\\ &---------\\ &\color{blue}aex-bdx = ce -bf \end{align*}

그리고 윗 식에서 파랑색 수식을 $x$ 에 대해 정리하면 다음과 같아요.

\tag{3} x= {{ce - bf}\over{ae - bd}}

이와 같이 소거법을 이용하면 미지수 $x$ 와 $y$ 를 (2)식과 (3)식으로 쉽게 구할 수 있어요.

2. 연립방정식 풀이: 크래머 공식

위에서 설명드린 것처럼 간단한 연립방정식은 소거법을 이용해 미지수 $x$ 와 $y$ 를 쉽게 구할 수 있어요. 그런데 연립 방정식을 행렬로 표현하면 소거법과는 다른 방식으로도 미지수를 구할 수 있는데요.

이때 사용되는 공식을 크래머 공식(Cramer’s rule)이라고 합니다. 물론 공식 풀이 결과는 (2), (3)식의 결과와 같아요.

예를 들어 행렬이 2행 2열인 2×2 행렬과 3행 3열인 3×3 행렬이 포함된 경우에 미지수를 구하는 크래머 공식을 각각 유도해 볼께요.

2-1. 2×2 행렬의 경우

(1)식의 연립방정식을 행렬로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{4} \begin{pmatrix} a & b\\ d & e\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\ f \end{pmatrix}

그리고 (4)식을 풀이하여 $x$ 와 $y$ 를 구한 결과가 (2)와 (3)식과 동일한 형태가 나오도록 연산법을 정하면 되는 거에요.

이를 위해서는 우선 행렬식(determinant)이라는 것을 먼저 잠시 알아봐요.

[2×2 행렬의 행렬식]

(4)식의 가장 왼쪽에 있는 2×2 행렬을 $\bold A$ 행렬이라고 했을 때 그 행렬식은 ‘ $det (\bold A)$ ‘라고 표기하고 연산법은 아래 그림과 같아요.

[그림 1] 2x2 행렬의 판별식. 크래머 공식 계산을 위해서는 행렬의 판별식을 구할 수 있어야 합니다. — [그림 1] 2×2 행렬의 행렬식. 크래머 공식 계산을 위해서는 행렬의 행렬식을 구할 수 있어야 합니다.

그림과 같이 2×2 행렬의 행렬식은 대각선 성분끼리 서로 곱한 후 빼주면 됩니다. 그런데 왜 저렇게 계산하는가 하고 궁금할 텐데요. 그냥 약속된 행렬 계산 규칙이라고 생각하세요.

그림과 같이 행렬식 결과는 $ae-bd$ 가 나오는데요. 이 결과는 (2)식과 (3)식의 분모와 같다는 것을 알 수 있어요.

그러므로 (2)식과 (3)식의 분모는 (4)식에 주어진 2×2 행렬의 행렬식인 거에요.

그렇다면 (2)식과 (3)식의 분자는 어떻게 나온 것일까요? 그것은 $x$ 를 구할 때 $\bold A$ 행렬의 첫번째 열을 (4)식의 우변에 있는 행렬로, $y$ 를 구할 때 $\bold A$ 행렬의 두번째 열을 (4)식의 우변에 있는 행렬로 치환 후 그 행렬식을 계산한 거와 같아요.

말로 설명하니 복잡하지만 아래와 같아요.

x를 ~구할 때\rightarrow \begin{vmatrix} {\color{red} c} & b\\ {\color{red}f} & e \end{vmatrix} =ce-bf\\[10pt] y를 ~구할 때\rightarrow \begin{vmatrix} a & {\color{red}c}\\ d & {\color {red}f} \end{vmatrix} =af-cd\\

계산을 왜 이렇게 하는지 크게 고민하지 마세요. 단지 크래머 공식 계산 규칙이며, 이 방법을 적용하면 (2)식과 (3)식의 분자와 같은 결과를 얻을 수 있다는 것이 중요해요.

결국 미지수 $x$ 와 $y$ 는 지금까지 설명한 계산 규칙을 적용하면 다음과 같이 표기할 수 있어요. 그리고 이 식을 ‘크래머 공식’이라 부릅니다.

\tag{5} x= {{ \begin{vmatrix} {\color{red}c} & b\\ {\color{red}f} & e \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix} }} = {1 \over {det (\bold{A})}} \begin{vmatrix} {\color{red}c} & b \\ {\color{red}f} & e \end{vmatrix} ={{ce - bf}\over{ae - bd}}

\tag{6} y= {{ \begin{vmatrix} a & {\color{red}c}\\ d & {\color{red}f} \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix} }} = {1 \over {det (\bold{A})}} \begin{vmatrix} a & {\color{red}c} \\ d & {\color{red}f} \end{vmatrix} ={{af - cd}\over{ae - bd}}

2-2. 3×3 행렬의 경우

아래 (7)식에는 3행 3열의 3×3 행렬이 포함되어 있어요. 이 행렬을 계산해서 미지수 $x, ~y, ~z$ 를 구하는 크래머 공식을 만들어 봐요.

\tag{7} \begin{pmatrix} a & b & c\\ e & f & g\\ i & j & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d\\ h\\ l \end{pmatrix}

그 방법은 (5)식과 (6)식의 형태를 3×3 행렬에 맞게 확장하면 됩니다. 여기서 $det({\bold B})$ 는 (7)식에 주어진 3×3 행렬의 행렬식을 의미해요.

\tag{8} x= {{ \begin{vmatrix} {\color{red}d} & b & c\\ {\color{red}h} & f & g\\ {\color{red}l} & j & k \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} a & b & c\\ e & f & g\\ i & j & k \end{vmatrix} }} = {1 \over {det (\bold{B})}} \begin{vmatrix} {\color{red}d} & b & c \\ {\color{red}h} & f & g\\ {\color{red}l} & j & k \end{vmatrix}

\tag{9} y= {{ \begin{vmatrix} a & {\color{red}d} & c\\ e & {\color{red}h} & g\\ i & {\color{red}l} & k \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} a & b & c\\ e & f & g\\ i & j & k \end{vmatrix} }} = {1 \over {det (\bold{B})}} \begin{vmatrix} a & {\color{red}d} & c \\ e & {\color{red}h} & g\\ i & {\color{red}l} & k \end{vmatrix}

\tag{10} z= {{ \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}d}\\ e & f & {\color{red}h}\\ i & j & {\color{red}l} \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} a & b & c\\ e & f & g\\ i & j & k \end{vmatrix} }} = {1 \over {det (\bold{B})}} \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}d} \\ e & f & {\color{red}h}\\ i & j & {\color{red}l} \end{vmatrix}

그런데 문제는 3×3 행렬의 행렬식을 어떤 방식으로 구하느냐가 궁금할 거에요. 아래에 그 방법을 설명드립니다.

[3×3 행렬의 행렬식]

우선 2×2 행렬의 행렬식은 [그림 1]과 같이 대각선끼리 곱한 후 서로 빼주면 구할 수 있었어요. 이 규칙을 그대로 3×3 행렬에 적용해 보세요.

그러면 아래 [그림 2]와 같아요.

그림과 같이 녹색 대각선 방향으로 3개의 원소를 곱하고 주황 대각선 방향으로 3개의 원소를 곱한 후 서로 빼주는 방식이에요.

[그림 2] 3x3 행렬의 판별식. 크래머 공식 계산을 위해서는 행렬의 판별식을 구할 수 있어야 합니다. — [그림 2] 3×3 행렬의 행렬식. 크래머 공식 계산을 위해서는 행렬의 행렬식을 구할 수 있어야 합니다.

그림을 잘 보면 이해할 수 있을 거에요. 처음에는 다소 복잡해보이지만 연필잡고 몇 번 손으로 계산해보면 쉽게 할 수 있어요.

3. 크래머 공식 예제

3-1. 2×2 행렬의 경우

아래 연립방정식의 미지수 $x$ 와 $y$ 를 구해 보세요.

\tag{eq-1} \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 62\\ 56 \end{pmatrix}

$x$ 와 $y$ 를 구하기 위해서는 (5)와 (6)식의 크래머 공식을 적용하면 됩니다.

\tag{eq-2} x= {{ \begin{vmatrix} {\color{red}62} & 2\\ {\color{red}56} & 1 \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 4 & 1 \end{vmatrix} }} ={{62 \cdot1 - 2 \cdot 56}\over{3\cdot 1 - 2 \cdot 4}} =10

\tag{eq-3} y= {{ \begin{vmatrix} 3 & {\color{red}62}\\ 4 & {\color{red}56} \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 4 & 1 \end{vmatrix} }} ={{3 \cdot 56 - 62 \cdot 4}\over{3 \cdot 1 - 2 \cdot 4}}=16

3-2. 3×3 행렬의 경우

아래 연립방정식의 미지수 $x$ , $y$ , $z$ 를 구하세요.

\tag{eq-4} \begin{pmatrix} -1 & 4 &3\\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}

미지수를 구하기 위해 (8), (9), (10)식의 크래머 공식을 적용합니다. 행렬식은 [그림 2]와 같이 대각선 방향으로 곱한 후 서로 빼주는 것을 기억하세요.

\tag{eq-5} x= {{ \begin{vmatrix} {\color{red}2} & 4 & 3\\ {\color{red}1} & 2 & 2\\ {\color{red}0} & -3 & 5 \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} -1 & 4 & 3\\ 0 & 2 & 2\\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} }}= {{[20-(-12)]+[0-20]+[(-9)-0]}\over{[(-10) -6) ]+[8-0]+[0-6]}}={{3}\over{-14}}

\tag{eq-6} y= {{ \begin{vmatrix} -1 & {\color{red}2} & 3\\ 0 & {\color{red}1} & 2\\ 1 & {\color{red}0} & 5 \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} -1 & 4 & 3\\ 0 & 2 & 2\\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} }} ={{[(-5)-0]+[4-0]+[0-3]}\over{-14}} = {2 \over 7}

\tag{eq-7} z= {{ \begin{vmatrix} -1 & 4 & {\color{red}2}\\ 0 & 2 & {\color{red}1}\\ 1 & -3 & {\color{red}0} \end{vmatrix} }\over{ \begin{vmatrix} -1 & 4 & 3\\ 0 & 2 & 2\\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} }} = {{[0-3]+[4-0]+[0-4]}\over{-14}} = {{3}\over{14}}

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