라플라스 방정식(Laplace’s equation)

Last Updated on 2024-10-30 by BallPen

전자기학에서 나오는 라플라스 방정식에 대해 알아 봐요.

라플라스 방정식(Laplace’s equation)이란 전압 V에 대한 이계편미분방정식이 0으로 주어지는 방정식을 말합니다. 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{D1}
\nabla^2 V = 0

라플라스 방정식은 피에르시몽 드 라플라스 후작(1749~1827, 프랑스)에 의해 도입되었습니다.

어떤 경계조건을 만족하는 라플라스 방정식의 해는 유일하게 나타나는데요. 이 유일성 정리에 대해서는 다른 글에서 다루기로 하고, 이번 글에서는 라플라스 방정식이란 무엇이고 그 해가 갖는 특징들을 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 복습

라플라스 방정식을 이해하기 위해서는 먼저 미분연산자인 라플라시안(Laplacian)을 알아야 합니다. 이에 대해 복습해봐요. 그리고 푸아송 방정식에 대해서도 잠깐 알아 볼게요.

1-1. 라플라시안(Laplacian)

라플라시안은 스칼라장의 기울기에 대한 발산을 계산하는 미분연산자입니다. 식으로 표현하면 다음과 같아요. 여기서 T가 스칼라장입니다.

\tag{1-1}
\nabla \cdot (\nabla T) = \nabla^2 T = {{\partial^2 T}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 T}\over{\partial y^2}} + {{\partial^2 T}\over{\partial z^2}}

예를 들어 T가 온도를 나타내는 스칼라장이라 하고, 그 함수가 다음과 같이 주어진다고 생각해봐요.

\tag{1-2}
T = - 2 \cos x \sin y

이 식에 (1-1)식의 라플라시안을 취하면 다음이 되겠죠.

\tag{1-3}
\nabla^2 T = 4 \cos x \sin y

그러면 (1-2)식의 스칼라장과 (1-3)식의 라플라시안 계산 결과를 그림으로 그려볼게요. 다음과 같습니다.

[그림 1]에서 왼쪽 그림이 온도 스칼라장 T에요. 여기서 밝은 부분이 온도가 높고, 어두운 부분은 온도가 낮은 부분이죠. 오른쪽 그림은 라플라시안을 계산 한 후의 스칼라장이에요. 여기서 밝은 부분은 라플라시안 계산 값이 큰 부분이고, 어두운 부분은 작은 부분이에요.

이때 짐작할 수 있는 것은 온도 스칼라장이 평탄하다면, 즉 온도가 모든 부분에서 균일하여 밝고 어두운 부분이 존재하지 않는다면 라플라시안 계산 결과에서도 밝고 어두운 부분이 존재할 수 없을거라는 거에요.

중요한 개념이니 잠시만 기억 해주세요.

2. 푸아송 방정식

전기장 E의 발산은 다음과 같이 주어집니다. 아래 식에서 \rho는 전하밀도를 의미합니다.

\tag{1-4} 
\nabla \cdot E = {\rho \over \epsilon_0}

한편 전기장의 회전은 0이잖아요. 즉 다음이 성립합니다.

\tag{1-5}
\nabla \times \vec E =0

또한 스칼라 함수에 대한 기울기의 회전도 항상 0입니다. 그래서 다음식도 성립해요.

\tag{1-6}
\vec E = - \nabla V

이 식에서 V는 전압을 의미해요. 그리고 전기장의 방향은 전압이 감소하는 방향을 향하므로 음의 부호가 부여되었어요.

그러면 (1-6)식을 (1-4)식에 대입하면 다음의 관계가 성립함을 알 수 있어요.

\tag{1-7}
\nabla \cdot E = \nabla \cdot (-\nabla V) = {\rho \over \epsilon_0}

윗 식을 라플라시안 미분연산자로 정리하면 다음과 같아요.

\tag{1-8}
\nabla^2 V = - {\rho \over \epsilon_0}

이 식을 푸아송 방정식(Poisson’s equation)이라고 부릅니다.

[푸아송 방정식으로 전하밀도 구하기]

만일 우리가 스칼라장인 전압 V에 대해 알고 있다면 푸아송방정식으로 전하밀도 \rho를 구할 수 있어요.

예를 들어 (1-2)식에 주어진 온도 스칼라장 함수를 이번에는 전압 V라고 해볼게요. 그러면 다음과 같아요.

\tag{1-9}
V = - 2 \cos x \sin y

그리고 이것을 (1-8)식의 푸아송 방정식에 대입하면 다음 관계가 성립할거에요.

\tag{1-10}
\nabla^2 V = 4 \cos x \sin y = - {\rho \over \epsilon_0}

그리고 윗 식에서 전하 밀도를 구하면 다음과 같아요.

\tag{1-11}
\rho = - 4 \epsilon_0 \cos x \sin y

그럼 (1-9)식의 전압 스칼라장과 (1-11)식의 전하밀도 스칼라장을 매스매티카로 그려보면 아래와 같아요.

어떠 신가요? 전압이 높은 곳의 전하밀도가 높고 전압이 낮은 곳의 전하밀도가 낮은 것을 알 수 있어요.

결국 푸아송 방정식을 이용하면 전압을 알고 있을 때 전하밀도를 구하는데 유용하게 사용할 수 있어요.

2. 라플라스 방정식

앞서 말씀드렸듯이 스칼라장이 평탄하다면, 즉 스칼라장에서 밝고 어두운 극대 극소점이 존재하지 않는다면 라플라시안 계산 결과에서도 밝고 어두운 부분이 존재할 수 없어요.

그런데 여기서 관점을 반대로 바꾸어 볼까요?

예를 들어 [그림 2] 오른쪽 그림의 모든 영역에서 전하밀도가 0이라면 올록 볼록한 부분없이 평탄한 그림이 만들어지고, 왼쪽 그림의 전압 스칼라장에서도 밝고 어두운 극대 극소점이 존재하지 못하게 되겠죠.

즉 전하밀도 \rho가 0이라면 (1-8)식의 푸아송 방정식은 다음과 같이 표현될 거에요. 그리고 이 식을 라플라스 방정식이라고 불러요.

\tag{2-1}
\nabla^2 V = 0

따라서 전하밀도 \rho가 0인 조건(주변에 전하밀도가 존재하지만 관심을 두는 영역에는 전하밀도가 0인 상황)에서 위 라플라스 방정식을 만족하는 V를 구할 수 있다면 실용적으로 큰 도움이 될거에요.

그런데 아무것도 없는 상태에서 (2-1)식의 특수해를 구하는 것은 불가능하겠죠. 그래서 라플라스 방정식을 풀기 위해서는 경계조건이 활용됩니다.

그렇다면 주어진 경계조건을 만족하는 라플라스 방정식의 해 V가 과연 몇 개나 존재할까요? 단지 유일하게 하나만 존재합니다. 이와 관련된 것이 제1유일성 정리인데요. 이것에 대해서는 다른 글에서 별도로 설명드리겠습니다.

우선 라플라스 방정식의 해가 갖는 특징을 계속해서 알아 볼게요.

3. 라플라스 방정식 해의 특징

라플라스 방정식을 만족하는 해를 조화함수(harmonic finction)라고 하는데요. 조화함수의 핵심 특성은 주어진 영역안에 극대나 극소가 나타나지 않는다는 거에요. 극대와 극소는 영역의 테두리에만 존재할 뿐입니다.

1차원부터 3차원까지의 라플라스 방정식 해의 특성을 설명드릴게요.

3-1. 1차원 라플라스 방정식

1차원 라플라스 방정식은 편미분을 상미분으로 바꿔 다음과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{3-1}
{{d^2V}\over{d x^2}} =0

이 조건을 만족하기 위해서는 dV \over dx가 상수가 되어야 하겠죠. 상수를 m라고 해봐요.

\tag{3-2}
{dV \over dx} = m

위 식의 양변을 dV = mdx로 변수 분리하고 양변을 적분하면 해 V를 구할 수 있습니다.

\tag{3-3}
V= mx + b

한편 m와 b가 무슨 값을 갖게 되는지를 구체적으로 구하기 위해서는 경계조건이 필요하겠죠.

예를 들어 경계조건이 x =2일 때 V=10이며, x =10일 때 V=150이 되어야 한다고 하면, (3-3)식의 m과 b는 각각 17.5와 -25가 되어 (3-3)식은 다음과 같습니다.

\tag{3-4}
V = 17.5x -25

이게 바로 1차원 라플라스 방정식의 해인 거에요. 라플라스 방정식의 해는 크게 2가지 특징이 있어요.

[첫번째 특징]

아래 [그림 3]은 (3-4)식의 라플라스 방정식 해를 그래프로 그려본 거에요. 직선 양끝에 경계값 좌표가 있고 그 사이가 직선으로 이어지게 됩니다.

그리고 어떤 x에 대한 V(x)가 빨강색 점으로 표시되어 있어요. 이 점을 중심으로 양쪽에 파랑색 점이 두개가 있는데요. 하나는 V(x-a)이고 다른 하나는 V(x+a)에요.

이때 a는 임의의 값입니다.

그런데 (3-3)식의 라플라스 방정식에서 x+a점에 대한 V(x+a)는 다음과 같아요. 같은 방식으로 V(x-a)도 다음과 같아요.

\tag{3-5}
\begin{align}
V(x+a) = m(x+a) + b\\
V(x-a) = m(x-a) + b
\end{align}

위 두식을 서로 합해 주세요. 그러면 다음과 같아요.

\tag{3-6}
V(x+a) + V(x-a) = 2mx + 2b = 2(mx+b)=2V(x)

위 식을 V(x)에 대해 정리하면 다음 식이 성립합니다.

\tag{3-7}
V(x) = {{1}\over 2} [V(x+a) + V(x-a)]

위 식이 뜻하는 것은 [그림 2]에서 a에 무관하게 파랑색 점에 대한 두 함수값을 합한 후 2로 나누면, 즉 평균을 내면 중간에 있는 빨강색 점의 V(x)가 얻어진다는 것을 의미입니다.

이게 첫번째 특징이에요.

[두번째 특징]

극대나 극소가 영역안에 존재하지 않는다는 말은 [그림 2]의 양끝점을 제외한 직선에서 극대나 극소가 없다는 의미에요. 보다시피 주어진 영역안에서 극대값은 x=10에, 극소값은 x=2인 양 끝에만 존재하며, 그 사이에는 존재하지 않죠.

만일 양 끝 사이에 극대나 극소가 존재하면 첫번째 특징인 V(x+a)와 V(x-a)의 평균인 V(x)의 위치가 직선에서 벗어나게 될거에요. 하지만 첫번째 특징이 유지되는 한 영역안에 극대나 극소가 존재할 수 없습니다.

3-2. 2차원 라플라스 방정식

2차원 라플라스 방정식을 풀어서 표현하면 다음과 같아요.

\tag{3-8}
{{\partial^2 V}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial y^2}} = 0

더이상 상미분 방정식이 아니라 편미분 방정식이에요. 그래서 해의 형태도 복잡하게 나타날 것을 짐작할 수 있어요.

하지만 1차원 라플라스 방정식 해의 특징이 2차원 해에서도 동일하게 나타날 거에요.

[첫번째 특징]

1차원 라플라스 방정식이 직선으로 나타난다면 2차원 라플라스 방정식은 면의 형태로 나타납니다. 1차원 라플라스 방정식의 해는 V(x)가 V(x+a)와 V(x-a)의 평균값임을 기억할 거에요.

2차원 라플라스 방정식의 해도 이와 유사합니다.

위 [그림 4]에서 노랑색 곡면은 2차원 라플라스 방정식의 해를 그림으로 그려본 것인데요. 그 곡면의 한 지점에 반지름 R인 원을 그렸을 때 그 원 테두리에서의 V의 평균값이 원 중심에 있는 검은 점 V(x,y)와 같습니다.

이를 식으로 쓰면 다음과 같아요.

\tag{3-9}
V(x,y) = {1 \over {2\pi R}} \oint _{circle} Vdl

[두번째 특징]

2차원 라플라스 방정식의 해를 그래프로 그렸을 때 테두리 안쪽에는 극대와 극소가 존재하지 않아요. 1차원 라플라스 방정식과 동일하죠.

예를 들어 [그림 4]에서 원 안쪽 곡면상에서는 극대와 극소가 존재하지 않아요. 극대와 극소는 원의 테두리 상에 존재합니다.

만일 영역을 넓여 [그림 4]에서 보여진 4각형 테두리를 고려한다고 해도, 그 테두리 안쪽에는 극대와 극소가 존재하지 않습니다. 단지 극대와 극소는 그 테두리 상에 존재할 뿐이에요.

3-3. 3차원 라플라스 방정식

3차원 라플라스 방정식의 해가 갖는 특징도 1차원, 2차원과 동일해요.

[첫번째 특징]

예를 들어 3차원 라플라스 방정식의 해가 만드는 공간의 r위치에 반지름 R인 구를 그렸을 때 그 구 테두리에서의 V의 평균값이 구 중심점에서의 V(r)과 같습니다.

식으로 쓰면 다음과 같아요.

\tag{3-10}
V(r) = {1 \over {4\pi R^2}} \oint _{sphere} Vda

[두번째 특징]

구가 만드는 테두리 안쪽에는 극대와 극소가 존재하지 않습니다. 단지 극대와 극소는 구가 만드는 테두리에만 존재합니다.

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