용수철 연결 : 직렬 및 병렬연결

Last Updated on 2025-04-27 by BallPen

용수철을 직렬연결 또는 병렬연결 할 때 유효 용수철상수 공식을 유도해 봐요.

용수철 연결 방식에는 직렬 및 병렬 연결이 있어요. 이번 글에서는 용수철이 직렬 또는 병렬연결되었을 때 유효 용수철 상수를 구하는 방법을 알아봐요.

결과부터 말씀드리면 용수철 상수가 \(k_1\), \(k_2\)인 두 용수철이 직렬 연결되었을 때 유효 용수철 상수 \(k\)는 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{D1}
{1 \over {k}} = {1 \over {k_1}} + {1 \over {k_2}}
\end{align}

그리고 병렬 연결되었을 때에는 다음과 같죠.

\begin{align}
\tag{D2}
k = k_1 + k_2
\end{align}

그럼 이제부터 위 (D1)식과 (D2)식이 어떻게 유도되는지를 알아 봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 직렬 용수철 연결

1-1. 직렬연결

용수철 두개를 직렬연결한 모습이 아래 [그림 1]이에요. 이때 각 용수철 상수는 \(k_1\)과 \(k_2\)라고 할께요.

그림처럼 용수철에 매달린 질량 \(m\)인 물체를 힘 \(F\)로 오른쪽으로 당기면 용수철들이 각각 \(x_1\)과 \(x_2\)만큼 늘어날거에요. 그러면 \(k_2\) 용수철은 복원력 때문에 물체를 반대방향으로 당기게 돼요. 이 힘이 \(F_1\)이죠.

또한 \(k_2\) 용수철의 반대쪽에서는 \(F_1\)과는 반대방향으로 복원력이 작용할거에요. 용수철이 오그라들려는 힘은 양쪽이 모두 똑같아요. 이것이 \(F^{\prime}\)이에요.

또한 \(F^{\prime}\)은 \(k_1\) 용수철이 복원되려는 힘 \(F_2\)와 크기가 같고 방향이 반대에요.

결국 [그림 1]에 표기한 모든 힘들은 크기가 같다는 것을 알 수 있어요. 물론 각 힘의 방향은 그림에 표시한 방향을 향합니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{1}
|F| = |F^{\prime}|=|F_1| = |F_2|
\end{align}

또한 위 관계에 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같겠죠. 이때 힘의 크기가 모두 같다는 것은 알았으니 절대값 기호는 빼도록 할게요.

\begin{align}
\tag{2}
F_1 = k_1 x_1\\[5pt]
F_2 = k_2 x_2
\end{align}

1-2. 유효 용수철 상수

그렇다면 [그림 1]에 있는 두개의 용수철을 하나로 바꾼다고 생각해봐요. 즉 한 용수철을 연결하고 힘 \(F\)를 가했을 때 총 늘어난 길이가 \(x = x_1 + x_2\)인 거죠.

이를 만족하는 유효 용수철 상수 \(k\)는 다음 식으로 구할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{3}
F = kx &= k (x_1 + x_2)\\[5pt]
&=k \Big({{F_1}\over{k_1}}+{{F_2}\over{k_2}}\Big)\\[5pt]
&=k\Big({{1}\over{k_1}}+{{1}\over{k_2}}\Big)F
\end{align}

또한 위 (3)식을 정리하면 아래와 같아요.

\begin{align}
\tag{4}
{{1}\over{k}}F = \Big({{1}\over{k_1}} + {{1}\over{k_2}} \Big) F
\end{align}

결국 용수철이 직렬연결되었을 때 유효 용수철 상수는 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{5}
{1 \over k} = {1 \over {k_1}} + {1 \over {k_2}}
\end{align}

1-3. 관련 예제

용수철 상수가 100 N/m인 길이 10 cm인 용수철이 있다. 이 용수철의 길이를 절반으로 잘랐다면 잘려진 용수철 한개의 용수철 상수는 얼마가 되겠는가?

(풀이) 잘려진 용수철 2개가 직렬연결되면 원래의 용수철이 됩니다. 따라서 잘려진 용수철의 용수철 상수를 \(k\)라고 한다면 (5)식을 적용해 다음의 관계가 성립합니다.

\begin{align}
{1 \over 100} = {1 \over k} + {1 \over k}
\end{align}

따라서 잘려진 용수철의 용수철 상수 \(k\)는 200 N/m입니다.

2. 병렬 용수철 연결

2-1. 병렬연결

용수철 두개를 병렬연결한 모습이 [그림 2]에요. 여기서도 각각의 용수철 상수는 \(k_1\)과 \(k_2\)로 하겠습니다.

직렬과 달리 병렬연결에서는 물체에 힘 \(F\)를 가하면 두 용수철은 같은 거리인 \(x\)만큼 늘어나게 되고, 가한 힘은 용수철의 복원력에 배분됩니다.

즉, 다음 관계가 성립해요.

\begin{align}
\tag{6}
|F| = |F_1 + F_2|
\end{align}

그러므로 위 식에 후크의 법칙을 적용하면 다음과 같죠. 여기서도 절대값 기호는 생략하도록 하겠습니다.

\begin{align}
\tag{7}
F &= F_1 + F_2\\[5pt]
&=k_1 x + k_2 x\\[5pt]
&=(k_1 + k_2)x
\end{align}

2-2. 유효 용수철 상수

이번에도 [그림 2]에 있는 두개의 용수철을 하나로 바꾼다고 생각해봐요. 그리고 그 용수철에 힘 \(F\)를 가했을 때 총 늘어난 길이가 \(x\)를 만족해야겠죠.

이를 만족하는 유효 용수철 상수 \(k\)는 (7)식으로부터 구할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{8}
F=kx = (k_1 + k_2)x
\end{align}

결국 위 식을 정리하면 용수철이 병렬연결되었을 때 유효 용수철 상수는 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{9}
k = k_1 + k_2
\end{align}

2-3. 관련 예제

용수철 상수가 200 N/m와 150 N/m의 용수철을 병렬연결하였다. 유효 용수철 상수는 얼마이겠는가?

(풀이) 용수철이 병렬연결되었으므로 (9)식을 적용하면 됩니다. 유효 용수철 상수는 350 N/m입니다.

3. 용수철 연결과 관련된 실험 동영상

용수철 연결과 관련된 흥미로운 동영상 하나를 소개합니다.

저울 위에서 용수철 상수가 \(k\)인 용수철 하나를 \(x\)만큼 압축시켰을 때 500g이 나온다고 생각해봐요.

그렇다면 동일한 용수철 두개를 직렬로 연결하고 \(2x\)만큼 누른다면 저울의 눈금은 얼마를 지시할까요? 또 용수철 두개를 병렬로 연결한 후에 \(x\)만큼 누른다면 저울의 눈금은 어떻게 될까요?

결과는 직렬연결했을 때에는 500g이 나옵니다. 직렬연결했으니 1000g이 나올것 같은데 그렇지가 않아요. 그 이유는 직렬연결된 동일한 용수철들의 유효 용수철 상수는 (5)식에 따라 \(k/2\)가 되고 용수철 압축 길이가 \(2x\)이므로 용수철이 저울을 미는 힘 \(F\)는 다음과 같이 용수철 하나가 작용하는 힘 \(kx\)와 같아요.

\begin{align}
F&={k \over 2} \times (2x) \\
&=kx
\end{align}

반면에 병렬연결되었을 경우 유효 용수철 상수는 (9)식에 따라 \(2k\)가 되고 용수철의 압축길이가 \(x\)이므로 용수철이 저울을 미는 힘 \(F\)는 다음과 같이 용수철 하나가 작용하는 힘의 두배인 \(2kx\)가 됩니다. 따라서 저울이 지시하는 눈금은 1000g이 됩니다.

\begin{align}
F&={2k} \times (x) \\
&=2kx
\end{align}

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