중력 위치에너지 공식이 mgh인 이유

Last Updated on 2022-03-20 by BallPen

정확한 중력 위치 에너지 공식은 mgh 모양을 갖지 않습니다. 그렇다면 중력 위치에너지를 mgh로 표현하는 이유는 뭘까요?

중력 위치에너지 공식으로 많은 사람들은 mgh를 알고 있습니다.

그런데 이전 글에서 유도했던 중력 위치에너지 공식은 mgh처럼 간단하게 표현되지 않았습니다. 그렇다면 과연 mgh가 어떻게 중력 위치에너지로 표현되게 되었을까요?

함께 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 높이에 따른 중력 위치에너지 변화 (복습)

높이에 따른 중력 위치에너지 변화에 대한 이전 글에서 뉴턴운동의 제2법칙과 만유인력 법칙으로부터 아래의 (1)식이 유도된 바 있습니다.

물체를 지구 표면으로부터 위쪽으로 던져올릴 때의 상황을 생각하세요.

\tag{1}
\begin{align}
{{1}\over{2}} mv^2 - {{1}\over{2}} mv_0^2 &= mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + x}} - mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + x_0}} \\
\end{align}

(1)식에서 m은 지구 표면으로부터 날아가는 물체의 질량, v는 높이 x에서의 물체의 속력, v_0는 높이 x_0에서의 물체의 속력입니다.

또한 g는 지구 표면에서의 물체의 중력가속도로서 9.8~\mathrm{m/s^2}로 주어집니다. 마지막으로 R_E는 지구의 반지름입니다.

(1)식의 좌변은 운동에너지의 변화량을 나타내고, 우변은 위치에너지의 변화량을 나타냅니다.

이때 지구로부터 무한대만큼 떨어진 곳의 위치에너지를 0으로 잡는다면 물체와 지구 사이의 위치에너지는 음수가 되어 아래 (2)식과 같이 변형할 수 있습니다. 이때 무한대인곳에서의 위치에너지가 0인 이유는 물체를 아주 세게 던져 무한대만큼 날아가면 물체가 더이상 지구로 떨어지지 않기 때문입니다.

\tag{2}
\begin{align}
{{1}\over{2}} mv^2 - {{1}\over{2}} mv_0^2 &= mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + x}} - mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + x_0}} \\
&=- \Big( -mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + x}}\Big) + \Big(-mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + x_0}}\Big) \\
\end{align}

결국 임의 높이 x에서의 위치에너지 식은 아래 (3)식과 같이 정의됩니다.

\tag{3}
\begin{align}
V(x) = -mg{R_E}^2 {{1}\over{R_E + x}}
\end{align}

또한 (3)식을 (2)식에 반영하고 정리하면 아래의 역학적 에너지 보존 공식이 도출됩니다.

\tag{4}
{{1}\over{2}} mv^2 + V(x) =  {{1}\over{2}} mv_0^2 + V(x_0)

2. 중력 위치에너지 공식이 mgh인 이유

위에서 복습한 (3)식의 위치에너지는 무한대인 곳의 위치에너지를 0으로 설정하여 정의되었습니다. 이것은 아주 정확한 설정으로 볼 수 있습니다.

그러나 사람들은 지구라는 행성의 표면에서 살고 있죠.

그렇다보니 사람의 생각은 무한대인 곳의 위치에너지를 0으로 두기 보다는 우리가 살고 있는 지구 표면의 위치에너지를 0으로 두고 싶어 합니다.

그러면 지구 표면으로부터 멀어질수록 위치에너지는 양의 값으로 점점 커져가는 것으로 개념을 잡을 수 있을 것입니다.

물론 이러한 방식이 정확한 것이 아니라는 것은 알고 있지만, 높이 h(지구 표면 근처의 높이라는 의미에서 x를 h로 변경하여 표기)가 지구 반지름 R_E보다 무척 작은 경우에 한정하여 적용하면 편리할 거에요.

즉 사람들이 살고 있는 지구 표면 근처의 공간에서만 적용할 수 있는 위치에너지 공식을 새롭게 유도하자는 것입니다.

2.1 mgh 공식 유도

이를 위해 (1)식을 그대로 활용하여 아래 (5)식과 같이 표현을 바꾸어 봐요.

\tag{5}
\begin{align}
{{1}\over{2}} mv^2 - {{1}\over{2}} mv_0^2 &= mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + h}} - mg{R_E}^2{{1}\over{R_E + h_0}} \\
&=mg{R_E}^2{{1}\over{R_E (1+{{h}\over{R_E}})}} - mg{R_E}^2{{1}\over{R_E(1 + {{h_0}\over{R_E}})}} \\
&=mg{R_E}\big( 1+{{h}\over{R_E}}\big)^{-1} - mg{R_E} \big( 1+{{h_0}\over{R_E}} \big)^{-1}\\
&=mg{R_E}\big( 1-{{h}\over{R_E}}\big) - mg{R_E} \big( 1-{{h_0}\over{R_E}} \big)\\
&=mgR_E - mgh - mgR_E + mgh_0\\
&=-mgh+mgh_0
\end{align}

윗 식 두번째 줄의 분모에서 R_E는 공통인수로 괄호 밖으로 빼내어져 식이 변형되었고, 세번째 줄이 네번째 줄로 변경된 이유는 이항정리를 통해 근사하였기 때문입니다.

즉 h에 비해 R_E가 무척 크기 때문에 h/{R_E}는 1보다 무척 작은 값을 갖습니다. 그러한 경우 이항정리를 통해 아래 (6)식이 근사적으로 성립합니다.

\tag{6}
\begin{align}
\Big( 1+ {{h}\over{R_E}} \Big)^{-1} \approx \Big( 1- {{h}\over{R_E}} \Big)
\end{align}

여기서 근사라는 것은 정확히 같은 것이 아닌 거의 같은 것임을 의미합니다.

결국 (5)식의 가장 끝 줄에 우리에게 익숙한 mgh가 나타납니다.

2.2 역학적 에너지 보존 법칙

아래 (7)식과 같이 (5)식을 정리하여 (4)식의 역학적에너지 보존 공식과 대응시킬 수 있습니다.

\tag{7}
\begin{align}
{{1}\over{2}}mv^2 +mgh = {{1}\over{2}}mv_0^2 + mgh_0\\
{{1}\over{2}}mv^2 +V(x) = {{1}\over{2}}mv_0^2 + V(x_0)\\

\end{align}

이를 통해 높이 h에서의 중력 위치에너지를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\tag{8}
V(h) = mgh

이렇게 해서 중력위치에너지가 mgh로 유도되는 과정을 설명드렸습니다만, 다시 한번 더 말씀드리면 중력 위치에너지는 (3)식이 가장 정확한 식입니다. 그런데 사람들이 살고 있는 지구 표면 근처에서만 근사적으로 (8)식이 성립하는 것으로 보시면 됩니다.

아울러 위치에너지는 무한대가 0~\mathrm{J}이 되어야 하기 때문에 (3)식과 같이 음수가 되어야 올바릅니다. 그러나 (8)식을 적용할 경우에는 지구 표면의 임의 지점을 0으로 설정하기 때문에 그보다 높은 곳에서의 위치에너지는 양수가 되어 버립니다.

3. 중력 위치에너지 mgh 적용 예제

(예제) 아래 [그림 1]과 같이 질량 2.00 kg인 물체가 초기속력 3.00 m/s로 비탈면을 내려오고 있다. 물체와 비탈면 사이에는 마찰력이 없다. (a) 비탈면의 위쪽 A점과 수직높이 2.00 m 아래인 B점에서의 위치에너지 차이는 얼마인가? (b)물체가 B 위치를 지날때의 운동에너지는 얼마가 되겠는가? 단, 중력가속도는 9.80 m/s²으로 계산한다.

(풀이) A점과 B점 사이의 위치에너지 차이는 다음과 같다. 이때 주의할 것은 위치에너지는 지구 표면으로부터의 고도에 의존하므로 수직 높이만 고려하면 된다. 물체가 미끄러져 내려오는 비탈면의 전체 길이를 고려할 필요가 없다.

또한 위치에너지의 단위는 J임을 명심한다. 아래와 같이 두 지점 사이에서 위치에너지의 차이는 39.2 J이 된다.

\tag{8}
\begin{align}
mgh_A - mgh_B &= mg(h_A - h_B)\\
&=(2.00~\mathrm{kg})(9.80~\mathrm{m/s^2})(2.00~\mathrm{m})\\
&=39.2~\mathrm{J}
\end{align}

즉, A지점의 위치에너지가 B지점보다 39.2 J만큼 크다.

B위치를 지날때의 운동에너지는 (7)식의 역학적 에너지 보존 법칙을 적용한다. A위치에서의 운동에너지와 위치에너지의 합인 역학적 에너지는 B위치에서의 역학적 에너지와 동일하다.

그래서 아래의 풀이 과정이 성립한다.

\tag{9}
\begin{align}
{{1}\over{2}}m v_0^2 +mgh_A &= {{1}\over{2}} m v^2 + mgh_B\\
{{1}\over{2}} mv^2 &={{1}\over{2}} mv_0^2 + mgh_A - mgh_B\\
&= {{1}\over{2}} mv_0^2 + mg(h_A - h_B)\\
 &={{1}\over{2}}(2.00~\mathrm{kg}){(3.00~\mathrm{m/s})^2} + 39.2~\mathrm{J}\\
&=48.2~\mathrm{J}
\end{align}

결국 B 위치를 물체가 지날때의 운동에너지는 48.2 J이 된다.

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높이에 따른 위치에너지 변화 등가소음도 계산 방법 알려 드립니다. 음압레벨도 함께 공부해요. 관성질량 vs 중력질량 – 진공에서 자유낙하하는 볼링공과 깃털의 운동 SEM 전자총 원리와 총을 갖고 싶던 어린 시절의 값비싼 추억 표준 오차 개념과 공식, 그리고 계산 방법 단위벡터 의미와 벡터 정규화 벡터의 실수배 : 벡터에 스칼라를 곱하는 방법과 기하학적 의미 내적 – 벡터끼리 곱하여 스칼라가 되는 계산법