Last Updated on 2025-10-17 by BallPen
척력장이 작용하면 입자가 산란되는 데요. 이때 산란각의 특징을 알아 보도록 해요.
척력장에 의한 산란각(scattering angle)을 알아 봅니다.
양전하를 띤 두 전하가 있는데, 한 양전하가 고정된 양전하 쪽으로 다가오면 척력장에 의해 쌍곡선 궤도를 그리며 산란됩니다.
이때 산란각과 몇몇 변수들간의 관계를 알아보도록 해요.
Contents
1. (복습) 척력장 내의 운동 궤도 : 쌍곡선
뉴턴의 운동 제2법칙을 이용해 입자의 궤도방정식을 만들 수 있어요. 한편 입자가 갖는 역학적에너지 보존법칙을 이용하면 궤도의 에너지 방정식도 만들 수 있어요.
그리고 이 두 방정식을 풀면 공통적으로 궤도식 r(\theta)가 도출되고, 이 식으로부터 입자가 갖는 궤도의 이심률을 구할 수 있습니다.
예를 들어 정지한 입자가 만드는 인력장 또는 척력장에 다른 입자가 입사되는 경우를 생각해 봐요.
이때 인력장이 작용하면 이심율에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도가 나타날 수 있어요. 반면에 만일 척력장이 작용하면 쌍곡선 궤도가 나타납니다.
예를 들어, 두 양전하 +Q와 +q처럼 둘 사이에 척력장이 작용하는 경우에는 궤도식은 아래 (1-1)식과 같습니다.
여기서 입사 입자가 갖는 에너지 E는 항상 양수라는 것을 알고 있으므로 이심율이 1보다 커 쌍곡선 궤도로 입사 입자는 움직이게 돼요.
\begin{align}
\tag{1-1}
r = {{ml^2 /Qq}\over{-1+\sqrt{1+{{2ml^2 E}\over{Q^2q^2}}}\cos(\theta - \theta_0)}}
\end{align}윗 식에서 m은 움직이는 입자의 질량, l은 단위질량당 각운동량, \theta_0는 초기위상을 의미합니다.
2. 척력장에 의한 산란각
두 입자 사이에 척력장이 작용하면 입사 입자는 쌍곡선 궤도를 그리며 비껴나가게 된다고 말씀드렸어요. 이것을 산란이라고 합니다.
물론 입사 입자에 아무런 힘이 작용하지 않으면 그 입자는 직선 운동을 하게 돼요. 그런데 척력장 때문에 쌍곡선 궤도를 그리며 움직이므로 원래 진행하던 방향과는 다른 방향으로 진행하게 됩니다.
이때 원래 진행 방향에서 틀어진 방향 사이의 각도를 산란각(scattering angle)이라고 합니다.
예를 들어, 아래 [그림 1]은 고정된 양전하 +Q 주변으로 양전하 +q가 접근할 때 그 전하 +q는 척력을 받아 쌍곡선 궤도를 그리며 나아가는 것을 보여주고 있어요.
이때 쌍곡선 궤도가 나타나는 근거는 궤도방정식과 에너지방정식을 풀어 이심률이 1보다 크다는 사실로부터 알 수 있습니다. 이에 대해서는 척력장 내의 운동궤도에 대한 이전 글을 참고하시기 바랍니다.
일단 위 그림에서 중요한 것은 \theta_s인데요. 이 각이 산란각입니다.
또한 그림에서 b는 충돌변수라고 부르는 변수로서 고정된 양전하 +Q로부터 얼마나 멀리 떨어져 +q가 진행해 들어오느냐의 척도입니다.
물론 b가 작으면 척력이 강해져 산란각 \theta_s가 커지고, b가 크면 \theta_s는 작아지게 될 것을 짐작할 수 있어요.
한편 그림에서 \theta_0가 있는데요. 입사한 전하의 진행방향을 기준으로 측정되는 이 각도를 이 글에서는 편의상 진행각이라고 명명하겠습니다.
이때 +q가 척력을 받아 쌍곡선 궤도를 따라 진행할 때 고정된 양전하 +Q와 최근접거리 r_{min}에 도달 할 때의 각도가 \theta_0에요.
따라서 최근접거리에서의 진행각 \theta_0는 산란각 \theta_s와 다음의 관계를 갖습니다.
\begin{align}
\tag{2-1}
\theta_s = \pi - 2 \theta_0
\end{align}2-1. 제약 조건(constraint)
[그림 1]에서 고정 전하 +Q와 입사 전하 +q사이의 거리 r과 진행각사이의 관계를 보면 몇가지 제약조건을 생각할 수 있어요.
예를 들어 그림처럼 \theta = \theta_0일 때 r=r_{min}의 관계가 성립하며, \theta=0에서는 r = \infin가 됩니다. 즉, 그림의 왼쪽으로 무한대인 곳에 입사 전하가 놓여있을 때 진행각은 거의 0이 될 것임을 알 수 있어요.
같은 방식으로 이동전하가 오른쪽으로 무한대 거리만큼 산란된다면 물론 \theta = 2 \theta_0가 될 거에요.
이 제약 조건들을 정리하면 아래와 같아요.
\begin{aligned}
\tag{2-2}
&\theta = \theta_0~~~~\rightarrow~~~~r = r_{min}\\[2pt]
&\theta = 0~~~~\rightarrow~~~~r=\infin\\[2pt]
&\theta = 2 \theta_0~~~~\rightarrow~~~~r=\infin
\end{aligned}2-2. 최근접 진행각과 산란각
아래 식은 (1-1)식의 궤도식을 다시 쓴 거에요.
\begin{align}
\tag{2-3}
r = {{ml^2 /Qq}\over{-1+\sqrt{1+{{2ml^2 E}\over{Q^2q^2}}}\cos(\theta - \theta_0)}}
\end{align}이때 (2-2)식의 제약 요건처럼 \theta = 0 또는 \theta = 2 \theta_0이면 (2-3)식에서 r = \infin가 되어야 합니다.
이 조건이 성립되기 위해서는 (2-3)식의 분모가 0의 조건을 만족하면 될 거에요.
즉, (2-3)식의 분모에 \theta = 0 또는 \theta = 2 \theta_0를 대입하면 다음 (2-4)식이 성립해야 합니다.
여기서 코사인은 우함수이므로 어느 것을 대입해도 결과는 동일합니다.
\begin{aligned}
\tag{2-4}
&-1 + \sqrt{1+ {{2E ml^2}\over{Q^2 q^2}}}\cos \theta_0 = 0\\[10pt]
\end{aligned}그리고 윗 식을 변형하면 아래와 같습니다.
\begin{align}
\tag{2-5}
\sqrt{1+ {{2E ml^2}\over{Q^2 q^2}}}\cos \theta_0 =1
\end{align}그리고 다음 식과 같이 쓸 수 있어요.
\begin{aligned}
\tag{2-6}
\sqrt{1+ {{2E ml^2}\over{Q^2 q^2}}} &= {1 \over {\cos \theta_0}}\\[10pt]
&=\sec \theta_0\\[10pt]
&=\sqrt{1+\tan^2 \theta_0}
\end{aligned}위 식에서 \sec^2 \theta = 1+ \tan^2 \theta의 관계를 적용하였습니다. 이에 따라 (2-6)식으로부터 다음 식이 성립합니다.
\begin{align}
\tag{2-7}
\tan \theta_0 = {{\sqrt{2Eml^2}}\over{Qq}}
\end{align}이때 산란각 \theta_s와 최근접 거리에서의 진행각 \theta_0사이의 관계인 (2-1)식을 다음과 같이 바꿀 수 있어요.
\begin{align}
\tag{2-8}
\theta_0 = {{\pi}\over{2}} - {{\theta_s}\over{2}}
\end{align}그리고 (2-8)식의 양변에 \tan를 취하면 아래 (2-9)식이 성립합니다.
\begin{align}
\tag{2-9}
\tan \theta_0 = \tan \big( {{\pi}\over{2}} - {{\theta_s}\over{2}}\big)
\end{align}그리고 위 식에 삼각함수의 여각 공식을 적용하면 다음 관계가 성립합니다.
\tag{2-10}
\begin{align}
\tan \theta_0 = \cot {\theta_s \over 2}
\end{align}2-3. 충돌변수와 산란각
이번에는 충돌변수 b와 산란각 \theta_s 사이의 관계를 알아 봐요.
[그림 1]에서 고정된 입자 +Q로부터 \vec r만큼 떨어진 곳에서 입사 입자 +q가 속도 \vec v_0로 다가 오고 있는 상황을 상상해 보세요.
이 상황을 그림으로 나타낸 것이 [그림 2]입니다.
이때 입사 입자의 단위질량당 각운동량의 크기 |l|을 구하면 다음 그림과 같아요.
그림처럼 위치벡터 \vec r과 속도벡터 \vec v_0에서 입사 입자의 단위질량당 각운동량은 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{2-11}
|l| &= |\vec r \times v_0| \\[10pt]
&=r v_0 \sin \phi\\[10pt]
&=b v_0
\end{aligned}이때 r \sin \phi = b의 관계를 적용했어요.
한편 (2-10)식과 (2-7)식으로부터 다음 관계가 성립함을 알 수 있어요.
\begin{align}
\tag{2-12}
\cot ({{\theta_s}\over{2}})= {{\sqrt{2Eml^2}}\over{Qq}}
\end{align}위 식의 단위질량당 각운동량 l에 (2-11)식을 대입하고 정리합니다. 그리고 입사 입자가 갖는 에너지 E는 운동에너지 뿐이므로 이 관계도 대입해서 정리하면 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{2-13}
\cot ({{\theta_s}\over{2}}) &= {{\sqrt{2Eml^2}}\over{Qq}}\\[10pt]
&={{\sqrt{2 (1/2 mv_0^2)m}}bv_0\over{Qq}}\\[10pt]
&={{bmv_0^2}\over{Qq}}\\[10pt]
&={{2b({{1}\over{2}}mv_0^2)}\over{Qq}}\\[10pt]
&={{2bE}\over{Qq}}
\end{aligned}결국 충돌변수 b와 산란각 \theta_s 사이에는 다음 관계가 성립합니다.
\tag{2-14}
\begin{align}
\theta_s = 2 \cot^{-1} \Big({{2bE}\over{Qq}} \Big)
\end{align}그리고 b의 함수로서 산란각 \theta_s를 그래프로 그린 결과가 아래 [그림 4]에요. 위에서 짐작했듯이 b가 커질수록 산락각 \theta_s는 점점 작아지는 것을 볼 수 있어요.
3. 요약
이 글에서는 척력장에 의한 입자의 산란각에 대해 알아보았습니다.
양전하를 띤 두 입자처럼 척력장이 작용할 때, 입사 입자는 쌍곡선 궤도를 그리며 산란됩니다.
그리고 산란각과 최근접 진행각 사이의 수학적 관계를 도출하였고, 충돌변수를 포함한 여러 변수들이 산란각에 미치는 영향을 수학적 공식으로 유도하였습니다.
결론적으로, 충돌변수와 산란각 사이에는 충돌변수가 커질수록 산란각이 점점 작아진다는 것을 알게 되었습니다.
