케플러 제2법칙 증명

Last Updated on 2025-05-18 by BallPen

행성의 면적속도가 일정하다는 케플러 제2법칙을 알아 봐요.

케플러 제2법칙(Kepler’s second law)이란 행성 운동을 설명하는 법칙 중 하나로 면적속도 일정의 법칙이라고도 합니다.

행성의 면적속도란 단위시간당 태양과 행성을 연결한 선이 휩쓸고 지나간 면적을 뜻하는데요. 속도에서의 변위가 면적으로 바뀐 개념이에요.

그런데 이 면적속도가 항상 일정하다는 것이죠.

케플러 제2법칙(면적속도 일정의 법칙) : 행성과 태양을 연결하는 선은 동일한 시간에 동일한 면적을 만든다.

식으로 표현한다면, 미소시간 \(dt\)동안 태양과 질량 \(m\)인 행성을 연결한 선이 휩쓸고 지나간 미소 면적을 \(dA\), 행성의 각운동량을 \(L\)이라 할 때 면적속도 \({dA/dt}\)는 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{D1}
{{dA}\over{dt}} = {{L}\over{2m}}
\end{align}

여기서 \(m\)과 \(L\)은 상수로서 시간에 의존하지 않아요.

이번 글에서는 케플러 제2법칙의 개념을 구체적으로 알아보고 위 D1식이 어떻게 증명되는지 이해해 봐요. 아래는 목차입니다.

1. 케플러 제2법칙: 면적속도일정의 법칙

아래 [그림 1]은 태양을 한 촛점으로 하는 타권궤도를 지구가 공전하는 모습을 나타낸 거에요.

잘 아시듯이 지구가 태양을 한바퀴 회전하는데 걸리는 시간은 1년이죠. 그런데 시간 \(\Delta t\) 동안 지구가 a위치에 있다가 b위치로 이동했다고 생각해 봐요.

이때 태양과 지구를 연결한 선이 휩쓸고 지나간 부채꼴 면적이 A₁이에요.

한편 지구가 c 위치에 있을 때 동일한 시간 \(\Delta t\) 동안 d 위치까지 이동한 상황도 볼 수 있어요. 이때 태양과 지구를 연결한 선이 휩쓸고 지나간 부채꼴 면적이 A₂에요.

그런데 신기하게도 A₁과 A₂의 면적이 같다는 것이죠.

이런 관계는 \(\Delta t\)만 동일하다면 지구가 어느 위치에 있던 휩쓸고 지나간 면적이 모두 같아요.

이를 면적속도일정의 법칙이라고 합니다.

행성은 타원궤도를 돌고 있으므로 이 법칙이 성립하기 위해서는 지구의 공전 속도가 위치에 따라 달라짐을 뜻해요.

즉, [그림 1]에 빨강색 벡터로 표시한 것처럼 태양으로부터 지구가 멀리 있을 때 공전 속도를 \(v_1\)이라고 해봐요. 그런데 태양과 지구사이의 거리가 상대적으로 가깝다면 공전속도는 그림에서 \(v_2\)로 표시한 것처럼 더 커져야 해요.

그래야만 동일한 \(\Delta t\)동안 휩쓴 면적이 같아질 수 있기 때문이죠.

2. 케플러 제2법칙 증명

케플러 제2법칙의 주요 개념을 이해하셨을 거에요. 그렇다면 이제부터는 수식으로 케플러 제2법칙을 증명해보도록 해요.

이를 위해서는 먼저 행성의 각운동량이 보존되는지의 여부를 알아볼 필요가 있어요.

2-1. 행성의 각운동량 보존

태양으로부터 \(\vec r\)만큼 떨어진 곳에서 속도 \(\vec v\)로 공전하는 행성을 하나의 점입자로 간주해봐요. 그러면 행성, 즉 점입자의 각운동량은 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-1}
\vec L &= \vec r \times \vec p\\
&=\vec r \times m \vec v
\end{align}

그런데 행성의 각운동량이 보존되는지 여부를 알고 싶다면 (2-1)식을 시간으로 미분하면 됩니다.

만일 각운동량의 시간미분이 0이 된다면 \(\vec L\)이 상수임을 뜻하고, 이러한 관계를 보존된다고 말하죠.

이전 글에서 각운동량의 시간 미분을 설명드린 적이 있어요.

이를 그대로 인용한 후 [그림 1]의 상황을 적용하면 다음과 같이 그 결과가 0이 된다는 것을 알 수 있어요.

\begin{align}
\tag{2-2}
{{d \vec L}\over{dt}} &= \vec r \times \vec F\\
&=0
\end{align}

여기서 윗 식이 0이 되는 이유는 [그림 1]에서 지구의 위치벡터 \(\vec r\)과 태양이 지구를 당기는 만유인력 \(\vec F\)가 서로 반평행하기 때문이에요. 그래서 (2-2)식의 외적이 0이 되어 버립니다.

결국 행성의 각운동량에 대한 시간 미분이 0이므로 행성의 각운동량은 보존됨을 알 수 있어요.

다시 말해 각운동량의 크기 \(L\)을 상수로 볼 수 있다는 의미에요.

\begin{align}
\tag{2-3}
L = rmv = mr^2 \omega
\end{align}

위 식에서 접선속도와 각속도 관계식인 \(v=r \omega\)가 적용되었어요.

(2-3)식을 보면 행성의 위치에 따라 공전속도가 달라지는 이유를 설명할 수 있어요.

(2-3)식의 우변은 상수로 고정되므로 만일 \(r\)이 작아진다면 공전 각속도 \(\omega\)가 커져야 하므로 공전 속도는 빨라져요. 반대로 \(r\)이 커진다면 공전 각속도 \(\omega\)가 작아지므로 공전 속도는 느려지죠.

2-2. 케플러 제2법칙 증명

아래 [그림 2]는 [그림 1]에서 지구가 \(a\)에서 \(b\)위치로 이동할 때 시간 \(dt\)동안 \(d\theta\)만큼의 각변위가 발생한 상황을 나타낸 거에요.

그리고 이 과정에서 위치 벡터의 변화량 \(d \vec r\)을 빨강색 화살표로 나타냈어요. 그리고 이 벡터를 왼쪽으로 평행이동시켜 태양에 맞춘 것이 검정색 \(d \vec r\)이죠.

한편 태양으로부터 a점을 향하는 위치벡터도 위쪽으로 평행이동시키면 [그림 2]처럼 평행사변형이 만들어지는 것을 볼 수 있어요.

그런데 그림을 잘 보시면 이 평행사변형 면적의 절반이 태양과 지구를 연결한 선이 휩쓸고 지나간 미소면적 \(dA\)와 같다는 것을 알 수 있어요.

한편 두 벡터를 외적하면 그 크기는 두 벡터가 만드는 사각형의 면적과 같죠.

그래서 이 관계를 이용하면 미소면적 \(dA\)를 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있어요.

\begin{align}
\require{cancel}
\tag{2-4}
dA &= {1 \over 2} |\vec r \times d \vec r|\\
&={1 \over 2} |\vec r \times {\color{blue} {\vec v}} dt|\\
&={1 \over 2} |r \hat{e_r} \times {\color{blue}{({{dr} \over {dt}} \hat{e_r} + r {{d \theta}\over{dt}}\hat{e_\theta})}}dt |\\
&={1 \over 2} |r \hat{e_r} \times (dr \hat{e_r} + rd\theta \hat{e_\theta})|\\
&={1 \over 2} |{\color{red}{(r\hat{e_r} \times dr\hat{e_r})}}+ (r \hat{e_r} \times rd\theta\hat{e_\theta})|\\
&={1 \over 2} r^2 d\theta
\end{align}

위 식에서 1/2은 벡터 \(\vec r\)과 벡터 \(d \vec r\)을 외적한 크기의 절반이 \(dA\)이므로 곱해준 거에요. 또한 파랑색 수식은 공전 속도 \(\vec v\)를 평면극좌표계의 속도로 변환한 것을 뜻해요.

아울러 외적 연산을 할 때 방향이 서로 같으면 외적의 크기가 0이 되잖아요. 그래서 빨강색 수식 부분은 방향이 서로 같으므로 0이 됩니다. 반면에 \(\hat{e_r}\)과 \(\hat {e_\theta}\)는 서로 수직하므로 1이 됩니다.

그럼 위 식의 결과를 이용하여 면적속도 dA/dt를 구해 봐요.

\begin{align}
\tag{2-5}
{{dA}\over{dt}} &= {{d}\over{dt}}\Big({1 \over 2} r^2 d\theta\Big)\\[8pt]
&={1 \over 2} r^2 {{d \theta}\over{dt}}\\[8pt]
&={1 \over 2} r^2 \omega\\
\end{align}

그리고 위 식을 약간 변형하기 위해서 행성의 질량 \(m\)을 곱하고 나누면 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{2-6}
{{dA}\over{dt}} = {{m r^2 \omega}\over{2m}} = {L \over 2m}
\end{align}

여기서 행성의 각운동량 크기 \(L\)과 행성의 질량 \(m\)은 상수이므로 면적속도가 언제나 일정함을 알 수 있어요.

3. 케플러 제2법칙에 대한 동영상

아래에 링크된 동영상은 케플러 제2법칙에 대한 동영상이에요.

제가 위에서 설명드린 내용을 이해하셨으므로 동영상을 아주 재미있게 볼 수 있을 거에요.

요약하면, 시간만 동일하다면 태양과 행성을 연결한 선이 휩쓸고 지나간 면적이 항상 같고, 행성의 위치에 따라 공전속도가 달라짐을 명확하게 이해할 수 있습니다.