탈출속도(escape velocity)

Last Updated on 2025-05-01 by BallPen

지구의 중력권을 벗어나기 위한 최소한의 속도인 탈출속도에 대해 알아 봐요.

탈출속도(escape velocity) 또는 탈출속력이란 지표면에서 물체를 던져 올렸을 때 지구의 중력권을 벗어나기 위한 최소한의 속도를 말해요. 즉, 탈출속도로 물체를 던져올리면 그 물체는 절대 지구로 떨어지지 않아요.

지구에서의 탈출속도를 구하는 공식은 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{D1}
v = \sqrt{{2GM_{\rm E}}\over{R_{\rm E}}}
\end{align}

여기서 \(G\)는 만유인력 상수, \(M_E\)는 지구의 질량, \(R_E\)는 지구의 반지름이에요. 그리고 지구 표면에서의 탈출속도를 계산해보면 \(11.2~\rm km/s\)입니다.

그럼 이제부터 위 (D1)식이 어떻게 유도되는지, 그리고 그 의미는 무엇인지를 함께 알아봐요.

1. 중력 위치에너지 복습

탈출속도 공식을 유도하기 전에 우선 중력위치에너지에 대해 잠시만 알아 봐요.

정확한 중력위치에너지 공식은 다음과 같이 주어집니다.

\begin{align}
\tag{1}
V(x) = – mg {R_E}^2 {1 \over {R_E + x}}
\end{align}

여기서 \(m\)은 물체의 질량, \(g\)는 중력가속도, \(R_E\)는 지구 반지름, \(x\)는 지표면으로부터의 높이를 뜻해요.

한편 중력 위치에너지가 \(mgh\)가 아니라 의아해 할 수 있어요. 우리가 흔히 알고 있는 \(mgh\)는 위 (1)식을 지표면 근처로 한정할 때만 성립하는 근사식이에요. 그러니까 (1)식에서 \(x\)가 아주 작을 때에는 \(mgh\)를 사용할 수 있지만 \(x\)가 큰 값을 가질 때는 오차가 커져 사용할 수 없답니다.

(1)식을 조금만 바꾸어서 간결하게 표현해봐요. 이를 위해 다음의 중력가속도를 (1)식에 대입하고 정리해봐요.

\begin{align}
\tag{2}
g={G M_E \over {R_E}^2}
\end{align}

그러면 (1)식의 중력 위치에너지는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

\begin{align}
\tag{3}
V(x) = – GmM_E {1 \over {R_E + x}}
\end{align}

2. 탈출속도

2-1. 탈출속도란?

탈출속도란 지구 표면에서 물체를 공중으로 던져 올렸을 때 지구의 중력권을 벗어나기 위한 최소한의 속도를 말해요.

우리가 어떤 물체를 공중으로 던진다는 것은 물체에 초기속도를 부여한다는 의미죠. 그러면 물체는 공중으로 날아 올라가 정점에서 정지한 후 지면으로 낙하하게 됩니다. 바꾸어 말하면 내손을 떠난 물체는 얼마의 시간이 지나면 결국 떨어지게 돼요.

만일 물체를 조금 더 세게 던지면 더 높이 올라가므로 떨어지는데 더 오랜 시간이 걸리겠죠. 이런 방식으로 계속 더 세게 물체를 던지면 물체가 지면으로 떨어지는데 걸리는 시간이 무한대가 될거에요.

이것은 물체가 지구의 중력권을 벗어났다는 의미입니다. 이를 위한 최소한의 속도가 탈출속도에요.

물체를 탈출속도로 던지면 물체는 무한대지점까지 올라가게 되고 무한대인 지점에서 정지상태로 있게 됩니다. 만일 탈출속도보다 더 큰 속도로 던지면 무한대에서 그 물체는 등속으로 날아가게 될거에요.

여기서 주의할 것은 물체가 탈출속도를 가져야만 지구 중력권을 벗어날 수 있다는 의미는 아니에요.

일반적으로 [그림 1]과 같은 우주 발사체도 속도는 비록 느리지만 지구 대기권을 벗어나 우주공간까지 날아갈 수 있으니까요. 만일 그대로 계속 날아갈 수 있다면 당연히 지구 중력권을 벗어날 수 있어요. 다만 연료를 계속 소비하며 날아가야만 합니다.

반면에 탈출속도는 초기속도 개념이에요. 발사된 초기 속도가 탈출속도와 같다면 연료가 없어도 물체는 지구 중력권을 벗어날 수 있다는 의미입니다.

2-2. 탈출속도 공식

그럼 이제부터 탈출속도 공식을 유도해봐요.

예를 들어 지구처럼 반지름 \(R\), 질량 \(M\)인 구형 물체의 표면에서 공중으로 던져 올려진 질량 \(m\)인 물체의 탈출속도 \(v\)를 구하기 위해서는 역학적 에너지 보존 공식을 적용하면 됩니다.

그러니까 구형 물체 표면에서 물체의 운동에너지와 위치에너지의 합은 중력권을 벗어난 무한대인 곳에서의 물체의 운동에너지와 위치에너지의 합과 같아요.

다만 무한대인 곳에서 물체는 중력권을 벗어나 정지상태로 있게 되므로 운동에너지가 0 J 이며, 위치에너지도 0 J 이에요.

운동에너지와 (3)식에 주어진 중력 위치에너지 공식을 활용해 역학적 에너지 보존법칙을 식으로 쓰면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{4}
{1 \over 2} mv^2 + \Big( {-GmM}{{1}\over{R}}\Big) = 0 + 0
\end{align}

그리고 위 (4)식을 탈출속도 \(v\)에 대해 정리하면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{5}
v= \sqrt{{2GM}\over{R}}
\end{align}

3. 탈출속도 예시

3-1. 지구 표면에서의 탈출속도

(5)식을 이용해 지구 표면에서의 탈출속도를 계산해봐요. 단, 지구의 반지름은 \(R_E = 6.38 \times 10^6~\rm m\), 만유인력상수는 \(G=6.67 \times 10^{-11} ~\rm{N \cdot m^2 /kg^2}\), 지구의 질량은 \(M_E=5.97 \times 10^{24}~{\rm kg}\)을 적용할게요.

\begin{align}
\tag{6}
v &= \sqrt{{2GM_E}\over{R_E}}\\
&=\sqrt{{2(6.67 \times 10^{-11}~\rm{N \cdot m^2 /kg^2})(5.97 \times 10^{24} ~\rm kg)}\over{6.38 \times 10^6~\rm m}}\\
&=11.2 \times 10^3~\rm m/s\\
&=11.2~\rm km/s
\end{align}

그 결과 지구 표면에서의 탈출속도는 \(11.2~\rm km/s\)입니다.

재미있는 것은 탈출속도는 발사되는 물체의 질량과는 무관하다는 거에요. 즉, 발사되는 물체의 질량이 1 kg이던 1000 kg이던 탈출속도는 \(11.2~\rm km/s\)로 모두 똑같아요.

3-2. 화성 표면에서의 탈출속도

언제든지 탈출속도를 구하고 싶다면 (5)식을 이용하면 됩니다.

위키백과에 따르면 화성의 반지름은 \(R_M = 3.39 \times 10^6~\rm m\), 화성의 질량은 \(M_M=6.42 \times 10^{23}~{\rm kg}\)이에요. 이를 적용하면 아래와 같이 화성에서의 탈출속도는 \(5.03~\rm km/s\)정도 입니다.

\begin{align}
\tag{6}
v &= \sqrt{{2GM_M}\over{R_M}}\\
&=\sqrt{{2(6.67 \times 10^{-11}~\rm{N \cdot m^2 /kg^2})(6.42 \times 10^{23} ~\rm kg)}\over{3.39 \times 10^6~\rm m}}\\
&=5.03 \times 10^3~\rm m/s\\
&=5.03~\rm km/s
\end{align}