갈릴레이 변환 (Galilean transformation)

Last Updated on 2023-03-11 by BallPen

갈릴레이 변환의 개념과 속도 덧셈 법칙을 알아보겠습니다.

갈릴레이 변환(Galilean transformation)이란 정지한 관성기준계(inertial reference frame)와 이에 대해 등속으로 움직이는 또 다른 관성기준계 사이에서 성립하는 공간과 시간의 변환 관계를 말합니다.

우리가 직관적으로 쉽게 이해할 수 있는 개념이에요. 또한 물리적으로도 중요한 의미를 갖는 변환이랍니다.

함께 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 갈릴레이 변환

갈릴레이 변환은 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)가 제안한 관성기준계 사이의 공간과 시간의 변환관계를 뜻합니다.

갈릴레이 변환을 이해하기 위해서는 가장 먼저 관성기준계를 이해해야 합니다. 관성기준계에 대해 이야기하고 그 다음에 갈릴레이 변환을 설명드릴게요.

1-1. 관성기준계

관성기준계란 관성의 법칙이 성립하는 계(frame)를 말합니다. 다른 말로는 ‘관성좌표계’, ‘관성기준좌표계’라고도 부릅니다.

관성기준계를 쉽게 정의하면 정지해 있거나 등속으로 움직이는 계를 말합니다.

여기서 관성의 법칙이란 관성기준계 내의 어떤 물체에 아무런 힘도 작용하지 않으면 그 물체는 정지상태 또는 등속직선운동을 유지한다는 뉴턴 운동의 제1법칙을 뜻해요.

관성기준계를 이해하기 위해서는 약간의 상상과 여러분의 경험이 필요한데요. 몇가지 상황을 가정하겠습니다.

[정지한 버스]

예를 들어 정지해 있는 버스를 생각해보세요. 그러면 그 버스 안의 공간은 관성기준계입니다.

그 이유는 물체와 버스 바닥사이의 마찰력을 무시한다면, 정지한 버스의 바닥에 어떤 물체를 가만히 내려 놓고 아무런 힘도 가하지 않으면 그 물체는 정지상태로 그대로 있게 됩니다.

또한 그 버스 안에서 물체를 손으로 살짝 밀면 물체는 등속으로 움직일거에요.

이때 손으로 물체를 밀어내는 과정에는 물체에 힘이 작용하므로 이 과정은 무시하세요.

손에서 물체가 떨어진 이후 아무런 힘이 작용하지 않는 상태에서 물체가 등속으로 직선운동하는 것만 상상하면 됩니다.

결국 정지한 버스안에 있는 물체에 아무런 힘이 작용하지 않으면 물체는 정지상태 또는 등속직선운동을 하므로 관성기준계가 되는 것입니다. 즉 힘이 작용하지 않으면 물체의 가속도가 0인 거에요.

[등속으로 움직이는 버스]

이번에는 등속으로 움직이는 버스를 생각해보세요. 여기서 등속으로 가기위해 버스가 가속하거나 감속하는 과정은 무시하셔야 합니다.

왜냐면 가속이나 감속하는 과정은 가속도가 존재하여 버스가 등속으로 움직이는 상태가 아니기 때문이에요.

마찰을 무시한다면, 버스가 등속으로 움직이는 동안 어느 물체를 버스 바닥에 가만히 내려놓으면 그 물체는 정지상태로 그대로 그 위치에 있게 됩니다.

또한 앞에서와 같이 그 버스 안에서 물체를 살짝 밀면 물체는 손을 떠나 등속으로 움직일거에요.

결국 등속으로 움직이는 버스도 관성의 법칙이 똑같이 성립하므로 관성기준계입니다. 물체에 아무런 힘이 작용하지 않으면 물체는 정지상태 또는 등속직선운동을 하게 되요.

[가속하며 움직이는 버스]

그렇다면 정지해있거나 등속으로 움직이는 계가 아닌 가속도를 갖고 움직이는 계는 관성기준계가 아닐까요?

함께 생각해봐요.

버스의 중간지점에 어느 물체를 바닥에 가만히 놓았다고 생각해보세요. 물론 그 물체와 버스 바닥사이에 작용하는 마찰력은 없다고 생각하세요. 여러분들은 버스 의자에 앉아 그 물체를 관찰하고 있어요.

버스가 정지해 있을때는 그 물체에 아무런 힘이 작용하지 않으므로 관성의 법칙에 의해 그대로 가만히 멈춰있어요. 그런데 갑자기 버스가 정지상태로부터 가속되어 속도가 점점 빨라지고 있는 상황을 상상해 보세요.

그러면 바닥에 놓여진 그 물체는 어떻게 될까요? 네 맞아요.

버스 뒤쪽으로 물체가 가속되면서 밀려나게 됩니다. 그러면 여러분들은 어떤 힘이 그 물체를 버스 뒤쪽으로 잡아당긴다고 느낄거에요. (이때 버스가 가속되고 있다는 것을 여러분들은 모르고 있다고 생각하셔야 합니다.)

그런데 중요한 것은 만약 버스 밖에 있는 사람이 버스안의 그 물체를 볼 수 있다면 그 물체의 위치는 전혀 변하지 않아요.

최초의 위치에 그대로 놓여 있을 뿐인데요. 버스가 가속되며 떠남으로써 상대적으로 물체가 뒤쪽으로 움직이는 것처럼 보이는 거에요.

결국 버스밖의 관성기준계에서는 버스 바닥에 놓인 물체에 작용하는 힘이 없으므로 관성의 법칙에 의해 그대로 가만히 있게 되지만, 가속되는 버스 안의 사람들은 어떤 힘이 물체들을 뒤쪽으로 밀친다고 생각합니다.

이와 같이 분명히 물체에 작용하는 힘이 없지만 가속되는 버스안에서는 마치 힘이 작용하는 것처럼 느껴지게 되요. 따라서 가속되는 버스안의 공간은 관성의 법칙이 성립하지 않는 비관성계(non-inertial reference frame)입니다.

1-2. 갈릴레이 변환 관계식

관성기준계에 대해 이해하셨으니 그럼 이제부터 갈릴레이 변환 관계를 알아보겠습니다.

아래 [그림 1]을 보시면 정지상태의 Kevin이 있고 등속도 v로 오른쪽으로 이동하는 버스에 Jennie가 있어요. 그리고 Jennie가 보기에 파리 한마리가 그 버스 안에 정지상태로 떠 있습니다.

그러면 Kevin은 버스 밖 정지상태의 관성기준계에 있는 셈이되고, 버스가 등속도로 이동하고 있으니 버스도 관성기준계입니다. 둘 다 관성기준계이므로 관성의 법칙이 모두 성립해요.

[뉴턴 역학의 갈릴레이 변환에 대한 불변성]

이때 Jennie가 보기에 버스안에 파리 한마리가 공중에 정지상태로 떠 있다고 했는데요. 잘 못 생각하면 파리가 정지상태에 있고 버스가 등속도로 이동하니 파리가 버스 뒤쪽에 부딪힐거라고 생각하면 안됩니다.

관성기준계에서는 뉴턴 운동의 법칙이 똑같이 성립한 다는 것을 꼭 이해하셔야 합니다. 더 쉽게 말해 Kevin이 사과 하나를 수직 위쪽으로 던지면 그 던진 위치에서 그대로 사과를 받을 수 있어요.

이러한 상황은 등속으로 움직이는 버스에서도 가능합니다. 즉 Jennie도 사과를 위쪽으로 던지면 그대로 아래로 떨어져 사과를 던진 위치에서 받을 수 있어요.

왜냐하면 등속으로 달리는 버스도 관성기준계이기 때문에 뉴턴 운동의 법칙이 똑같이 성립합니다.

이것을 다른 말로 “뉴턴역학은 갈릴레이 변환에 대해 불변이다”라고 합니다.

그렇다면 만일 버스가 등속으로 움직이는 것이 아닌 가속이나 감속을 하는 상황에서 사과를 위쪽으로 던지면 그대로 아래로 떨어질까요? 아뇨 그렇지 않습니다. 가속이나 감속되는 버스는 비관성계이기 때문에 사과가 뒤쪽이나 앞쪽으로 떨어져요.

절대로 던진 위치에서 그대로 사과를 받을 수 없어요.

정리하면 등속으로 움직이는 버스 안에 파리가 공중에 있더라도, 절대로 버스 뒷 창문에 파리가 부딪히는 일은 생기지 않아요. 하지만 버스가 가속되는 경우에는 부딪힐 수 있습니다.

[갈릴레이 변환 관계식]

다시 [그림 1]의 상황으로 돌아오겠습니다.

Jennie가 타고 있는 버스가 속도 v로 등속직선운동을 하고 있는데, 그 버스 안에서 어느 순간 t ^\prime에 Jennie가 보는 파리의 위치는 x^ \prime만큼 떨어져 있어요.

이때 버스안의 시간 t^ \prime의 초기값(즉 0 s인 순간)은 Kevin과 Jennie가 동일한 위치에 있을 때를 기준으로 합니다.

그러므로 버스 밖의 시간 t의 초기값은 t ^\prime의 초기값과 서로 동일합니다.

그리고 버스가 등속도 v로 시간 t동안 움직인 거리는 그림에 표기한것처럼 vt가 된다는 것도 기억해 주세요.

그런데 이 파리를 동일한 순간 t에 버스 밖의 Kevin이 본다면, Kevin의 입장에서는 파리가 있는 곳까지의 위치 x는 버스가 이동한 거리 vt에 Jennie가 관찰한 거리 x ^\prime의 합이 됩니다.

또한 버스가 x축 방향으로 움직이므로 이에 수직한 y축과 z축의 공간은 Kevin이나 Jennie 모두 서로 동일할거에요.

결국 다음의 관계가 성립합니다.

\tag{1}
\begin{align}
&x ^\prime = x -vt\\
& y^\prime = y\\
& z ^\prime = z\\
& t ^\prime = t\\

\end{align}

결국 등속으로 이동하는 버스의 관성좌표계 안에서 어느 순간 t^\prime에 어느 물체의 위치 좌표 x^\prime, y^\prime, z^\prime는 (1)식과 같이 주어집니다.

만일 정지 좌표계에서 어느 순간 t에 관찰되는 물체의 위치 좌표는 다음과 같이 주어집니다.

\tag{2}
\begin{align}
& x = x^\prime + vt\\
& y = y^\prime\\
& z = z^\prime\\
& t = t^\prime 
\end{align}

이와 같이 (1)식 또는 (2)식으로 주어진 변환 관계식을 갈릴레이 변환식이라고 합니다. 또한 중요한 것은 버스 밖의 시간 t와 버스 안의 시간 t^\prime은 서로 동일하다는 것입니다.

더 쉽게 말해 버스 밖에서의 1 s와 버스 안에서의 1 s는 서로 동일하며 똑같은 빠르기로 흘러간다는 의미입니다.

생각해보면 갈릴레이 변환식은 참으로 타당한 식으로 보여집니다. 실제로 상대성이론이 출현하기 전까지 당연히 성립하는 원리였어요.

2. 속도 덧셈 법칙

Jennie의 관점에서 파리가 x축 방향으로 어떤 속도를 갖고 앞쪽으로 날아간다고 생각해봐요. 그러면 Kevin이 관찰하는 그 파리의 속도는 어떻게 될까요?

이 상황을 이해하기 위해 아래 [그림 2]를 보아주세요.

2-1. 시간 t₁에서의 갈릴레이 변환

[그림 2]에서 위쪽 그림은 어느 시간 t_1에 정지상태의 Kevin과 등속으로 x축 방향으로 이동하는 버스 안의 어느 시간 t_1^\prime에서 Jennie의 모습을 보여주고 있어요.

그리고 Jennie가 있는 버스 안에 파리 한마리가 공중에 떠 있습니다.

이때 Kevin이 보는 파리까지의 거리를 x_1, Jennie가 보는 파리까지의 거리를 x_1^\prime이라고 할께요. 또한 버스가 t_1 동안 이동한 거리는 vt_1이 될것입니다.

결국 Kevin과 Jennie가 있는 두 관성기준계 사이의 갈릴레이 변환은 다음과 같습니다. 물론 앞에서 말씀드렸듯이 두 공간에서의 시간인 t_1과 t_1^\prime은 서로 동일해요.

\tag{3}
\begin{align}
&x_1 ^\prime = x_1 -vt_1\\
& y_1^\prime = y_1\\
& z_1 ^\prime = z_1\\
& t_1 ^\prime = t_1\\

\end{align}

2-2. 시간 t₂에서의 갈릴레이 변환

그런데 시간이 t_1에서 t_2로 더 흘렀어요. 물론 버스안의 시간도 t_1^\prime에서 t_2^\prime으로 더 흘렀죠.

그때의 상황을 나타낸 것이 [그림 2]의 아래쪽 그림이에요.

이때 Kevin이 보는 파리까지의 거리를 x_2, Jennie가 보는 파리까지의 거리를 x_2^\prime이라고 할께요. 또한 버스가 t_2 동안 이동한 거리는 vt_2가 될 것입니다.

결국 이 순간에 Kevin과 Jennie가 있는 두 관성기준계 사이의 변환 관계는 다음과 같습니다. 물론 두 공간에서의 시간인 t_2와 t_2^\prime은 서로 동일해요.

\tag{4}
\begin{align}
&x_2 ^\prime = x_2 -vt_2\\
& y_2^\prime = y_2\\
& z_2 ^\prime = z_2\\
& t_2 ^\prime = t_2\\

\end{align}

(3)과 (4)식은 서로 다른 시간에서 주어지는 갈릴레이 변환식입니다.

2-3. 속도 덧셈 법칙

그렇다면 각 요소의 변위를 도출하기 위해 (4)식에서 (3)식을 빼봐요. 이때 x성분을 제외한 나머지 성분들은 변위가 없으니 모두 무시하도록 하겠습니다.

\tag{5}
\begin{align}
x_2^\prime - x_1^\prime &= (x_2 - v t_2) - (x_1 - vt_1) \\
& = (x_2 - x_1) -v(t_2 - t_1)\\
\end{align}

(5)식을 변화량 기호로 정리하면 다음과 같아요.

\tag{6}
\Delta x^\prime = \Delta x - v\Delta t

이제 속도를 구하기 위해 (6)식의 좌변은 \Delta t^\prime으로 우변은 \Delta t로 나누어 봐요. 그러면 아래와 같아요.

\tag{7}
\begin{align}
{{\Delta x^\prime}\over{\Delta t^\prime}} &={{\Delta x}\over{\Delta t}} - v
\end{align}

(7)식을 조금 더 이해하기 쉽도록 상대속도 표기 방법을 이용하여 각 항의 명칭을 부여해 볼게요.

참고로 A의 관찰자가 관찰한 B 대상물의 상대속도는 통상 v_{BA}로 나타냅니다.

이 방식을 적용하면 (7)식의 좌변은 Jennie가 버스의 공간에서 파리를 관찰한 속도에 해당합니다. 따라서 v_{파버}로 표기할 수 있어요.

또한 우변의 첫번째 항은 Kevin이 정지한 상태에서 파리를 관찰한 속도로서 v_{파정}로 나타낼 수 있어요.

마지막으로 (7)식의 두번째 항은 버스의 속도로서 Kevin이 정지한 상태에서 버스를 바라본 속도입니다. 따라서 v_{버정}으로 표기할 수 있어요.

결국 (7)식을 상대속도 표기법을 활용해 다시 쓰면 아래의 식을 만들어 낼 수 있어요. 이 식을 갈릴레이 속도 덧셈 법칙이라 합니다.

\tag{8}
v_{파버} = v_{파정} - v_{버정}

만일 정지상태의 Kevin이 관찰한 파리의 속도 v_{파정}을 구하고 싶다면 (8)식을 변형하여 아래와 같이 구하면 됩니다.

\tag{9}
v_{파정} = v_{파버} + v_{버정}

(9)식에 따르면 버스 안 Jennie가 관찰한 파리가 정지 상태에 있다면 v_{파버} =0이 되어 정지상태의 Kevin이 관찰하는 파리의 속도 v_{파정}은 달리는 버스의 속도 v_{버정}과 같습니다.

예를 들어 버스가 20 m/s의 속도로 달리는데 그 버스 안에 있는 승객이 보기에 파리가 정지상태로 있다고 해봐요. 그 파리를 버스 밖에 있는 사람이 보면 파리는 20 m/s로 이동한다는 말입니다.

한편 버스가 20 m/s의 속도로 달리는데 그 버스 안에 있는 승객이 보기에 파리가 전방으로 2 m/s의 빠르기로 날아간다면 버스 밖에 있는 사람은 그 파리의 속도가 22 m/s로 관측된다는 의미입니다.

그리고 꼭 기억해야 할 것은 관성기준계 사이의 시간은 서로 동일하게 흐른다는 것입니다.

이상으로 갈릴레이 변환 관계와 갈릴레이 속도 덧셈 법칙에 대해 알아 보았습니다.

Related posts.

자동차의 최고출력 개념과 이 값이 크면 무엇이 좋은가? 질량과 무게 – 전자 저울로 측정한 값은 질량일까요 무게일까요? 가속도 운동 – 음의 가속도, 0의 가속도, 양의 가속도 개념 정리 벡터, 벡터의 작도, 벡터의 크기, 벡터의 성분 벡터의 덧셈 : 기하학적 표현과 수학적 처리 회전운동 – 각위치, 각변위, 각속도, 각가속도의 정의와 개념 높이에 따른 위치에너지 변화 FFT 분석 예시: Origin 프로그램 중심으로