감쇠조화운동(damped harmonic motion)

Last Updated on 2024-03-28 by BallPen

단순조화운동에 제동력이 추가된 감쇠조화운동을 알아봐요.

감쇠조화운동(damped harmonic motion)은 단순조화운동에 공기저항력과 같은 제동력(retarding force)이 추가되었을 때 나타나는 운동을 말합니다.

감쇠조화운동의 운동방정식은 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분방정식으로 주어지는데요.

이 미분방정식의 풀이과정에서 보조방정식이 실근, 중근, 허근을 갖느냐에 따라 과다감쇠(overdamped), 임계감쇠(critically damped), 미흡감쇠(underdamped)라 불리는 운동 형태가 나타납니다.

진동의 변위를 x(t)라고 할 때 일반해는 다음의 형태를 가져요.

\tag{D1}
\begin{align}
&x(t) =A e^{h_1 t}+ B e^{h_2t}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm{overdamped}}) \\
&x(t) = Ate^{ht}+Be^{ht}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {critically ~damped}})\\
&x(t) = e^{\alpha t}(A\cos \beta x + B\sin \beta x)~~~~~({\rm{underdamped}})
\end{align}

이 글에서는 위 일반해들이 어떻게 나왔는지 알아보고 구체적인 진동 형태 등은 관련 예제를 통해 따로 설명드리겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 감쇠조화운동 운동방정식

감쇠조화운동을 일으키는 진동자를 감쇠조화진동자(damped harmonic oscillator)라고 합니다. 단순조화진동자와 차이가 있다면 감쇠조화진동자는 공기저항력과 같은 제동력이 추가적으로 고려된다는 거에요.

우선 단순조화운동을 복습하고 감쇠조화운동 운동방정식을 도출해봐요.

1-1. 단순조화진동자(복습)

용수철에 질량 m인 물체가 매달린 단순조화진동자를 생각해봐요. 이때 질량 m인 물체에 작용하는 힘은 훅(Robert Hooke, 1635-1703)의 법칙이라 불리는 탄성력 \vec F_e=-k \vec x만 존재해요.

혹시 질량 m인 물체에 작용하는 중력을 생각할 수도 있는데요. 중력은 물체가 진동하는 사이에 항상 일정한 크기로 작용하므로 진동현상과는 직접적인 관련이 없어요.

따라서 이 경우 중력은 무시해도 됩니다. 바꾸어 말하면 중력이 없어도 단순조화운동은 일어난다는 거에요.

뉴턴 운동의 제2법칙에 탄성력을 대입하면 \sum F=-kx=ma가 성립해요. 결국 ma+kx=0이므로 단순조화운동의 운동방정식은 다음과 같습니다.

\tag{1-1}
\begin{align}
&m {{d^2 x}\over{dt^2}} + kx =0
\end{align}

여기서 가속도 a는 변위 x를 시간 t로 두번 미분한 것과 같으므로 {{d^2x}\over{dt^2}}로 나타냈어요.

(1-1)식의 단순조화운동 미분방정식 풀이 과정은 이전 글을 참고하세요. 일반해는 다음과 같이 구해집니다.

\tag{1-2}
x(t) = A \sin(\omega_0t + \phi_0)

여기서 A는 진동 진폭이고, \omega_0는 자연진동수로서 \sqrt{{k}\over{m}}이에요. 그리고 \phi_0는 t=0인 순간의 진동자의 초기 위상입니다.

이 운동의 특징은 한번 진동시키면 무한히 진동한다는 거에요.

반면에 현실세계의 진동은 한번 진동시키면 몇 차례 진동하다가 진폭이 점점 감소하며 결국에는 멈춰요. 또는 왔다 갔다 하는 진동없이 처음부터 평형점을 찾아가는 경우도 있어요.

이러한 운동을 감쇠조화운동이라고 합니다.

1-2. 감쇠조화진동자

아래 [그림 1]은 감쇠조화운동을 일으키는 감쇠조화진동자의 모습이에요. 천장에 용수철이 걸려있고 그 반대쪽에는 질량 m인 물체가 매달려 진동하고 있어요.

진동과정에서 그림과 같이 물체가 진동중심(center of oscillation)으로부터 \vec x만큼 변위되었다면 변위의 반대방향으로 탄성력(또는 복원력이라고도 함) F_e =-k \vec x가 작용해요.

여기까지는 단순조화진동자하고 완전히 똑같아요.

하지만 감쇠조화진동자에서는 힘의 요소 하나가 더 추가되는데요.

그림처럼 물체가 아래쪽으로 속도 \vec v로 움직이고 있는 순간에 그 속도의 반대방향으로 선형저항력 F_r = -c \vec v가 작용합니다.

이 힘은 여러분들이 공원을 뛰어갈 때 여러분들을 뒤쪽으로 미는 것처럼 느껴지는 공기저항력이 있을 텐데요. 바로 그 힘이에요.

c는 감쇠계수로써 진동자의 주변 환경에 따라 결정되는 상수입니다. 예를 들어 진동자가 공기속에 있을 때 보다 물속에 있을 때 저항력을 더 많이 받게 되므로 저항계수가 더 크겠죠.

결국 뉴턴운동의 제2법칙에 따라 감쇠조화운동 운동방정식(또는 감쇠조화진동 운동방정식)은 \sum F=\color{blue}-kx -c \vec v=ma로 정의되고, v={{dx}\over{dt}}이므로 이를 반영하여 표현하면 다음과 같아요.

\tag{1-3}
\begin{align}
&m {{d^2 x}\over{dt^2}} +c {{dx}\over{dt}} +kx =0
\end{align}

식을 간단히 하기 위해 양변을 m으로 나눕니다.

\tag{1-4}
\begin{align}
& {{d^2 x}\over{dt^2}} + {c \over m} {{dx}\over{dt}} +{k \over m}x =0
\end{align}

그리고 미분기호를 사용해 표현하면 다음과 같아요.

\tag{1-5}
\begin{align}
x^{\prime \prime} + {{c}\over{m}} x^{\prime} + {{k}\over{m}}x = 0
\end{align}

위의 식을 보면 전형적인 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분방정식이에요. 이 방정식을 풀면 시간에 따른 변위 x(t)를 구할 수 있게 됩니다

이제부터 (1-5)식을 풀어봐요. 계속 아래의 내용을 읽어주세요.

2. 감쇠조화운동 운동방정식의 일반해

상수계수를 갖는 제차 이계 상미분방정식 풀이 방법을 그대로 적용할게요.

(1-5)식의 조건을 만족하는 함수는 아래와 같은 지수함수에요.

\tag{2-1}
x(t) = e^{ht}

따라서 위식에서 h만 구할 수 있다면 (1-5)식의 완전한 해를 구하게 되는 거죠.

일단 (2-1)식이 해이므로 (1-5)식에 대입하고 정리하면 다음과 같아요.

\tag{2-2}
\Big({\color{blue}h^2 + {c \over m} h  + {k \over m}} \Big) e^{ht}=0

(2-2)식이 성립하려면 괄호안 파랑색으로 쓰여진 이차방정식이 0이 되어야만 합니다. 그 조건 만을 따로 쓰면 아래 (2-3)식과 같아요.

\tag{2-3}
h^2 + {c \over m}h + {k \over m} = 0

(2-3)식을 보조방정식 또는 특성방정식이라고 해요. 이 보조방정식을 풀면 우리가 구하고자 하는 h를 알 수 있게 됩니다.

그럼 h는 어떻게 구하냐면 근의 공식을 적용하면 됩니다. 그 결과는 다음과 같아요.

\tag{2-4}
\begin{align}
h &= {{-{{c}\over{m}} \pm \sqrt{({c \over m })^2 - 4{k \over m}}}\over{2}}\\[10pt]
&=-{c \over{}2m} \pm \sqrt{{{c^2}\over{4m^2}} - {k \over m}}
\end{align}

식이 복잡해 보이는데요. 이때는 상수와 상수의 곱, 상수 나누기 상수는 또다른 상수가 될뿐이므로 이를 간단한 형태로 치환하면 좋아요. 예를 들어 {c \over {2m}}를 \gamma로 치환하고 감쇠인자라고 부를게요. 그리고 {k \over m}는 자연진동수 \omega_0^2입니다.

이 관계를 (2-4)에 대입하면 다음과 같아요.

\tag{2-5}
h= - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}

이때 근호안에 있는 판별식의 부호에 따라 h는 서로 다른 두개의 실근, 중근, 서로 다른 두개의 허근으로 나타나게 될거에요.

이에 따라 미분방정식의 일반해는 서로 다른 모습을 갖게 되요. 하나 하나 알아봐요.

2-1. 보조방정식이 두개의 실근을 갖는 경우

(2-5)식에서 근호 안에 있는 {\gamma^2 - \omega_0^2}이 양수인 경우에요. 그래서 \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}을 q로 치환하면 h_1 = - \gamma + q, h_2 = - \gamma - q가 됩니다.

이것을 이용해 (1-5)식의 일반해를 구하면 다음과 같아요. 다시 한번 더 말씀드리면 제차 이계 상미분방정식 풀이에 대한 이전 글을 꼭 참고하세요.

\tag{2-6}
x(t) = A e^{(-\gamma + q)t} + B e^{(-\gamma - q)t}

여기서 A와 B는 초기조건으로 결정되는 상수입니다.

(2-6)식을 잘 보시면 변위 x(t)는 지수함수적으로 변할 것을 짐작할 수 있어요. 바꾸어 말하면 t=0인 순간에 진동중심으로부터 x만큼 물체가 변위되었다면 그 물체는 아래 위로 진동하지 않고 평형점을 향해 지수적으로 변할거에요.

이러한 감쇠형태를 과다감쇠라고 합니다. (이 감쇠의 구체적인 형태는 예제 풀이를 참고하세요.)

2-2. 보조방정식이 중근을 갖는 경우

(2-5)식에서 근호 안에 있는 {\gamma^2 - \omega_0^2}이 0인 경우에요. 그러면 보조방정식의 해는 h=-\gamma가 됩니다.

이 경우 (1-5)식의 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분방정식의 일반해는 다음과 같이 주어져요.

\tag{2-7}
x(t) = Ate^{- \gamma t}+Be^{- \gamma t}

(2-7)식도 변위가 지수함수적인 감쇠형태를 보여주고 있어요. 따라서 진동의 중심을 기준으로 위 아래로 진동하는 현상은 이 경우에도 나타나지 않아요.

이러한 감쇠형태를 임계감쇠라고 합니다. (이 감쇠의 구체적인 형태는 예제 풀이를 참고하세요.)

2-3. 보조방정식이 두개의 허근을 갖는 경우

(2-5)식에서 근호 안에 있는 {\gamma^2 - \omega_0^2}이 0보다 작은 경우에요. 그러면 보조방정식의 해는 켤레복소수 관계를 갖는 두개의 허근을 갖게 됩니다.

그러므로 \sqrt{\gamma_0^2 - \omega_0^2}을 i \omega_d로 치환해봐요. 그리고 양변을 제곱해서 정리하면 다음이 성립합니다.

\tag{2-8}
\begin{align}
&\sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} = i \omega_d\\[10pt]
&\gamma^2 - \omega_0^2 = - \omega_d^2\\[10pt]
& \omega_d^2 = \omega_0^2 - \gamma^2
\end{align}

여기서 \omega_d는 \omega_0보다 작은 값을 갖는 또 다른 진동수에요.

결국 보조방정식의 해는 - \gamma+i \omega_d와 - \gamma - i \omega_d가 됩니다.

이 경우 (1-5)식의 일반해는 다음과 같아요.

\tag{2-9}
x(t) = e^{-\gamma t} (A \cos \omega_d t + B \sin \omega_dt)

(2-9)식을 보면 \cos과 \sin의 결합으로 주어져 있어 시간에 따른 변위 x(t)가 위 아래로 진동하는 형태임을 짐작할 수 있어요.

다만 e^{-\gamma t}때문에 진폭이 시간에 따라 지수적으로 감소할거에요.

그리고 진동하는 과정에서 진동수가 단순조화운동의 자연진동수인 \omega_0가 아니라 \omega_d라는 것도 새로운 특징이 됩니다.

그러니까 (2-8)식 마지막 줄의 수식과 같이 감쇠인자 \gamma가 클수록 \omega_d는 작아집니다. 예를 들어 공기중에서 용수철에 매달린 물체가 진동할 때 보다 물속에서 진동할 때 진동수가 더 작아지는 것을 상상할 수 있을거에요.

(2-9)식을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 식의 모양을 바꾸어 봐요. 이를 위해 초기조건으로 결정되는 상수 A와 B를 각각 k \cos \theta_0와 k \sin \theta_0로 두겠습니다.

\tag{2-10}
\begin{align}
x(t) &= e^{-\gamma t}(k \cos \theta_0 \cos \omega_d t + k\sin \theta_0 \sin \omega_0t)\\[10pt]
&=e^{-\gamma t} \Big(k\cos(\omega_d t + \theta_0)\Big)\\[10pt]
\end{align}

이러한 감쇠형태를 미흡감쇠라고 합니다. (이 감쇠의 구체적인 형태는 예제 풀이를 참고하세요.)

3. 예제 풀이

지금까지 (1-5)식에 주어진 감쇠조화운동의 운동방정식을 풀어 (2-6), (2-7), (2-9)식의 과다감쇠, 임계감쇠, 미흡감쇠의 일반해를 구했습니다.

이제는 예제를 풀어 일반해 뿐만 아니라 특수해도 구해보면 좋을 텐데요.

예제까지 이 글에서 다루자니 글의 길이가 너무 길어져 감쇠조화운동 미분방정식 풀이 예제는 다른 글에서 계속 설명드리겠습니다.

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