Last Updated on 2023-07-08 by BallPen
가속도가 일정할 때 사용되는 등가속도 운동 공식을 유도해 보겠습니다.
등가속도 운동 공식이란 물체가 일정한 가속도로 직선운동할 때 시간에 따른 물체의 속도와 위치를 구하는데 사용되는 공식을 말합니다.
여기서 ‘일정한 가속도’란 시간에 따라 가속도가 변하지 않고 일정하게 유지됨을 뜻합니다.
등가속도 운동 공식은 다음과 같이 3개의 관계식으로 주어집니다.
\tag{D1}
\color{blue} v =v_0 + at\tag{D2}
\color{blue} x = x_0 + v_0t + {1 \over 2}at^2\tag{D3}
\color{blue}v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)이번 글에서는 위에 주어진 공식들을 하나씩 유도해보겠습니다. 등가속도 운동을 이해하는데 큰 도움이 될 거에요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
1. 등가속도 운동
등가속도 운동이란 가속도가 시간에 무관하게 일정한 운동입니다.
예를 들어 사과를 1.0 m 높이에서 손으로 잡고 있다가 낙하시키면 사과는 중력가속도 g=9.8~\mathrm{m/s^2}의 일정한 가속도로 낙하합니다.
![[그림 1] 등가속도 운동. 사과는 일정한 가속도로 떨어집니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2023/07/1024px-Falling_apple_crop-768x1024.jpeg)
따라서 물체의 속도는 시간에 비례해서 점점 빨라지게 되죠.
가속도 a는 시간 t에 따른 속도 v의 변화율로 정의됩니다. 따라서 가속도가 일정하다는 말은 시간에 따른 속도변화율이 상수가 된다는 의미입니다.
이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
\tag{1}
\color{red}{a = {dv \over dt} = 상수}등가속도 운동 공식은 바로 (1)식에서부터 시작하면 모두 유도할 수 있습니다. 노트를 펴고 함께 해봐요.
2. 등가속도 운동 공식 유도
2-1. 첫번째 공식
(1)식처럼 가속도 a가 시간에 무관한 상수임을 꼭 기억하세요. 그리고 (1)식을 아래와 같이 변형할 수 있을거에요.
\tag{2}
adt = dv이번에는 (2)식의 양변을 적분합니다.
좌변은 시간으로 적분하면 되는데요. 적분구간은 t=0에서 t까지로 합니다.
그리고 우변은 속도로 적분하는데요. 적분 구간은 t=0에서의 초기속도로써 v_0부터 t에서의 나중속도 v까지로 하겠습니다.
\tag{3}
\begin{align}
\int_0^t adt &= \int_{v_0}^{v} dv\\[10pt]
\Big[at \Big]_0^t &=\Big[v\Big]_{v_0}^v\\[10pt]
at &= v-v_0
\end{align}(3)식에서 가속도 a는 모두 상수로써 취급되었습니다. (3)식의 가장 마지막 줄을 속도 v에 대해 정리하면 (D1)식에 주어진 첫번째 등가속도 공식이 만들어집니다.
\tag{4}
v = v_0 + at여기서 v_0는 초기속도로 상수입니다.
2-2. 두번째 공식
속도는 시간에 따른 위치의 변화율로써 정의됩니다. 이 관계를 적용하여 (4)식의 첫번째 등가속도 공식을 다시 쓰면 아래와 같습니다.
\tag{5}
{{dx}\over{dt}} = v_0 + at(5)식에서 v_0와 a는 상수임을 기억하세요. 그리고 (5)식을 아래와 같이 변수분리하세요.
\tag{6}
dx = (v_0 + at) dt그리고 (6)식의 양변을 적분합니다.
좌변은 위치로 적분하면 되는데요. 적분구간은 초기위치인 x_0에서 나중위치 x까지로 합니다.
그리고 우변은 시간으로 적분하는데요. 적분 구간은 초기시간 t=0에서 t까지로 하겠습니다.
\tag{7}
\begin{align}
\int_{x_0}^{x} dx &= \int_{0}^t (v_0 + at)dt\\[10pt]
\Big[x\Big]_{x_0}^{x} &=\Big[v_0t + a{1 \over 2}t^2\Big]_0^t\\[10pt]
x-x_0 & = v_0t + {1 \over 2}at^2
\end{align}(7)식의 가장 마지막 줄을 위치 x에 대해 정리하면 (D2)식에 주어진 두번째 등가속도 공식이 만들어집니다.
\tag{8}
x = x_0 + v_0 t + {1 \over 2}at^2이 식에서 x_0는 초기위치로써 상수입니다.
2-3. 세번째 공식
(D3)식에 주어진 세번째 공식은 첫번째와 두번째 공식을 결합하여 만들어집니다.
첫번째 공식인 (4)식을 다음과 같이 t에 대해 정리합니다.
\tag{9}
t = {{v - v_0}\over{a}}그리고 (9)식을 (8)식에 대입하여 전개합니다.
\tag{10}
\begin{align}
x-x_0 &= v_0 t + {1 \over 2}at^2\\[8pt]
&=v_0\Big({{v-v_0}\over{a}}\Big)+{1 \over 2}a\Big({{v-v_0}\over{a}}\Big)^2\\[8pt]
&={{vv_0-v_0^2}\over{a}} + {1 \over 2}\cancel a{{v^2 - 2 v v_0 + v_0^2}\over{a^{\cancel 2}}}\\[8pt]
&={{\cancel{2vv_0} - 2v_0^2}\over{2a}} + {{v^2 \cancel{- 2vv_0} + v_0^2}\over{2a}}\\[8pt]
&={{v^2 - v_0^2}\over{2a}}
\end{align}(10)식의 가장 마지막 줄을 다음과 같이 정리하면 세번째 등가속도 공식이 얻어집니다.
\tag{11}
v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)(참고) 등속도 공식
이번에는 가속도가 0이어서 속도가 일정하게 유지될 때 사용되는 등속도 공식을 유도해 보겠습니다. 참고하시기 바랍니다.
속도는 위치의 시간변화율로 정의되며, 등속도의 경우 속도 v는 상수가 됩니다.
\tag{R1}
\color{red}{v = {dx \over dt} = 상수}(R1)식을 변수분리합니다.
\tag{R2}
dx = vdt그리고 (R2)식의 좌변과 우변을 적분합니다. 위치는 x_0에서 x까지, 시간은 0에서 t까지로 적분구간을 설정하겠습니다.
\tag{R3}
\begin{align}
\int_{x_0}^x dx &= \int_{0}^t vdt\\[8pt]
\Big[x\Big]_{x_0}^{x} &= \Big[vt\Big]_{0}^t\\[8pt]
x-x_0 &= vt\\[8pt]
\end{align}마지막으로 (R3)식을 x에 대해 정리하면 다음의 등속도 공식을 구하게 됩니다.
\tag{R4}
x = x_0 + vt이상으로 등가속도 운동 공식 3가지와 등속도 공식을 모두 유도해 보았습니다.
