로그 기본 성질과 로그 활용 사례

Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

로그 계산을 위한 기본 성질과 로그가 활용된 사례를 알아보겠습니다. 의외로 로그는 활용도가 높아요.

로그 성질과 활용 사례를 이번 글에서 다루고자 합니다.

John Napier(1550~1617)가 발명한 로그(log, logarithm)는 다양한 분야에서 활용되고 있어요. 함께 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 로그 정의

1-1. 지수함수의 역함수

로그함수란 지수함수의 역함수를 말합니다.

– 로그함수의 정의

아래 (1)식의 함수가 있다고 보세요. 이 함수는 $x$값을 입력받아 $y$값을 구하는 거에요.

그런데 이 함수를 변경하여 $y$값을 입력받아 $x$값을 계산하고 싶으면 우리는 다음과 같이 식을 바꿀것입니다.

그리고는 보통 입력되는 값을 $x$라 하고, 결과 값을 $y$라고 하니 $x$와 $y$의 기호를 서로 바꾸어 다음과 같이 최종 표기합니다.

이와 같이 입력값과 결과값의 일대일 관계를 서로 바꾸어 놓은 함수를 원래함수의 역함수라고 우리는 보통 부르게 됩니다. 즉 (1)식이 원래함수이고, (2)식이 (1)식의 역함수인 거에요.

그렇다면 $y = 10^x$인 지수함수가 있다고 생각해봐요. 여기서 용어를 몇가지만 정리하고 가겠습니다. 이 식에서 $y$는 진수, 10은 밑, $x$를 지수라고 부릅니다.

이 함수의 역함수는 어떻게 구할 수 있을까요? 바로 (1)식과 (2)식의 방법을 그대로 적용해 보겠습니다.

(3)식의 두번째 줄을 $x$에 관해 정리하면 되는데, 이때 사용되는 것이 로그 $\log$입니다. 바로 다음과 같이 $\log$기호를 사용하는 것이죠.

그리고는 $x$와 $y$의 기호를 아래 (6)식과 같이 서로 바꾸면 (4)식의 지수함수에 대한 역함수가 구해지는 것입니다.

여기에서도 용어는 지수함수의 용어를 그대로 사용합니다. 물론 함수의 모양을 일반화하기 위해 $x$와 $y$의 기호는 서로 바꾸었지만요. (6)식에서 10을 밑, $x$를 진수라고 합니다. 결국 로그 함수는 지수 함수에서의 지수 $y$값을 구하는 함수로 보면 됩니다.

위에서 말씀드렸듯이 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계입니다. 아래 [그림 1]에서 파랑색 곡선은 $y=10^x$의 그래프이고 빨강색 곡선은 $y={\log_{10}}x$의 그래프입니다. 이 두 곡선이 $y=x$ 그래프에 대해 대칭인 것을 알 수 있습니다.

– 다양한 로그 함수 : 상용로그와 자연로그

또 하나 중요한 것은 밑이 항상 10일 필요는 없다는 것입니다. 일반적으로 밑이 10인 경우가 일상생활에서 많이 사용되기 때문에 이를 상용로그라고 합니다. 그래서 상용로그의 $\log_{10}$을 줄여 그냥 $\log$로 표현을 많이 합니다.

밑은 0보다 크고 1이 아닌 수면 무엇이든 가능합니다. 예를 들어 아래와 같은 경우가 모두 가능합니다.

• $y=2^x~\longleftrightarrow x={\log_2}y \longleftrightarrow y={\log_2}x$
• $y=e^x~\longleftrightarrow x={\log_e}y \longleftrightarrow y={\log_e}x$

위 예시에서 밑이 오일러상수 e인 경우에 대해서 제시했는데요. 이러한 로그함수는 자연계를 기술하는 수학에서 자주 등장하게 됩니다. 그래서 이 로그함수를 특별히 자연로그라고 합니다. 그리고 $\log_e$ 기호 대신에 ln으로 바꾸어 표기하는 경우가 많아요.

1-2. 예제 풀이

아주 간단한 경우를 예로 들어 보겠습니다.

(예제1) $10^{y} = 2.10$으로 주어진 관계가 있습니다. $y$가 얼마가 되면 이 식의 관계가 성립할까요?

(Sol) 밑이 10이고 진수가 2.10을 만족하는 지수 값 $y$를 구하는 문제입니다. 이때 필요한 것이 로그입니다.

이때 한 가지 문제가 있는데요. (6)식에서 두번째 줄의 우변이 무슨 값을 갖느냐 입니다. 이때 사용하도록 편리하게 만든 표가 로그표입니다. 또는 계산기로도 쉽게 계산되는데요. ${\log_{10}}{2.10}$을 계산기로 확인해보면 0.3222가 나옵니다.

결국 (7)식의 첫번째 줄이 성립하기 위한 $y$값이 0.3222가 된다는 것입니다.

2. 로그의 기본 성질

로그 계산 과정에서 자주 사용되는 몇 가지 기본 성질이 있습니다. 이에 대한 정의와 증명을 알아보겠습니다. 여기에서는 밑이 10인 상용로그를 예로 들었는데요. 밑은 위에서 설명한 바와 같이 1이 아닌 양의 값이면 모두 가능합니다. 밑은 2, e, 5, 7 등 다른 숫자로 바꿀 수 있다는 것을 꼭 기억하세요.

2-1. 로그의 성질 #1

${\log_{10}}1$ = 0

${\log_{10}}10 = 1$

(증명) $10^0 = 1$이고, $10^1 = 10$입니다. 이것을 (4)와 (5)식의 역함수 관계를 적용하면 ${\log_{10}}1 =0$이고, ${\log_{10}}10 = 1$이 됩니다.

2-2. 로그의 성질 #2

${\log_{10}}(M \times N)~=~{\log_{10}}M+{\log_{10}}N$

(증명) $10^x = M$이고, $10^y = N$으로 주어진 지수함수를 생각해 보세요. 그리고 이 두 지수함수의 역함수를 각각 구하면 $x= {\log_{10}}M$이고 $y = {\log_{10}}N$이 됩니다.

이번에는 두 지수함수를 곱해 볼까요. 그러면 $10^x \times 10^y = 10^{x+y} = M\times N$의 관계가 성립합니다. 이때 이 식에서 두번째와 세번째 항의 식에 대한 역함수를 구하면 ${\log_{10}}{(M \times N)} = x+y ={\log_{10}}M + {\log_{10}}N$이 성립하게 됩니다.

2-3. 로그의 성질 #3

${\log_{10}}({{M}\over{N}})~=~{\log_{10}}M-{\log_{10}}N$

(증명) 이번에도 $10^x = M$이고, $10^y = N$으로 주어진 지수함수를 생각해 보세요. 그리고 이 두 지수함수의 역함수를 각각 구하면 $x= {\log_{10}}M$이고 $y = {\log_{10}}N$이 됩니다.

이번에는 이 두 지수함수를 나누어 볼까요. 그러면 ${{10^x} / {10^y}}=10^x \times (10^y )^{-1} = 10^x \times 10^{-y} = 10^{x-y} = {{M}\over{N}}$의 관계가 성립합니다.

이때 위 관계에서 네번째와 다섯번째 항의 식에 대한 역함수를 구하면 ${\log_{10}}{({{M}\over{N}})} = x-y ={\log_{10}}M - {\log_{10}}N$이 성립하게 됩니다.

2-4. 로그의 성질 #4

$k{\log_{10}}L = {\log_{10}}L^k$

(증명) $10^x = M=L^k$의 관계가 성립한다고 보겠습니다. 즉 임의의 $x$에 대한$10^x$의 값 $M$이 $L$의 $k$제곱으로 주어지는 것이죠.

그러면 위 관계에서 첫번째와 세번째 항에 대한 역함수를 구하면 $x={\log_{10}}L^k$가 성립합니다.

또한 첫번째와 세번째 항의 관계가 $10^x = L^k$이므로, 양변을 $1/k$제곱하면 $(10^x)^{1/k} = (L^k)^{1/k}$이 됩니다. 이 식을 정리하면 $10^{x/k} = L$이 되며, 이 관계의 역함수를 구하면 ${\log_{10}}L = x/k$가 됩니다.

그리고 ${\log_{10}}L = x/k$의 양변을 $k$로 곱하면 $k{\log_{10}}L = x ={\log_{10}}L^k$이 성립하게 됩니다.

3. 로그 활용 사례

3-1. 음압레벨과 등가소음도

소음의 음압레벨(Sound Pressure Level)이나 등가소음도(Equivalent Noise Level)에서 로그 함수가 사용됩니다. 이에 대해서는 아래 링크를 클릭하시면 사용되는 사례를 구체적으로 볼 수 있어요.

• 음압 레벨과 등가소음도 (클릭)

3-2. 차이가 아주 큰 값 들을 하나의 그래프에서 표현할 때

로그는 아주 작은 수와 아주 큰 수가 섞여있는 데이터를 그래프로 표현할 때에도 유용하게 사용됩니다.

아래 표에 있는 데이터는 여러분들이 실험을 통해 측정한 값이라고 생각해보세요. 이것을 그래프로 나타내고자 합니다.

$x$값	$y$값
0	2
1	1
2	4
3	2
4	1000

통상적인 꺽은선 그래프를 그려보면 아래 [그림 2]와 같은 모양으로 그려지게 됩니다. 문제는 (4,1000) 좌표의 데이터에 의해 아주 작은 (0,2), (1,1), (2,4), (3,2)의 $y$좌표가 명확하게 보이지 않고 거의 0으로 그려진다는 것입니다.

이렇게 그래프를 그리면 표에 담겨진 데이터의 세부 정보를 다른 사람들에게 전달하는데 실패하게 되는 것이죠.

그렇다면 어떻게 해야 아주 큰 데이터에서 작은 데이터까지 하나의 그래프에 모두 명확하게 보여줄 수 있을까요? 바로 $y$축을 로그눈금으로 그리면 가능합니다.

[그림 3]은 표의 데이터를 꺽은선 그래프로 그려낸 것인데요. [그림 2]와의 차이점은 $y$축의 눈금을 로그 눈금(또는 대수 눈금이라 부름)으로 바꾸었다는 것입니다.

그림과 같이 아주 작은 데이터에서부터 아주 큰 데이터까지 모두 명확하게 보여지는 것을 알 수 있습니다.

로그는 정말 유용한 것 같아요.

4. 로그의 기본 성질과 활용 사례 요약

• 로그함수는 지수함수의 역함수이다. 그러므로 두 함수의 그래프는 $y=x$에 대하여 대칭이다.
• 밑이 10인 상용로그는 보통 log로 표기하며, 밑이 오일러상수 e인 자연로그는 보통 ln으로 표기한다.
• 로그는 4개의 기본성질을 갖는다.
• 로그는 대표적으로 소음과 진동 분야에서 두루 쓰이며, 아주 작은 수치의 데이터와 큰 수치의 데이터를 하나의 그래프에 모두 표현하고자 할 때 사용될 수 있다.