수학:MATHEMATICS

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수학 명언: 수학을 모르는 이들은 자연의 아름다움, 그것도 최고의 아름다움을 느끼기 힘들것이다. (To those who do not know mathematics it is difficult to get across a real feeling as to the beauty, the deepest beauty of nature.) – 리처드 파인만(Richard Feynman, 1918-1988)

1. 산술

• 수체계(number system)
  • \rightarrow 실수 수 체계(자연수, 정수, 유리수, 무리수), 복소수(허수)
• 복소수(complex numbers)
  • \rightarrow 복소수(복소수의 표현, 복소수의 크기), 오일러공식, 복소수 연산(복소수의 덧셈과 뺄셈, 복소수의 곱, 복소수의 나눗셈, 복소수의 거듭제곱), 복소 삼각함수, 복소 쌍곡선함수, 복소 로그함수, 예제

2. 대수학

• 이차방정식 풀이
  • \rightarrow 이차방정식 기본꼴, 이차방정식의 풀이(인수분해를 이용한 풀이, 완전제곱식을 이용한 풀이(완전제곱식 변환 방법), 근의 공식을 이용한 풀이(근의 공식 유도), 이차방정식의 판별식)
• 로그 기본 성질과 로그 활용 사례
  • \rightarrow 로그 정의(지수함수의 역함수, 예제풀이), 로그의 기본 성질, 로그 활용 사례(음압레벨과 등가소음도, 차이가 아주 큰 값들을 하나의 그래프에 표현할 때), 요약

3. 해석학

3-1. 삼각함수

• 코사인 법칙(law of cosines)
  • \rightarrow 코사인 법칙 증명(기하학적 해석, 벡터적 해석), 코사인 법칙 연습문제
• \cos {{2 \pi}\over{3}} 값 구하기
  • \rightarrow \cos {{2 \pi}\over{3}}, \cos{{4 \pi}\over{3}}, \sin{{4 \pi}\over{3}}
• 사인 제곱 함수의 평균값
• 두배각 공식
  • \rightarrow 사인 두배각 공식, 코사인 두배각 공식, 탄젠트 두배각 공식(공식 유도에 필요한 관계식, 탄젠트 두배각 공식 유도)

3-2. 급수

• 테일러 급수 증명과 활용 사례
  • \rightarrow 테일러 급수(테일러 급수 정의, 테일러 급수 의미, 몇가지 함수에 대한 테일러 급수), 테일러 급수 활용 사례, 테일러 급수 증명
• 이항정리-이항식의 거듭제곱에 대한 근사
  • \rightarrow 이항정리(이항정리 공식, 이항식 거듭제곱의 근사), 이항정리 근사 활용 사례, 이항정리 공식 유도

3-3. 푸리에변환

• 푸리에 급수 전개
  • \rightarrow 테일러 급수 복습, 푸리에 급수(주기함수, 푸리에 급수, 푸리에 계수(함수의 내적)), 예제 풀이
• 이산 푸리에 변환 예제
  • \rightarrow 이산 신호 데이터, 이산 푸리에 변환 공식, 이산 푸리에 변환 계산 예제, 이산 푸리에 변환의 역변환

3-4. 미적분학

[미분]

• 곱의 미분

[적분]

• \int \csc^{2} (\omega t)dt 적분
• \int \cot(\omega t)dt 적분
• \int {{1}\over{(a^2 + x^2 )^{3/2}}}dx 적분

3-5. 미분방정식

• 미분방정식 기초
  • \rightarrow 미분(평균변화율, 순간변화율, 도함수와 미분, 상미분, 편미분), 미분방정식(상미분방정식, 편미분방정식), 미분방정식 구분(계수와 차수, 선형과 비선형, 구분의 예시)
• 미분방정식 해 종류: 일반해, 특수해, 특이해, 자명해
  • \rightarrow 미분방정색 해, 미분방정식 해의 종류(일반해, 특수해, 특이해, 자명해)
• 변수분리형 미분방정식 풀이 방법
  • \rightarrow 변수분리형 미분방정식, 예제, 활용분야(방사성물질 붕괴율의 일반해와 특수해, 방사성 물질의 반감기)
• 확장된 변수분리형 미분방정식 풀이 방법
  • \rightarrow 변수분리형 미분방정식 복습, 확장된 변수분리형 미분방정식, 예제 풀이, 풀이 방법 요약
• 완전미분방정식 풀이 방법
  • \rightarrow 전미분(전미분 정의, 전미분 예제), 완전미분방정식(완전미분방정식 정의와 개념, 풀이 방법), 예제1, 예제2
• 불완전미분방정식 풀이 방법
  • \rightarrow 미분방정식 예제(완전미분방정식이 아닌 방정식, 불완전미분방정식 변형), 적분인자 유도, 불완전미분방정식 풀이 예제
• 미분방정식 예제: -ydx + xdy = 0
  • \rightarrow 변수분리형 미분방정식 풀이, 불완전미분방정식 풀이(적분인자 구하기, 완전미분방정식 풀이법 적용)
• 1계 선형 미분방정식 풀이 방법
  • \rightarrow 1계 선형 미분방정식 표준형, 1계 선형 미분방정식 풀이 방법(제차형 1계 선형 미분방정식, 비제차형 1계 선형 미분방정식(적분인자 구하기, 적분인자로 일반해 구하기)), 1계 선형 미분방정식 풀이 예제
• 제차 2계 선형 상미분 방정식 : 계수 낮추기(reduce of order)
  • \rightarrow 제차 선형 상미분방정식 해의 특징(중첩의 원리, 선형성의 원리, 일차결합과 1차 독립), 제차 2계 선형 상미분 방정식 두번째 해(첫번째 해, 1차 독립인 두번째 해), 제차 2계 선형 상미분 방정식 예제(공식을 적용하지 않는 풀이, 공식을 적용하는 풀이)
• 제차 이계 상미분 방정식: 상수 계수
  • \rightarrow 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 풀이 방법(상수 계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 기본꼴, 보조방정식이 실근을 갖는 경우의 일반해, 보조방정식이 중근을 갖는 경우의 일반해, 보조방정식이 허근을 갖는 경우의 일반해), 예제

4. 응용수학

4-1. 수리물리학

4-2. 통계학

• 평균의 평균, 과연 전체 평균과 같을까요?
  • \rightarrow 평균, 평균의 평균(각 반의 학생수가 동일한 경우, 각 반의 학생수가 다른 경우), 평균의 평균 값과 전체 평균 값이 일반적으로 다르다는 증명
• 통계 용어 주요 개념에 대한 인용 자료(가계금융복지조사)

5. WolframAlpha

• 함수의 그래프 그리기 | WolframAlpha
  • \rightarrow 함수의 그래프 그리기, 한 좌표계에 여러 함수의 그래프 그리기(x축과 y축의 범위를 자동 설정, x축과 y축의 범위를 수동 설정), 함수를 치환하여 그래프 그리기
• 벡터 화살표 그리기 | WolframAlpha
  • \rightarrow 2차원 벡터 화살표 그리기(단일의 2차원 벡터, 다중의 2차원 벡터), 3차원 벡터 화살표 그리기(단일의 3차원 벡터, 다중의 3차원 벡터)
• 상미분방정식 풀이 | WolframAlpha
  • \rightarrow 상미분방정식 일반해, 상미분방정식 특수해, 특수해의 그래프

6. Mathematica

• VectorPlot: Mathematica
  • \rightarrow VectorPlot 기본 활용, VectorPlot 옵션(PlotLegend, ScalingFunctions, PlotLayout, VectorSize), 좌표계 변환을 통한 VectorPlot
• 텍스트 파일 저장과 불러오기: Mathematica
  • \rightarrowWolframCloud 매스매티카에서 텍스트 파일 다루기(Plot 명령어로 그래프 그리기, 텍스트 파일 형식으로 저장하기, 텍스트 파일 불러오기)