종단속도 (terminal velocity)

Last Updated on 2023-07-02 by BallPen

낙하하는 물체의 종단속도 값을 어떻게 구할 수 있을까요?

종단속도(terminal velocity)란 물체에 작용하는 힘과 그 힘을 방해하는 저항력의 크기가 같고 방향이 서로 반대이면 물체에 작용하는 알짜힘이 0이되어 물체가 등속도로 움직이게 되는데요. 그때의 속도를 종단속도라고 합니다.

한편 종단속도의 크기는 종단속력이라 부릅니다.

이번 글에서는 종단속도가 무엇이고, 속도에 의존하는 저항력이 어떻게 기술되는지를 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 빗방울의 속도

지붕 또는 지면에 떨어지는 빗방울의 속도는 어느 정도 될까요?

빗방울의 지름은 대략 1~2 mm 정도인데요. 기상청에 따르면 비는 해수면으로부터 1000~2000 m에 위치한 난층운이라 불리는 비구름 속에서 만들어지는 경우가 많다고 합니다.

그렇다면 1500 m 높이의 난층운 속에 빗방울이 형성된 후 중력에 의해 등가속도 운동으로 낙하하는 상황을 가정해서 지면에 도달하는 빗방울의 속도를 계산해보겠습니다.

그리고 이 계산 값을 실제 빗방울의 속도와 비교해봐요.

1-1. 등가속도 운동하는 빗방울의 속도

빗방울에 중력만 작용한다면 등가속도 운동방정식을 통해 지면에 도달하는 빗방울의 속도를 구할 수 있습니다.

지면에서의 빗방울 속도를 v, 구름속에 생성된 빗방울 초기 속도를 v_0, 중력가속도를 g, 지면에서 구름까지의 높이를 h라고 했을때 다음의 등가속도 운동방정식이 성립합니다.

\tag{1}
\begin{align}
v^2 = v_0 ^2 + 2gh
\end{align}

이때 v_0를 0 \mathrm{m/s}로 간주하고, 필요한 값들을 대입하면 v는 다음과 같습니다.

\tag{2}
\begin{align}
v &= \sqrt{2gh}\\[4pt]
&=\sqrt{2 \times 9.8~\mathrm{m/s^2} \times 1500~\mathrm{m}}\\[4pt]
&=171~\mathrm{m/s}
\end{align}

계산 결과 빗방울은 초당 171 m의 아주 빠른 속도로 지면에 도달하는 것을 알 수 있어요.

이것을 km/h로 단위 환산을 해보면 약 616 km/h가 됩니다. KTX 고속열차 최고설계속도가 330 km/h 이니 고속열차의 속도보다 대략 두배 가까운 속도로 빗방울은 낙하하게 되는 거죠.

그런데 창밖에 떨어지는 빗방울의 속도가 실제로 이렇게 빠른가요? 아닙니다.

실제 관측한 빗방울의 속도는 이것보다 훨씬 느립니다.

1-2. 실제 관측된 빗방울의 속도

관측자료에 따르면 통상적인 빗방울의 속도는 약 4 m/s 정도입니다.

(2)식의 등가속도 운동방정식으로 구한 낙하속도 171 m/s와 비교할 때 상당히 작은 값을 갖습니다.

이것은 빗방울이 낙하할 때 중력 뿐만 아니라 또 다른 힘의 성분이 존재한다는 의미를 갖습니다. 그래야 빗방울의 속도가 느려지는 이유를 설명할 수 있어요.

그렇다면 또 다른 힘의 성분은 무엇일까요? 바로 공기 저항력입니다.

2. 저항력

물체가 공기속을 이동하면 공기 저항력(항력, drag force)을 받게 되는데요. 공기 저항력은 유체의 점성에 의한 저항력과 물체가 이동하는 앞쪽면과 뒷쪽면 사이의 압력차에 의한 저항력으로 구성됩니다.

점성에 의한 저항력은 물체의 빠르기에 비례하여 선형 저항력이라 부르고, 압력차에 의한 저항력은 물체 빠르기의 제곱에 비례하여 제곱형 저항력이라고 합니다.

또한 두 저항력은 물체 속도 방향의 반대방향으로 작용하죠. 그래서 마이너스 부호가 붙습니다.

\tag{3}
선형~공기저항력~~~~~\vec{f}_1 = -c_1 \vec v

\tag{4}
제곱형~공기저항력~~~~~ \vec f_{2} = - c_2 |v|\vec v

위 (3)식과 (4)식에서 c_1과 c_2는 저항계수로써 물체가 유체속을 지날때의 특성을 나타내는 상수입니다.

그리고 다소 애매한 표현이기는 합니다만 선형 저항력이 우세하게 나타나는 경우는 속도가 느린 경우이고, 제곱형 저항력이 우세한 경우는 속도가 비교적 빠른 경우입니다. 이에 대해서는 다른 글에서 조금 더 구체적으로 설명드리겠습니다.

일단은 이 두 경우가 공기 저항력으로 나타날 수 있다는 것만 기억하면 좋을 것 같습니다.

결국 공기속에서 빗방울이 떨어질 때 물체에 작용하는 힘은 아래 [그림 2]와 같이 표현될 수 있습니다.

그림에서 가운데 동그라미가 낙하하는 빗방울을 나타냅니다. 그리고 아래쪽 방향으로 두개의 벡터(vector)가 있는데요. 하나는 빗방울에 작용하는 중력 \vec {F}이고 다른 하나는 빗방울의 속도 벡터 \vec{v}입니다.

그리고 빗방울의 속도벡터와 반대방향인 위쪽으로 공기 저항력 벡터가 빨강색으로 그려져 있는데요. 선형 저항력은 \vec{f}_1으로 제곱형 저항력은 \vec{f}_2로 표기되었습니다.

따라서 빗방울에 작용하는 알짜 힘 \sum \mathrm{\vec{F}}는 중력과 공기저항력 벡터의 합으로 주어집니다.

\tag{5}
\sum \mathrm{ \vec{F}} = \vec F + \vec f_{1,2}

이때 이해해야 할 것은 빗방울이 구름속에 생성되어 낙하를 시작하기 직전에는 중력 \vec{F} 만이 존재한다는 거에요. 왜냐면 속도 \vec v가 0이기 때문에 공기저항력 {\vec f}_1과 {\vec f}_2가 존재할 수 없기 때문이에요.

하지만 중력에 의해 빗방울의 낙하 속도가 점점 증가하면 공기저항력도 점점 증가합니다. 이 말은 공기저항력이 중력을 조금씩 상쇄해 나간다는 뜻이에요.

이로 인해 빗방울에 작용하는 알짜 힘 \sum \mathrm{\vec{F}}는 점점 작아져 빗방울의 가속도도 점점 작아집니다.

그러다가 중력과 공기저항력의 크기가 같아지는 순간 물체에 작용하는 알짜 힘은 0이 됩니다. 이때부터 빗방울은 일정한 빠르기인 등속도로 떨어지게 되죠.

바로 이때의 속도를 종단 속도라고 합니다.

3. 종단속도

위에서 말씀드렸듯이 종단속도가 나타나기 위해서는 중력과 공기저항력이 서로 상쇄되어 알짜힘이 0이되어야 합니다.

이때 물체에 작용하는 공기저항력이 선형 저항력인 경우와 제곱형 저항력인 경우를 구분하여 종단 속도를 구하면 다음과 같습니다.

3-1. 선형 저항력에 의한 종단속도

(5)식에서 물체에 작용하는 알짜 힘 \sum \mathrm{\vec{F}}가 0의 조건을 만족하면 종단속도로 낙하합니다.

\tag{6}
\begin{align}
\sum \mathrm{\vec{F}} = &\vec F + \vec f_{1} = 0\\
&mg -c_1 v_t=0
\end{align}

(6)식의 두번째 줄을 종단속도 v_t에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{7}
v_t = {mg \over c_1}

유체의 저항계수 c_1을 알고 있다면 종단속도를 구할 수 있습니다.

3-2. 제곱형 저항력에 의한 종단속도

이번에는 제곱형 저항력이 작용할 때의 종단속도입니다.

위에서와 동일한 방식을 적용하여 (5)식에서 물체에 작용하는 알짜 힘 \sum \mathrm{\vec{F}}가 0의 조건을 만족하면 종단속도로 낙하합니다.

\tag{8}
\begin{align}
\sum \mathrm{\vec{F}} = &\vec F + \vec f_{1} = 0\\
&mg -c_2 v_t^2=0
\end{align}

(8)식을 종단속도 v_t에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{9}
v_t = \sqrt{mg \over c_2}

유체의 저항계수 c_2을 알고 있다면 종단속도를 구할 수 있습니다.

한편 (9)식에 주어진 c_2를 저항계수라고 했었는데요. 이를 구체적으로 쓰면 다음의 관계를 갖습니다.

\tag{10}
\begin{align}
c_2 = {1 \over 2}D \rho A
\end{align}

이 식에서 D는 끌림계수라 불리며 단위가 없는 양입니다. \rho는 유체의 밀도이고, A는 속도의 수직인 평면에서 측정한 물체의 단면적입니다.

(10)식을 (9)식에 대입하면 제곱형 저항력에 의한 종단속도를 더욱 구체적으로 표현할 수 있어요.

\tag{11}
\begin{align}
v_t &= \sqrt{mg \over c_2}\\[11pt]
&=\sqrt{{2mg}\over{D \rho A}}
\end{align}

4. 종단속도 예제 풀이

(예제) t_1인 순간에 질량 0.145 kg인 물체가 속도 40.2 m/s로 낙하하고 있습니다. (a) 이 물체의 종단속도가 43.0 m/s라면 t_1인 순간에서의 제곱형 저항력의 크기는 얼마일까요? (b) 또한 물체가 종단속도에 이른 순간을 t_2라고 했을 때 이때의 제곱형 저항력 크기는 얼마일까요?

(a) 풀이

종단속도로 물체가 낙하할 때 물체에 작용하는 중력과 저항력은 크기가 서로 같습니다.

\tag{q-1}
\begin{align}
F &= f_2\\[4pt]
mg &= c_2 v_t^2
\end{align}

(q-1)식에서 저항계수 c_2를 구합니다.

\tag{q-2}
\begin{align}
c_2 &= {{mg}\over{v_t^2}}\\[6pt]
&={{(0.145~\mathrm{kg})(9.8~\mathrm{m/s^2})}\over{(43.0~\mathrm{m/s})^2}}\\[6pt]
&=7.69\times 10^{-4}~\mathrm{kg/m}
\end{align}

이제 속도 40.2~\mathrm{m/s}인 순간에서의 저항력 크기를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{q-3}
\begin{align}
f_2 &= c_2 v^2\\[6pt]
&=(7.69\times10^{-4}~\mathrm{kg/m})(40.2~\mathrm{m/s})^2\\[6pt]
&=1.24~\mathrm{N}
\end{align}

답은 1.24 N입니다.

(b) 풀이

종단속도로 물체가 떨어질 때 물체에 작용하는 저항력의 크기는 다음과 같습니다.

\tag{q-4}
\begin{align}
f_2 &= c_2 v_t^2\\[6pt]
&=(7.69\times10^{-4}~\mathrm{kg/m})(43.0~\mathrm{m/s})^2\\[6pt]
&=1.42~\mathrm{N}
\end{align}

이 값은 물체에 작용하는 중력의 크기와 같습니다. 중력의 크기를 구해보겠습니다.

\tag{q-5}
\begin{align}
F&=mg\\[6pt]
&=(0.145~\mathrm{kg})(9.8~\mathrm{m/s^2})\\[6pt]
&=1.42~\mathrm{N}
\end{align}

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