코사인 법칙(law of cosines)

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Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

코사인 법칙을 유도해 보겠습니다.

코사인 법칙(law of cosines)이란 삼각형 두 변의 길이와 그 사이각을 알고 있을 때 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있는 법칙을 말해요.

그런데 이 수식에 삼각함수의 cosine이 들어가 있어 코사인 법칙이라고 부릅니다.

코사인 법칙에 따르면 삼각형의 세변 길이를 a, b, ca,~b, ~c라 하고 변 aa의 맞은 편에 있는 각을 α\alpha, 변 bb의 맞은 편에 있는 각을 β\beta, 변 cc의 맞은 편에 있는 각을 γ\gamma라고 할 때 다음의 관계가 성립합니다.

a2=b2+c2−2bccos⁡αb2=c2+a2−2cacos⁡βc2=a2+b2−2abcos⁡γ(D1)\tag{D1} \begin{align} &a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\\ &b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\beta\\ &c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{align}

그럼 이제부터 위 (D1)식이 어떻게 유도되는지 알아볼께요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 코사인 법칙 증명

코사인 법칙은 기하학적 해석과 벡터적 해석을 거쳐 증명될 수 있어요. 두 방법의 결과는 모두 동일해요. 하나씩 설명드릴게요.

1-1. 기하학적 해석

아래 [그림 1]에 삼각형이 하나 있는데요.

삼각형 각 변의 길이가 aa, bb, cc이고 각 변에 대응하는 각도가 α\alpha, β\beta, γ\gamma입니다.

[그림 1] 삼각형의 각 변과 내각
[그림 1] 삼각형의 각 변과 내각

이때 [그림 2]의 빨강색 세로선과 같이 삼각형을 이등분하면 좌우로 직각삼각형이 만들어지는 것을 볼 수 있어요.

이때 각 β\beta는 그림을 단순화하기 위해 그리지 않았어요.

[그림 2] 빨강 세로선으로 삼각형을 이등분하면 좌우로 직각삼각형이 만들어 집니다.
[그림 2] 빨강 세로선으로 삼각형을 이등분하면 좌우로 직각삼각형이 만들어 집니다.

[그림 2]에서 중앙의 빨강색 세로선을 기준으로 왼쪽에 있는 직각삼각형을 보세요.

그러면 그림에 표기한 것처럼 빨강색 세로선의 길이, 즉 직각삼각형의 높이는 asin⁡γa \sin \gamma가 되고, 밑변의 길이는 acos⁡γa \cos \gamma가 됩니다.

그러면 이번에는 오른쪽 직각삼각형의 빗변 cc의 길이를 제곱한 c2c^2을 구한다고 한다면 어떻게 하면 될까요?

네 맞아요. 피타고라스 정리를 이용하면 되는데요. 직각삼각형의 높이와 밑변을 각각 제곱한 후 서로 합하면 빗변 길이의 제곱과 같아지게 되므로 다음과 같이 표현될 수 있어요.

c2=(asin⁡γ)2+(b−acos⁡γ)2(1)\tag{1} \begin{align} c^2 = (a \sin \gamma)^2 + (b-a \cos \gamma)^2 \end{align}

자 그러면 (1)식을 더 정리해 보겠습니다.

c2=(a2sin⁡2γ)+(b2−2abcos⁡γ+a2cos⁡2γ)=a2(sin⁡2γ+cos⁡2γ)+b2−2abcos⁡γ=a2+b2−2abcos⁡γ(2)\tag{2} \begin{align} c^2 &= (a^2 \sin^2 \gamma) + (b^2 - 2ab \cos \gamma +a^2 \cos^2 \gamma)\\ &=a^2(\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma) + b^2-2ab \cos \gamma\\ &=a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma\\ \end{align}

(2)식의 가장 마지막 줄은 코사인 법칙인 (D1)의 세번째 식과 동일합니다. 이와 같은 방식으로 a2a^2과 b2b^2도 구하면 코사인 법칙을 모두 유도할 수 있어요.

a2=b2+c2−2bccos⁡αb2=c2+a2−2cacos⁡βc2=a2+b2−2abcos⁡γ(3)\tag{3} \begin{align} &a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\\ &b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\beta\\ &c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{align}

1-2. 벡터적 해석

그러면 이번에는 벡터적 해석을 통해 코사인 법칙을 유도해 보겠습니다.

아래 [그림 3]은 [그림 1]과 그 형태가 같습니다만, 삼각형의 각 변이 벡터 화살표로 주어져 있어요. 또한 그림을 단순히 하고자 내각 α\alpha와 β\beta는 그림에 표기하지 않았습니다.

[그림 3] 벡터 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec a</span>와 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec b</span>를 합하면 벡터 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec c</span>가 됩니다.
[그림 3] 벡터 a⃗\vec a와 b⃗\vec b를 합하면 벡터 c⃗\vec c가 됩니다.

[그림 3]의 각 벡터는 벡터의 덧셈 규칙에 따라 다음 (4)식처럼 표현될 수 있습니다.

c⃗=a⃗+b⃗(4)\tag{4} \begin{align} \vec c = \vec a + \vec b \end{align}

그러면 이번에는 (4)식의 양변을 벡터 c⃗\vec c로 스칼라곱을 취해보겠습니다. 그러면 다음과 같습니다.

c⃗⋅c⃗=c2=(a⃗+b⃗)⋅c⃗=(a⃗+b⃗)⋅(a⃗+b⃗)=a⃗⋅a⃗+a⃗⋅b⃗+b⃗⋅a⃗+b⃗⋅b⃗=a2+b2+2a⃗⋅b⃗(5)\tag{5} \begin{align} \vec c \cdot \vec c =c^2&= (\vec a + \vec b) \cdot \vec c\\ &=(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b)\\ &=\vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b\\ &=a^2 + b^2 + 2 \color{blue}\vec a \cdot \vec b\\ \end{align}

(5)식의 가장 마지막 줄에 a⃗⋅b⃗\vec a \cdot \vec b가 있어요.

이 스칼라곱의 크기를 구하기 위해서는 벡터 a⃗\vec a와 벡터 b⃗\vec b 사이의 각도가 필요한데요. 자칫 잘 못 생각하면 [그림 3]에서 γ\gamma로 착각할 수 있는데 그렇지 않아요.

벡터의 사이각을 구하기 위해서는 두 벡터의 꼬리를 서로 접촉시켰을 때의 각도를 말합니다. 그러므로 벡터 a⃗\vec a를 평행이동하여 벡터 b⃗\vec b의 꼬리와 접촉되게 만들면 아래 [그림 4]와 같아집니다.

[그림 4] 두 벡터 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec a</span>와 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec b</span>의 사이각은 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\gamma</span>가 아닌 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\theta</span>입니다.
[그림 4] 두 벡터 a⃗\vec a와 b⃗\vec b의 사이각은 γ\gamma가 아닌 θ\theta입니다.

바로 [그림 4]에서 θ\theta가 두 벡터의 사이각이 되는 거에요. 그리고 θ\theta는 π−γ\pi - \gamma와 같다는 것도 알 수 있습니다. 이러한 관계를 이용해 (5)식의 가장 마지막 줄을 다시 쓰면 아래와 같습니다.

c2=a2+b2+2a⃗⋅b⃗=a2+b2+2abcos⁡θ=a2+b2+2abcos⁡(π−γ)=a2+b2+2ab(cos⁡πcos⁡γ+sin⁡πsin⁡γ)=a2+b2−2abcos⁡γ(6)\tag{6} \begin{align} c^2 &= a^2 + b^2 + 2\vec a \cdot \vec b\\ &=a^2 + b^2 + 2ab\cos \theta\\ &=a^2 + b^2 + 2ab \cos(\pi - \gamma)\\ &=a^2 + b^2 + 2ab(\cos \pi \cos \gamma + \sin \pi \sin \gamma)\\ &=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{align}

결국 (6)식의 가장 마지막 줄은 (D1)식으로 주어진 코사인 법칙의 세번째 식과 동일함을 알 수 있어요.

이러한 방식으로 a2a^2과 b2b^2을 구하면 다음의 모든 관계를 구할 수 있습니다.

a2=b2+c2−2bccos⁡αb2=c2+a2−2cacos⁡βc2=a2+b2−2abcos⁡γ(7)\tag{7} \begin{align} &a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\\ &b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos\beta\\ &c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{align}

3. 코사인 법칙 연습문제

(문제) 한변 aa의 길이가 4.0 cm이고, 다른 한 변 bb의 길이가 3.0 cm인 삼각형이 있다. 그리고 그 두 변이 끼고 있는 각도 θ\theta가 25∘^{\circ}라고 할 때 다른 한 변 cc의 길이를 구하여라.

(풀이) 삼각형의 두변의 길이가 주어졌고, 그 두 변 사이의 각도가 주어져 있으므로 코사인 법칙을 적용합니다.

c=a2+b2−2abcos⁡θ=(4.0 cm)2+(3.0 cm)2−2(4.0 cm)(3.0 cm)cos⁡(25∘)≈1.8 cm(E1)\tag{E1} \begin{align} c &= \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}\\ &=\sqrt{(4.0~ \mathrm{cm})^2 + (3.0~\mathrm{cm})^2 - 2(4.0~\mathrm{cm})(3.0~\mathrm{cm})\cos(25^{\circ})}\\ &\approx 1.8~\mathrm{cm} \end{align}

다른 한 변의 길이는 1.8 cm 입니다.

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