축전기(capacitor)

Last Updated on 2024-06-30 by BallPen

축전기의 구조, 전기용량 그리고 직렬 및 병렬 연결에 따른 합성 전기용량 구하는 방법을 알아봐요.

축전기(capacitor)란 전하를 저장하는 장치입니다. 보통 이 장치는 두개의 평행 금속판이 서로 마주보는 구조를 갖는데요.

축전기에 저장할 수 있는 전하량의 척도를 ‘전기용량(capacitance)’이라 합니다. 그리고 회로에서 축전기는 직렬 및 병렬연결될 수 있는데요. 이때 합성 전기용량 구하는 방법도 알아봐요.

결론부터 말씀드리면 세개의 축전기가 직렬 또는 병렬연결되었을 때 합성 전기용량 구하는 식은 다음과 같습니다.

\begin{align*}
&{1 \over C} = {1 \over C_1} + {1 \over C_2} + {1 \over C_3}~~~(직렬연결)\\[10pt]
&C = C_1 + C_2 + C_3 ~~~(병렬연결)
\end{align*}

그리고 다음의 축전기 식을 이용해 축전기에 저장되는 전하량을 구할 수 있죠.

\begin{align*}
Q=CV
\end{align*}

아래는 이번 글의 목차입니다.

이 글에서 사용된 그림파일은 아래에서 다운받을 수 있습니다. 맥의 키노트로 작성되었어요.

맥 키노트 파일: capacitor.key

1. 축전기

1-1. 축전기 구조와 회로 기호

축전기는 전하를 저장하는 장치로 기본적인 구조는 아래 [그림 1]과 같아요.

면적이 A인 금속 평행판 두개가 d만큼 떨어진 거리에서 서로 마주보고 있어요. 그리고 두 판사이에는 유전율이 \epsilon_0인 공기가 놓여 있습니다. 이러한 구조가 전원과 연결되면 두 판에 전하가 저장됩니다.

[그림 2]는 축전기의 회로기호인데요. [그림 1]의 축전기 구조를 측면에서 바라본 모습과 같아요. 축전기는 통상적으로 C로 표기합니다.

아래 [그림 3]은 일반적인 축전기의 모습인데요, 원통에 다리가 두개 나와 있어요. [그림 4]는 이 장치를 분해한 모습이에요.

두개의 금속판 사이에 종이와 같은 물질이 끼워져 있고 둘둘 말려 있는 것을 알 수 있어요. 그리고 각 금속판은 도선으로 연결되어 원통바깥쪽으로 나와 있습니다.

1-2. 전기 용량과 축전기 공식

[그림 5]는 축전기에 직류전원이 연결된 모습입니다. 그러면 전원의 양극 쪽에 양전하, 음극 쪽에 음전하가 축전기에 쌓이게 되죠.

축전기에 쌓여진 전하량은 양전하의 전하량을 기준으로 해요. 만일 양전하와 음전하의 전하량을 모두 합하면 항상 0이 되어 버리기 때문에 양전하만 고려하는 거에요.

그렇다면 축전기에 쌓이는 전하량 Q은 얼마나 될까요? 이를 구하기 위해서는 우선 전위에 대한 개념부터 시작해야 해요.

[그림 5]의 축전기에서 음전하가 모여 있는 판의 전위를 V_{-}, 양전하가 모여 있는 판의 전위를 V_{+}라고 할때 두 전위의 차이를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{1-1}
\begin{align}
V_{+} - V_{-} &= \Big(-\int_{\infty}^0 \vec E \cdot d \vec l \Big)- \Big( -\int_{\infty}^d \vec E \cdot d \vec l \Big)\\[10pt]
&= - \int_{d}^{0} \vec E \cdot d \vec l\\[10pt]
&=-\int_{d}^{0} \Big({{\sigma}\over{\epsilon_0}}\Big)\hat x \cdot (dx\hat x)\\[10pt]
&={{\sigma}\over{\epsilon_0}}\int_{0}^{d} dx(\hat x \cdot \hat x)\\[10pt]
&={\sigma \over \epsilon_0} \Big[x \Big]_0^d
\\[10pt]
&={{\sigma}\over{\epsilon_0}}(d)\\[10pt]
&={{d}\over{\epsilon_0}}{{Q}\over{A}}\\[10pt]
&=\Big({{d}\over{\epsilon_0 A}}\Big) Q
\end{align}

윗 식에서 \vec E는 평행판 사이의 전기장인데요. 무한 평행판 사이의 전기장으로 근사한다면 {{\sigma}\over{\epsilon_0}}가 되어 상수이므로 적분 밖으로 나올수가 있습니다.

이때 \sigma는 평행판에 있는 전하의 표면전하밀도로써 {{Q}\over{A}}를 활용했어요.

한편 (1-1)식의 좌변은 두 평행판 사이의 전위차인데요. 전원과 연결된 상태이므로 이 값은 전원전압 V와 같아요.

따라서 축전기에 쌓이는 전하량 Q는 (1-1)식의 마지막 줄을 정리하여 다음과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{1-2}
Q = \Big( \epsilon_0 {{A}\over{d}}\Big)V

여기서 괄호안에 있는 것들은 축전기 구조와 관련된 값들로서 C로 치환하여 ‘전기 용량(capacitance)’이라고 불러요. 그리고 전기용량의 단위는 F(Farad, 패럿)을 사용합니다.

\tag{1-3}
C= \epsilon_0 {A \over d}

그러면 (1-2)식은 결과적으로 아래와 같이 표현할 수 있고 이를 축전기 식이라고 부릅니다.

\tag{1-4}
Q = CV

결국 평행판 축전기에 저장되는 전하량 Q는 양단에 걸린 전압 V가 클수록, 그리고 전기용량 C가 클수록 커집니다.

[문제풀이]

반지름이 a와 b인 구형 금속 껍질이 Q만큼 충전되어 아래 그림과 같이 구성되었을 때 전기용량은 얼마인가?

(풀이) 이 문제는 평행판 축전기와 달리 중심을 공유하는 두 금속 껍질이 충전되어 있는 경우에요. 따라서 평행판 축전기와는 구조가 다르므로 전기용량도 (1-3)식과는 달라질 거에요.

축전기 공식이 (1-4)식으로 정의되어 있어요. 그러므로 이미 문제에서 Q가 주어졌으므로 전기용량 C를 구하기 위해서는 양전하와 음전하로 충전된 두 껍질 사이의 전위차 V를 구해야 합니다.

이를 위해서는 먼저 가우스 법칙으로 두 껍질 사이의 전기장을 구한 후, (1-1)식처럼 전기장을 선적분하여 전위차를 구하면 됩니다.

이 경우 가우스 법칙으로 전기장을 구하면 다음과 같아요.

\begin{align*}
\vec E = {1 \over{4 \pi \epsilon_0 }}{Q \over{r^2}}\hat r
\end{align*}

이 결과를 이용해 두 껍질사이의 전위차를 구해볼께요.

\begin{align*}
V= V_a - V_b &=\Big(-\int_\infty^a \vec E \cdot d \vec l \Big) - \Big(-\int_{\infty}^{b} \vec E \cdot d \vec l \Big) \\[10pt]
&= - \int_b^a \vec E \cdot d\vec l\\[10pt]
&=-\int_b^a {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{Q \over r^2 }\hat r \cdot dr \hat r\\[10pt]
&=-{{Q \over {4 \pi \epsilon_0}}} \int_b^a {1 \over r^2} dr(\hat r \cdot \hat r)\\[10pt]
&=-{Q \over{4\pi \epsilon_0}} \int_b^a {1 \over r^2} d r\\[10pt]
&={Q \over{4 \pi \epsilon_0}}\big( {1 \over a} - {1 \over b}\Big)
\end{align*}

그리고 윗 식을 정리하면 결국 전기용량은 다음과 같아요.

\begin{align*}
C= {Q \over V} = 4 \pi \epsilon_0{{ab}\over{(b-a)}} 
\end{align*}

2. 축전기 직렬 및 병렬 연결과 합성 전기용량

축전기는 회로에서 직렬 또는 병렬연결되어 사용될 수 있는데요.

이때 합성 전기용량 구하는 방법을 알아봐요. 합성 전기 용량을 구하면 회로 전체에 저장된 전하량을 쉽게 구할 수 있어요.

2-1. 축전기의 직렬 연결

아래 [그림 7]은 축전기 세 개가 서로 직렬 연결된 모습을 나타냅니다.

이 경우 각 축전기에 걸린 전압의 합은 전원전압과 같게 됩니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\tag{2-1}
V = V_1 + V_2 + V_3

이번에는 축전기에 저장되는 전하량을 생각해볼텐데요.

그림을 잘 보시면 전원과 직접적으로 연결된 축전기 C_1의 왼쪽 극판은 당연히 양전하로 대전되고, C_3 축전기의 오른쪽 극판은 음전하로 대전될 거에요.

그러면 그 안쪽에 있는 축전기 극판에서는 어떤일이 벌어지냐면 정전기 유도에 의해 C_1 축전기의 오른쪽 극판에는 양전하와 동일한 갯수의 음전하가 유도되고, C_2 축전기의 왼쪽 극판에는 동일한 갯수의 양전하가 유도됩니다.

그러면 C_2 축전기의 오른쪽 극판에는 동일한 갯수의 음전하가 다시 유도되고, C_3 축전기의 왼쪽 극판에는 동일한 갯수의 양전하가 유도됩니다.

정리하면 결국 축전기가 직렬연결되면 각 축전기에 저장된 전하량 Q는 모두 동일합니다. 이를 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2-2}
Q = C_1 V_1 = C_2 V_2 = C_3 V_3

그리고 (2-2)식의 관계를 (2-1)식에 대입하여 정리하면 다음과 같아요.

\tag{2-3}
\begin{align}
V &= V_1 + V_2 + V_3\\[10pt]
&={Q \over C_1} + {Q \over C_2} + {Q \over C_3}\\[10pt]
&=Q\Big({1 \over C_1} + {1 \over C_2} + {1 \over C_3}\Big)
\end{align}

윗 식을 축전기 식인 V={Q \over C}의 형태로 바꾼다면 아래의 식이 성립하게 되는데요. 여기서 C를 축전기가 직렬연결되었을 때의 합성 전기용량이라고 부릅니다.

\tag{2-4}
{1 \over C} = {1 \over C_1} + {1 \over C_2} + {1 \over C_3} 

[문제풀이]

[그림 7]회로의 합성 전기 용량을 구해 봐요. (2-4)식을 적용하면 됩니다.

\begin{align*}
{1 \over C} &= {1 \over 1 ~\mu \rm F} + {1 \over 2~ \mu \rm F} + {1 \over 3~ \mu \rm F} \\[10pt]
&={6 \over 6~ \mu \rm F} + {3 \over 6~ \mu \rm F} + {2 \over 6~ \mu \rm F}\\[10pt]
&={11 \over 6 ~\mu \rm F}
\end{align*}

그리고 위식 마지막줄의 역수를 구하면 합성전기용량을 구할 수 있어요.

\begin{align*}
C= {{6~ \mu \rm F}\over{11}} = 0.545~ \mu \rm F
\end{align*}

그렇다면 [그림 7]회로에 저장된 총 전하량은 얼마일까요?

다시 한번 더 말씀드리면 축전기가 직렬연결되어 있으므로 세 축전기 각각에 저장된 전하량은 Q로 모두 같아요. 그래서인지 간혹 직렬 연결된 축전기에 저장된 총 전하량을 3Q로 생각하는 경우가 있지만 절대 그렇지 않아요.

가장 왼쪽과 가장 오른쪽 축전기에 저장되는 전하량이 Q이며 그 안쪽은 단지 정전기 유도에 의해 대전된 것 뿐이기 때문이에요. 그래서 직렬연결된 축전기에 실제로 저장된 전하량은 3Q가 아니라 Q라는 것을 꼭 이해해야 합니다.

총 전하량 Q는 합성 전기용량 C와 전원전압 V를 축전기 식인 (1-4)식에 대입하여 구할 수 있어요.

\begin{align*}
Q &= CV\\[7pt]
&=(0.545~\mu \rm F)\times(10\rm ~V)\\[7pt]
&=5.45~\mu\rm C
\end{align*}

마지막으로 이번에는 각 축전기에 걸린 전압을 구해 봐요.

\begin{align*}
V_1 &= {{Q}\over{C_1}} = {{5.45~\mu \rm C}\over{1~\mu \rm F}} = 5.45~\rm V\\[10pt]
V_2 &= {{Q}\over{C_2}} = {{5.45~\mu \rm C}\over{2~\mu \rm F}} = 2.73~\rm V\\[10pt]
V_3 &= {{Q}\over{C_3}} = {{5.45~\mu \rm C}\over{3~\mu \rm F}} = 1.82~\rm V\\[10pt]
\end{align*}

각 축전기에 걸린 전압의 합이 전원전압 10 V와 같다는 것을 알 수 있어요.

2-2. 축전기의 병렬 연결

아래 [그림 8]은 세개의 축전기가 병렬연결된 모습이에요.

이 경우 세개의 축전기에 걸린 전압은 모두 같아요. 즉 전원 전압 10 V가 각 축전기에 모두 걸립니다. 따라서 축전기 마다 전하를 저장하게 되는데요.

이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2-5}
\begin{align}
Q_1 = C_1 V,~~~~~Q_2 = C_2 V,~~~~~Q_3=C_3 V
\end{align}

따라서 축전기가 병렬연결되었을 때 축전기에 저장된 총 전하량은 각 축전기에 저장된 전하량의 합이 됩니다.

\tag{2-6}
\begin{align}
Q &= Q_1 + Q_2 + Q_3\\[7pt]
 &=C_1 V + C_2 V + C_3 V\\[7pt]
&=(C_1 + C_2 + C_3)V
\end{align}

이때 윗식을 축전기 식인 Q=CV의 형태로 대응해보면 합성 전기용량 C는 다음과 같습니다.

\tag{2-7}
C = C_1 + C_2 + C_3

[문제풀이]

[그림 8] 회로의 합성 전기용량을 구해봐요.

이를 구하기 위해서는 (2-7)식을 적용하면 됩니다.

\begin{align*}
C &= 1~\mu \rm F + 2~\mu \rm F + 3~\mu\rm F\\[7pt]
&=6~\mu \rm F
\end{align*}

합성 전기용량을 구했으니 총 전하량을 구해보면 다음과 같습니다. 축전기 식을 활용하세요.

\begin{align}
Q = CV = (6~\mu \rm F) \times (10~\rm V) = 60~\mu \rm C
\end{align}

축전기 각각에 저장된 전하량도 구해보면 다음과 같습니다.

(2-5)식을 적용해봐요.

\begin{align*}
Q_1 = C_1 V = (1 ~\mu \rm F)\times(10~\rm V) = 10~\mu \rm C\\[7pt]
Q_2 = C_2 V = (2~\mu \rm F)\times(10~\rm V) = 20~\mu \rm C\\[7pt]
Q_3 = C_3 V = (3 ~\mu \rm F)\times(10~\rm V) = 30~\mu \rm C\\[7pt]

\end{align*}

각 축전기에 저장된 전하량의 합이 총 전하량 60~\mu \rm C과 같다는 것을 알 수 있어요.

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