전기쌍극자의 등전위면과 전기장 그리기

BallPen · 2025-01-13T21:09:49+09:00

전기쌍극자의 등전위면과 전기장 모양을 알아보기 위해 매스매티카(mathematica)를 활용하였습니다. 그 결과 전기쌍극자의 등전위면과 전위가 0인 평면을 확인할 수 있었고, 전기장의 모양을 정확히 관찰할 수 있었습니다.

Last Updated on 2025-01-14 by BallPen

전기쌍극자의 등전위면과 전기장 모양을 매스매티카로 그려 봐요.

전기쌍극자 등전위면과 전기장 모양을 매스매티카(mathematica)로 그려볼 거에요. 이 글을 보시기 전에 전기쌍극자의 전위와 전기장에 관한 내용이 궁금하다면 이전 글을 참고하시기 바랍니다.

전기쌍극자의 전위는 다음과 같습니다.

\tag{D1} \begin{align} V = k{{\vec p \cdot \hat r }\over{r^2}} \end{align}

이 식을 시작으로 전기쌍극자의 등전위면과 전기장의 모양을 그려볼거에요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

이 글에서 사용된 그림은 키노트로 작성되었습니다. 그림파일이 필요하신 분은 다운받아 사용하세요. dipole_electric_potential_field.key

아래 [그림 1]에 전기쌍극자가 있어요.

전기쌍극자로부터 $\vec r$ 만큼 떨어진 점 $\rm A$ 의 전위는 다음 식과 같이 주어집니다.

\tag{1} \begin{align} V = k{{\vec p \cdot \hat r }\over{r^2}} \end{align}

여기서 $k={1/{4 \pi \epsilon_0}}$ 이며, $\vec p$ 는 전기쌍극자의 쌍극자모멘트, $\hat r$ 은 $\vec r$ 의 단위벡터로서 크기가 1인 벡터입니다.

(1)식에서 스칼라곱 $\vec p \cdot \hat r$ 을 풀어 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있어요. 이 식에서 $\theta$ 는 쌍극자모멘트 $\vec p$ 와 단위벡터 $\hat r$ 사이의 사이각을 뜻합니다.

\tag{2} \begin{align} V = k{{p \cos \theta }\over{r^2}} \end{align}

그럼 이제부터 매스매티카를 이용해 (2)식부터 시작해서 전기쌍극자의 등전위면과 전기장 모양을 그려 볼게요.

(2)식을 매스매티카에서 함수로 정의하고 변수 $V_s$ 로 치환합니다. 이때 아래첨자 $\rm s$ 는 구면좌표계의 spherical을 뜻합니다. 그리고 (2)식의 $k$ 는 계산의 편리성을 위해 1로 처리하도록 하겠습니다.

전기장은 전위의 기울기로부터 구할 수 있어요. 즉 $\vec E = -\nabla V_s$ 를 적용합니다. 물론 구면좌표계의 기울기 연산을 해야 해요.

위 결과와 같이 구면좌표계의 $r,~\theta,~\phi$ 방향에 따라 전기장의 크기가 각각 구해졌어요.

이제 위 식을 통해 등전위면과 전기장을 구하면 되는데요. 이를 위해서는 구면좌표계의 $V_s$ 를 직각좌표계의 $V_c$ 로 변환해야 합니다.

여기서도 계산의 편리를 위해 쌍극자모멘트 $p$ 의 크기를 1로 처리했어요.

같은 방식으로 구면좌표계에서의 전기장 $E_s$ 를 직각좌표계의 $E_c$ 로 변환합니다.

다음은 -50 V, -5 V, -1 V, 0 V, 1 V, 5 V, 50 V에 대한 등전위면을 구하기 위해 다음과 같이 코드를 작성했어요.

또한 전기장을 3차원공간에서 벡터로 표현하기 위해 다음의 코드를 작성했습니다.

그리고 위에서 만들어진 등전위선과 전기장을 함께 보여주기 위해 다음의 Show 명령어를 사용했어요.

그 결과 다음과 같이 전기쌍극자의 등전위면과 전기장 이미지가 출력됩니다.

[그림 2]를 보면 중심의 평면을 기준으로 위쪽과 아래쪽에 동글 동글한 등전위면들이 대칭적으로 겹쳐져 있음을 알 수 있어요.

가장 작은 등전위면은 $\pm 50~\rm V$ 이고, 그 다음 큰 등전위면은 $\pm 5~\rm V$ , 가장 큰 등전위면은 $\pm 1~\rm V$ 을 뜻해요. 그리고 중심의 평면은 $0~\rm V$ 의 등전위면을 뜻합니다.

또한 화살표로 표현된 것이 전기장 벡터입니다. [그림 2]에서 위쪽이 전기쌍극자의 양전하이고 아래쪽이 음전하에요.

그래서 전기장이 양전하에서 나가고 음전하로 들어가는 것을 볼 수 있습니다.

보다 명확한 전기장 벡터를 보기 위해 $y=0$ 평면에서 전기장 벡터를 그려볼게요. 다음의 코드를 사용했어요.

그 결과 다음의 이미지를 관찰할 수 있습니다.

[그림 3]은 [그림 2]의 중심 부분을 수직으로 잘라냈을 때 관찰되는 전기장 벡터에요.

전기장은 양전하에서 나오고 음전하로 들어가므로 [그림 2]의 중심부보다 약간 위쪽이 양전하가 있는 곳이고 중심부보다 약간 아래쪽은 음전하가 있는 곳이에요.

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