벡터의 뺄셈 : 벡터의 변화량을 구하는 도구

Last Updated on 2021-11-18 by BallPen

벡터의 뺄셈은 기하학적으로 벡터들의 변화량을 나타냅니다. 수학적 처리 방법은 벡터의 덧셈과 크게 다르지 않습니다. 그런데도 많은 사람들은 벡터의 뺄셈을 많이 어려워 해요.

벡터의 뺄셈 연산에 대한 기하학적 표현과 수학적 처리 방법을 알아봅니다.

벡터와 관련된 다른 내용은 아래의 글들을 참고하시기 바랍니다.

• 벡터, 벡터의 작도, 벡터의 크기, 벡터의 성분
• 단위벡터 의미와 벡터 정규화
• 벡터의 방향 표기를 정확하게 하는 방법
• 벡터의 덧셈 : 기하학적 표현과 수학적 처리
• 벡터의 뺄셈 : 벡터의 변화량을 구하는 도구

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 벡터의 덧셈 복습

아래 그림에 두 벡터 \vec{A}_1과 \vec{A}_2가 있습니다. 이 두 벡터를 \vec{A}=\vec{A}_1 + \vec{A}_2로 합해보도록 하죠. 하나는 기하학적인 방법으로 구하고, 다른 하나는 수학적 처리를 통해 합 벡터를 구해보겠습니다.

1-1. 기하학적 방법

기하학적으로 벡터를 합하는 것은 아래 [그림 2]처럼 벡터 \vec{A}_1의 머리에 벡터 \vec{A}_2의 꼬리가 연결되도록 평행이동합니다. 그리고 \vec{A}_1의 꼬리에서 \vec{A}_2의 머리를 향해 화살표를 그리면 그것이 합벡터가 됩니다.

벡터의 합을 이런 방식으로 하는 이유는 자연계에 이러한 일이 실제 발생하기 때문입니다. 예를 들어 한 물체에 두 힘이 작용할 때 그 물체에 작용하는 알짜힘의 크기와 방향은 합 벡터의 크기 및 방향과 완전히 일치합니다.

1-2. 수학적 방법

수학적으로 벡터의 합 벡터를 구하면 수치로서 벡터를 구할 수 있는데요. 합 벡터는 각 방향의 성분끼리 서로 합하면 됩니다.

\tag{1}
\begin{align}
\vec{A} &= \vec{A}_1 + \vec{A}_2\\
&=(7.34\hat{x} + 2.49\hat{y}) + (3.25\hat{x} + 4.34 \hat{y})\\
&=(7.34 + 3.25)\hat{x} + (2.49+4.34)\hat{y}\\
&=10.59\hat{x} + 6.83\hat{y} 
\end{align}

(1)식에서 구해진 합 벡터의 크기를 구하면 아래와 같습니다.

\tag{2}
\begin{align}
|\vec{A}| &= \sqrt{A_x ^2 + A_y ^2}\\
&=\sqrt{10.59^2 +6.83^2}\\
&=12.6
\end{align}

또한 합 벡터의 방향을 구하면 아래와 같습니다.

\tag{3}
\begin{align}
\tan\theta &= {{A_y}\over{A_x}}\\
&={{6.83}\over{10.59}}\\
&=0.645\\
\theta &= \tan^{-1}0.645\\
&=32.8^\circ
\end{align}

2. 벡터의 뺄셈

벡터의 뺄셈 연산도 덧셈과 마찬가지로 기하학적 방법과 수학적 방법을 활용할 수 있습니다.

2-1. 기하학적 방법

– 부호가 반대인 벡터의 표현

벡터의 뺄셈을 하기 위해서는 먼저 양의 벡터를 음의 벡터로 어떻게 표현하는지를 알아야 합니다. 아래 [그림 4]를 보면 벡터 \vec{A}_1이 있습니다. 이 벡터를 음의 벡터로 만든다면 기하학적으로 어떻게 표현될까요?

다음 (4)식을 보아주세요. \vec{A}_1에 -1을 곱해보겠습니다.

\tag{4}
\begin{align}
\vec{A}_1 \times(-1) &= -\vec{A}_1\\
&=-(7.34\hat{x} + 2.49\hat{y})\\
&=-7.34\hat{x} - 2.49 \hat{y}\\
&=7.34(-\hat{x}) + 2.49(-\hat{y})
\end{align}

(4)식의 마지막 줄에서 구해진 식을 그림으로 나타내면 아래 [그림 5]의 파랑색 화살표와 같습니다. 바로 크기는 동일하게 유지되고 방향만 바뀐 벡터가 만들어지는군요. \hat{x}가 -\hat{x}로 바뀌고, \hat{y}가 -\hat{y}로 변경되었기 때문이죠.

결국 어떤 벡터에 -1을 곱하면, 크기는 같되 방향이 반대인 벡터가 만들어 집니다.

– 벡터의 뺄셈에 대한 기하학적 표현

그렇다면 아래 [그림 6]에 표현된 벡터 \vec{A}_1에서 벡터 \vec{A}_2를 빼내는 \vec{A}_1 - \vec{A}_2는 기하학적으로 어떻게 표현될까요?

위에서 설명한 방식을 그대로 적용하면 됩니다.

\tag{5}
\begin{align}
\vec{A} &= \vec{A}_1 - \vec{A}_2\\
&=\vec{A}_1 + (-\vec{A}_2)\\
\end{align}

(5)식과 같이 벡터 \vec{A}_1에 벡터 -\vec{A}_2를 합하면 됩니다. 아래 [그림 7]처럼요.

구체적으로 말씀드리면 [그림 7]의 왼쪽 그림과 같이 -\vec{A}_2를 그린 후 이것을 평행이동시켜, 오른쪽 그림과 같이 \vec{A}_1의 머리에 -\vec{A}_2의 꼬리를 붙입니다. 그리고 \vec{A}_1의 꼬리로부터 -\vec{A}_2의 머리를 향하는 벡터가 \vec{A}_1 - \vec{A}_2입니다.

벡터의 뺄셈도 덧셈의 규칙을 그대로 적용하므로 교환법칙이 성립합니다.

\tag{6}
\begin{align}
\vec{A}_1 + (-\vec{A}_2) = (-\vec{A}_2 ) + \vec{A}_1
\end{align}

지금까지 설명드린 방식도 좋지만 다음의 방식으로 벡터의 뺄셈을 이해하는 것도 가능합니다. 아래 [그림 8]은 [그림 6]과 모두 동일한데, 벡터 \vec{A}_2의 머리에서 벡터 \vec{A}_1의 머리를 향해 파랑색 벡터 하나가 추가로 그려져 있습니다. 이 벡터를 \vec{A}라고 해보겠습니다.

그러면 벡터 합의 기하학적 표현을 적용하면 \vec{A}는 다음과 같이 표현할 수 있을 것입니다.

\tag{7}
\begin{align}
\vec{A}_1 &= \vec{A}_2 + \vec{A}\\
\vec{A} &= \vec{A}_1 - \vec{A}_2\\
\end{align}

결국 (7)식에서와 같이 \vec{A}는 \vec{A}_1 - \vec{A}_2에 해당합니다. 이 벡터는 [그림 7]의 오른쪽 그림에서 그려진 파랑색 벡터와 동일한 벡터입니다.

2-2. 수학적 방법

수학적으로 벡터의 덧셈은 동일한 방향을 갖는 성분끼리 합하면 되었어요. 벡터의 뺄셈은 동일한 방향을 갖는 성분끼리 빼면 됩니다.

[그림 8]에 두 벡터 \vec{A}_1과 \vec{A}_2가 주어져 있어요. 이 벡터의 뺄셈 벡터인 파랑색 화살표에 해당하는 벡터는 아래와 같이 구하면 됩니다.

\tag{8}
\begin{align}
\vec{A} &= \vec{A}_1 - \vec{A}_2\\
&= (7.34\hat{x} + 2.49\hat{y}) - (3.25\hat{x} + 4.34\hat{y})\\
&=(7.34 - 3.25)\hat{x}+ (2.49-4.34)\hat{y}\\
&=4.09\hat{x} -1.85\hat{y}
\end{align}

3. 벡터의 뺄셈 의미

벡터의 뺄셈은 두 벡터사이의 변화량을 구할 때 사용됩니다.

예를 들어 어느 물체가 시간에 따라 이동한다고 생각해보세요. 그러면 기준점으로부터 물체의 초기 위치를 나타내는 위치벡터 \vec{r}_1이 있을 것이고 일정 시간이 지난 후 물체의 나중 위치 벡터 \vec{r}_2가 있을거에요.

일정시간 동안 이 물체가 움직인 변위는 어떻게 구할 수 있을 까요? 이때 사용하는 것이 바로 벡터의 뺄셈 연산입니다.

아래 [그림 10]은 위치벡터 \vec{r}_1과 \vec{r}_2사이의 변화량인 \vec{r}_2 - \vec{r}_1이 변위벡터 \Delta \vec{r}에 해당함을 나타냅니다.

[예제] 벡터의 뺄셈

아래 [그림 11]과 같이 초기 순간에 어느 물체의 속도가 \vec{v}_1이었고 나중 순간에 그 물체의 속도가 \vec{v}_2로 변화했다고 생각하자. (1)이 물체의 속도 변화량을 벡터로 구하여라. (2) 속도 변화량 벡터의 방향 \theta를 구하여라.

(1) 속도 변화량 벡터 구하기

[그림 11]에 두 속도벡터의 변화량은 파랑색 화살표 벡터로 그려져 있습니다. 속도 변화량 벡터를 구하기 위해서는 나중 속도벡터 \vec{v}_2에서 초기 속도벡터 \vec{v}_1을 빼주면 됩니다.

\tag{9}
\begin{align}
\Delta\vec{v} &= \vec{v}_2 - \vec{v}_1\\
&=(9.81\hat{x} + 4.37\hat{y}) - (8.17\hat{x} -2.19\hat{y})\\
&=(9.81-8.17)\hat{x} + (4.37+2.19)\hat{y}\\
&=1.64\hat{x} +6.56\hat{y}
\end{align}

이것은 속도 변화가 일어나는 동안 \hat{x}방향으로 1.64만큼, \hat{y}방향으로 6.56만큼 변했음을 나타냅니다.

(2) 속도 변화량 벡터의 방향

(9)식에서 구한 속도 변화량 벡터를 이용하면 [그림 11]에 표기한 방향 \theta를 구할 수 있습니다.

\tag{10}
\begin{align}
\tan\theta &= {{\Delta v_y}\over{\Delta v_x}}\\
&={{6.56}\over{1.64}}\\
&=4.00\\
\theta &= \tan^{-1} 4.00\\
&= 76.0^\circ
\end{align}

4. 벡터의 뺄셈 요약

• 벡터를 뺀다는 것은 2개의 벡터에 대한 변화량을 구하는 과정으로 볼 수 있다.
• 두 벡터의 뺄셈은 처음 벡터의 머리에서 나중 벡터의 머리로 연결하는 벡터를 그려 기하학적으로 표현할 수 있다. 덧셈과 마찬가지로 벡터의 뺄셈도 교환법칙이 성립한다.
• 수학적으로는 두 벡터를 x성분과 y성분으로 분해하고 같은 방향성분끼리 빼면 된다.

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