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구면좌표계에서 정의된 벡터를 직각좌표계로 표현해 봐요. 벡터의 좌표계 변환 예제를 풀어 보겠습니다. 아래에 구면좌표계에서 정의된 벡터 가 있어요. 이 벡터를 직각좌표계로 바꾸어 표현해 보겠습니다. 이를 위해서는 구면좌표계의 단위벡터를 직각좌표계로 표현한 아래의 관계식이 필요합니다. (2)식의 과 를 (1)식에 대입하세요. 결국 (1)식의 벡터는 직각좌표계에서의 방향 단위벡터와 같다는 것을 알 수 있어요.
직각좌표계에서 1/r 그래디언트를 구해 봐요. 1/r 그래디언트(gradient, 기울기) 결과는 전자기학 등에서 자주 활용되는데요. 이번 글에서는 직각좌표계에서 1/r 그래디언트를 유도해 보겠습니다. 우선 위치벡터 이 다음과 같이 주어진다고 생각해봐요. 그러면 위치 벡터 의 크기를 , 단위벡터를 라고 할 때 다음 관계가 성립합니다. 위 (D2)식에서 는 비프라임좌표계인 에 대한 그래디언트 연산을 뜻하고, (D3)식의 은 프라임좌표계인 에 대한 그래디언트 … Read more
함수값이 1 또는 0이 되는 크로네커 델타를 알아 봐요. 크로네커 델타(Kronecker delta)의 성질과 그 적용 예시를 이번 글에서 알아 봐요. Contents1. 크로네커 델타2. 크로네커 델타 성질3. 예시 1. 크로네커 델타 크로네커 델타는 레오폴드 크로네커(Leopold Kronecker, 독일, 1823-1891)의 이름에서 유래되었어요. 크로네커 델타 의 성질은 아래와 같이 정수로 정의되는 두 변수 와 가 같은 값을 가지면 1, … Read more
삼각학수의 직교성이란 무엇인지 알아보고, 예제를 풀어 봐요. 삼각함수의 직교성 개념은 푸리에급수에서 중요한 역할을 합니다. 삼각함수가 직교성을 갖는다는 것은 어떤 삼각함수의 곱을 한 주기에 걸쳐 적분하면 0이 되는 성질을 뜻해요. 아래와 같이 두 벡터 와 의 내적이 0이면 두 벡터가 로 직교한다는 개념에 대응하는 거에요. 두 함수의 내적을 공식으로 표현하면 다음과 같애요. 여기서 와 가 삼각함수라면 … Read more
삼각함수 곱을 합 또는 차로 바꾸는 곱셈 공식을 유도해봐요. 삼각함수 곱을 합으로 바꾸는 곱셈 공식입니다. 이번 글에서는 위 공식을 모두 유도해봐요. Contents1. 삼각함수 곱을 합과 차로 바꾸는 곱셈 공식1-1. 첫번째 공식1-2. 두번째 공식1-3. 세번째 공식1-4. 네번째 공식 1. 삼각함수 곱을 합과 차로 바꾸는 곱셈 공식 1-1. 첫번째 공식 삼각함수 곱을 합으로 바꾸는 첫번째 공식을 유도해 … Read more
제차 2계 상미분 방정식 예제를 하나 풀어보겠습니다. 2계 상미분 방정식 문제 하나를 풀어봐요. 과학과 공학분야에서 간혹 나타나는 형태의 방정식인데요. 아래의 미분방정식입니다. 이 식에서 는 임의의 상수에요. 이 식의 일반해를 구하면 다음과 같이 주어집니다. 물론 와 도 임의의 상수에요. 이제부터 어떻게 일반해를 구했는지 구체적으로 알아봐요. 참고로 구체적인 상수계수를 갖는 제차 2계 상미분 방정식의 일반적 풀이 방법은 … Read more
독립 및 종속 변수에 의존하는 다양한 함수의 미분 방법을 알아봐요. 함수의 미분 방법을 설명드립니다. 어떤 함수가 독립 및 종속 변수에 의존하는 경우 미분을 어떻게 하느냐에 관한 이야기에요. 예를 들어 독립변수를 와 라고 할 때 아래 함수들을 보면 독립변수에만 의존하는 경우도 있고 독립변수 뿐만아니라 종속변수에도 의존하는 경우도 있음을 알 수 있어요. 이 경우 어떻게 미분하면 될까요? … Read more
함수를 적분 후 미분한 것과 미분 후 적분한 것의 결과가 같은지 알아 봐요. 어떤 함수를 적분 후 미분 또는 미분 후 적분한 결과가 같은지 궁금한 경우가 있어요. 특히 과학이나 공학 분야에서 이런 경우가 간혹 나오게 되는데요. 그 결과는 아래와 같습니다. 상수를 적분구간으로 하는 다변수함수에 대해서는 적분과 미분의 순서가 바뀌어도 같다는 것을 알 수 있어요. 아래는 … Read more
전치행렬을 만드는 방법과 그 성질을 알아 봐요. 전치행렬(Transpose Matrix)이란 어떤 행렬의 행과 열을 맞바꾼 행렬을 뜻합니다. 이를 기호로 쓰면 어떤 행렬 의 전치행렬은 로 표기합니다. 예를 들어 다음의 행렬 에 대한 전치행렬 는 다음과 같아요. 전치행렬은 직교 대각화 문제(행렬의 대각화 조건), 직교행렬등을 이해하는데 반드시 필요한 개념입니다. 이번 글에서는 전치행렬이 어떻게 정의되며 그 성질이 무엇인지 알아보겠습니다. … Read more
행렬의 대각화 개념에 대해 알아 봐요. 행렬의 대각화(diagonalization of matrices)란 대칭 선형 변환 행렬 에 고유벡터로 구성된 직교행렬 을 아래 식과 같이 적용하면, 고유값 로 구성된 대각행렬 가 얻어지는 것을 말합니다. 이 글에서는 위 (D1)식이 어떻게 유도되고, 행렬의 대각화 의미와 예제를 풀어보겠습니다. 아래는 이번 글의 목차입니다. Contents1. 고유값 문제 복습2. 행렬의 대각화2-1. 행렬의 대각화를 하는 … Read more