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용수철에 매달린 물체는 단순조화운동을 일으키는 단순조화진동자입니다.
단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator)란 단순조화운동을 일으키는 진동 시스템을 말해요.
여기서 단순조화운동 이란 등속원운동을 투영할 때 그 그림자가 만드는 운동임을 이전 글에서 설명드렸습니다.
또한 어떤 물체가 단순조화운동을 하기 위해서는 아래 식으로 주어지는 힘이 물체에 작용해야 한다는 것도 알았어요.
F = − k x (D1) \tag{D1}
F= - kx F = − k x ( D1 ) 그렇다면 어떤 진동시스템이 위 식과 같은 힘을 물체에 작용해서 그 물체가 단순조화운동을 하게 만들까요? 결론부터 말씀드리면 가장 대표적인 단순조화진동자 예시는 용수철에 매달린 물체나 단진자 등이 이에 해당합니다.
이번 글에서는 용수철에 매달린 물체에 작용하는 힘이 어떻게 (D1)식을 만족하는지 알아 봐요. 더불어 이번 글을 통해 아래의 식들이 어떻게 도출되는지도 이해할 수 있어요.
x = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) m d 2 x d t 2 + k x = 0 ω 0 = k m T = 2 π m k f = 1 2 π k m x ( t ) = x 0 2 + v 0 2 ω 0 2 sin ( ω 0 t + tan − 1 ω 0 x 0 v 0 ) (D2) \tag{D2}
\begin{align}
&x= A \sin (\omega_0t + \phi_0)\\[7pt]
&m{{d^2x}\over{dt^2}} + kx =0\\[7pt]
&\omega_0 = \sqrt{k \over m}\\[7pt]
&T=2 \pi \sqrt{{m \over k}}\\[7pt]
&f= {1 \over 2\pi}\sqrt{k \over m}\\[7pt]
&x(t) = \sqrt{x_0^2 + {{v_0^2}\over{\omega_0^2}}} \sin\Big(\omega_0t + \tan^{-1}{{\omega_0 x_0}\over{v_0}} \Big)
\end{align} x = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) m d t 2 d 2 x + k x = 0 ω 0 = m k T = 2 π k m f = 2 π 1 m k x ( t ) = x 0 2 + ω 0 2 v 0 2 sin ( ω 0 t + tan − 1 v 0 ω 0 x 0 ) ( D2 ) 아래는 이번 글의 목차입니다.
1. 용수철에 매달린 물체 용수철에 매달린 물체를 잡아당겼다가 놓으면 아래 [그림 1]과 같이 진동합니다.
[그림 1] 용수철에 매달린 물체를 아래로 잡아당겼다 놓으면 위아래로 진동합니다.( 그림 인용: 위키백과 )
이때 물체의 운동을 자세히 보면 속도가 계속 변하는 가속도 운동을 하고 있음을 알 수 있어요.
뉴턴 운동의 제2법칙 인 F = m a F=ma F = ma m m m a a a F F F
그렇다면 어떤 형태의 힘이 용수철에 매달린 물체에 작용하는 걸까요? 이제부터 그 힘에 대해 알아봐요.
참고로 용수철에 매달린 물체는 지구에 의해 중력을 받는데요. 지표면 근처에서 그 중력은 물체가 진동하는 동안 항상 일정하게 작용하므로 진동현상과는 관련이 없어요.
즉, [그림 1]에서 보여지는 진동 현상은 중력이 있건 없건 동일하게 일어난다는 의미에요. 그래서 용수철에 매달린 물체에 작용하는 중력은 고려하지 않아도 됩니다..
중력이 아닌 다른 힘의 존재를 상상해 보세요.
1-1. 훅의 법칙 용수철에 매달린 물체에 작용하는 힘의 존재를 알아보기 위해, 아래 [그림 2]와 같이 동일한 용수철에 1 m 1m 1 m 3 m 3m 3 m
이때 용수철의 길이, 즉 변위가 어떻게 변하는지 관찰해 봐요. 주의할 것은 용수철을 진동시킨 것이 아니에요. 물체를 매달아 가만히 놓은 상태를 상상해야 합니다.
[그림 2] 용수철에 서로 다른 질량을 갖는 물체를 매달면 용수철이 늘어나면서 새로운 위치에서 평형을 이룹니다.
그림에서 가장 왼쪽 그림은 용수철에 아무런 물체도 매달지 않은 경우에요. 물체가 없으니 용수철은 원래 자연 길이 상태로 있게 됩니다.
즉 용수철이 늘어나지도 압축되지도 않았어요. 이 길이를 원점으로 정하기 위해 용수철 끝점의 위치를 x 0 = 0 x_0 = 0 x 0 = 0
두번째 그림은 용수철에 1 m 1m 1 m x 1 x_1 x 1
이것은 물체에 작용하는 중력과 반대방향으로 작용하는 어떤 힘이 있음을 뜻해요. 그래서 그 힘과 중력의 크기가 같아지는 위치에서 물체가 평형을 이루는 것이죠. 만일 중력만 존재한다면 물체는 가속되며 떨어질 거에요. 그러면 용수철은 무한대로 늘어나야 합니다.
세번째 그림은 질량 2 m 2m 2 m x 2 x_2 x 2
같은 방식으로 네번째 그림은 3 m 3m 3 m x 3 x_3 x 3
그러면 중력과 크기가 같은 어떤 힘 F F F x x x
1-2. 탄성력과 용수철상수
[그림 3] 용수철이 물체에 작용하는 힘의 크기는 늘어난 변위에 비례합니다.
그림과 같이 용수철이 물체에 작용하는 힘의 크기 F F F x x x
한편 그래프에서 얻어지는 직선의 기울기를 k k k F = k x F=kx F = k x
여기서 중요한 것은 저 힘 F F F x x x
여러분들이 용수철을 손으로 압축하여 변위를 만들면 용수철이 펴질려고 하는 힘을 느낄 수 있잖아요. 반대로 용수철을 늘리면 용수철은 수축하려고 하는 힘을 느낄 수 있습니다.
그때 느껴지는 힘이 F F F F F F x x x
결국 다음의 식을 얻을 수 있고, 이 힘을 탄성력(elastic force), 이 공식을 훅의 법칙(Hooke’s law) 이라고 합니다. 그리고 k k k
F = − k x (1-1) \tag{1-1}
F= - kx F = − k x ( 1-1 ) (1-1)식과 같이 탄성력 F F F x x x F F F x x x
그래서 탄성력이 작용하는 물체는 압축되거나 늘어날 때 원래의 위치로 되돌아가려는 성질을 보이게 됩니다.
2. 용수철 단순조화진동자 (1-1)식의 탄성력이 용수철에 매달린 물체에 작용한다는 것을 알았어요. 그런데 그 공식을 잘 보면 단순조화운동을 일으키는 힘 인 (D1)식과 같아요.
이 말은 용수철에 매달린 물체의 진동이 단순조화운동임을 의미합니다. 그래서 단순조화운동을 일으키는 이러한 특별한 장치를 우리는 단순조화진동자라고 불러요.
그렇다면 용수철에 매달려 진동하는 물체의 변위는 수학적으로 어떻게 표현될까요? 네 맞아요. 이전 글에서 도출한 단순조화운동의 변위 공식 을 그대로 사용하면 됩니다.
x = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) (2-1) \tag{2-1}
x= A\sin(\omega_0 t + \phi_0) x = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ( 2-1 ) 여기서 x x x ω 0 \omega_0 ω 0 A A A
그리고 ϕ 0 \phi_0 ϕ 0
2-1. 초기 위상 초기 위상이란 시간 t = 0 t=0 t = 0 t = 0 t=0 t = 0 x = 0 x=0 x = 0 ϕ 0 = 0 \phi_0=0 ϕ 0 = 0 t = 0 t=0 t = 0 x = 0 x=0 x = 0 ϕ 0 = 0 \phi_0=0 ϕ 0 = 0
그리고 t = 0 t=0 t = 0 x = A x=A x = A ϕ 0 = π 2 \phi_0= {\pi \over 2} ϕ 0 = 2 π
같은 방식으로 물체가 최상점에서 아래쪽으로 진행하다가 t = 0 t=0 t = 0 x = 0 x=0 x = 0 ϕ 0 = π \phi_0=\pi ϕ 0 = π
아래 [그림 4]는 초기 위상 ϕ 0 \phi_0 ϕ 0
[그림 4] 단순조화진동자 진동의 초기 위상에 따라 변위-시간 그래프의 시작 위치가 달라집니다.
2-2. 각진동수 (2-1)식에서 용수철에 매달려 진동하는 물체의 진폭 A A A t = 0 t=0 t = 0 ϕ 0 \phi_0 ϕ 0
그렇다면 물체의 각속도 ω 0 \omega_0 ω 0
무슨 말이냐면 아래 [그림 5]를 보세요.
[그림 5] 단순조화진동자.
[그림 5]는 용수철에 매달린 물체인데요. 위에서 말씀드렸듯이 용수철을 압축하거나 늘린 상태에서 물체를 놓으면 단순조화운동합니다.
그런데 우리가 [그림 5]의 단순조화진동자 시스템에서 알고 있는 값은 단지 용수철 상수 k k k m m m ω 0 \omega_0 ω 0
이를 알기 위해서는 탄성력인 (1-1)식과 단순조화운동의 변위에 관한 (2-1)식을 연계해서 풀어볼 필요가 있어요.
우선 (1-1)식의 좌변 F F F
F = m a = − k x (2-2) \tag{2-2}
F= ma=- kx F = ma = − k x ( 2-2 ) 여기서 a = d 2 x d t 2 a={{d^2x}\over{dt^2}} a = d t 2 d 2 x
m d 2 x d t 2 + k x = 0 (2-3) \tag{2-3}
m{{d^2x}\over{dt^2}} + kx=0 m d t 2 d 2 x + k x = 0 ( 2-3 ) 이러한 힘에 관한 방정식을 운동방정식이라고 불러요. 이 운동방정식은 제차 2계 상미분 방정식 의 형태인데요.
이 식을 풀면 (2-1)식이 도출되어야 합니다. 왜냐면 (2-3)식에 주어진 미분방정식의 해가 (2-1)식이 되어야 하기 때문이에요.
그런데 정말로 (2-3)식을 풀면 (2-1)식이 나오는지 궁금할 수 있는데요. 이에 대한 풀이 방법은 아래쪽에 별도로 정리 하겠습니다.
일단은 (2-3)식의 해가 (2-1)식임을 받아들이시기 바랍니다. 그러면 (2-1)식을 (2-3)식에 대입해봐요. 이를 위해서는 변위 x x x
x = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) v = d x d t = A ω 0 cos ( ω 0 t + ϕ 0 ) a = d 2 x d t 2 = − A ω 0 2 sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) (2-4) \tag{2-4}
\begin{align}
&x= A\sin(\omega_0 t + \phi_0)\\[10pt]
&v={{dx}\over{dt}} = A\omega_0 \cos (\omega_0 t + \phi_0)\\[10pt]
&a = {{d^2x}\over{dt^2}} = -A\omega_0^2 \sin(\omega_0 t + \phi_0)
\end{align} x = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) v = d t d x = A ω 0 cos ( ω 0 t + ϕ 0 ) a = d t 2 d 2 x = − A ω 0 2 sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ( 2-4 ) 이제 (2-4)식을 (2-3)식에 대입하고 정리하겠습니다.
m ( − A ω 0 2 sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ) + k ( A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ) = 0 ( − ω 0 2 + k m ) A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) = 0 (2-5) \tag{2-5}
\begin{align}
&m\Big(-A\omega_0^2\sin(\omega_0 t + \phi_0)\Big)+k\Big(A\sin (\omega_0 t + \phi_0)\Big) = 0\\[10pt]
&\Big(-\omega_0^2+{{k}\over{m}}\Big)A\sin(\omega_0 t + \phi_0) = 0
\end{align} m ( − A ω 0 2 sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ) + k ( A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ) = 0 ( − ω 0 2 + m k ) A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) = 0 ( 2-5 ) (2-5)식의 두번째 줄에서 A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) A\sin(\omega_0 t + \phi_0) A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) x x x − ω 0 2 + k m -\omega_0^2 + {{k}\over{m}} − ω 0 2 + m k
따라서 다음이 성립합니다.
ω 0 = k m (2-6) \tag{2-6}
\omega_0 = \sqrt{{k}\over{m}} ω 0 = m k ( 2-6 ) 결국 ω 0 \omega_0 ω 0 k k k m m m
2-3. 진동 주기 (2-6)식을 이용해 용수철 단순조화진동자의 진동 주기를 구할 수 있어요.
등속원운동하는 물체가 한바퀴 회전하는데 걸리는 시간이 주기 T T T 2 π 2 \pi 2 π
그러므로 각속도 ω 0 \omega_0 ω 0
ω 0 = Δ θ Δ t = 2 π T (2-7) \tag{2-7}
\omega_0 = {{\Delta \theta}\over{\Delta t}} = {{2\pi}\over{T}} ω 0 = Δ t Δ θ = T 2 π ( 2-7 ) (2-6)식을 (2-7)식에 대입하고 주기 T T T
T = 2 π m k (2-8) \tag{2-8}
T={2\pi}\sqrt{{m}\over{k}} T = 2 π k m ( 2-8 ) 주기 T T T f f f
f = 1 2 π k m (2-9) \tag{2-9}
f= {1 \over {2 \pi}}\sqrt{{k}\over{m}} f = 2 π 1 m k ( 2-9 )
3. (참고) 용수철 단순조화진동자 운동방정식 풀이 용수철 단순조화진동자의 운동방정식은 (2-3)식과 같아요. 이 식을 아래에 다시 쓸게요.
m d 2 x d t 2 + k x = 0 (3-1) \tag{3-1}
m{{d^2x}\over{dt^2}} + kx=0 m d t 2 d 2 x + k x = 0 ( 3-1 ) 이 미분방정식의 좌변와 우변을 m m m
d 2 x d t 2 + k m x = 0 d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 (3-2) \tag{3-2}
\begin{align}
&{{d^2x}\over{dt^2}} + {{k}\over{m}}x = 0 \\[10pt]
&{{d^2x}\over{dt^2}} + \omega_0^2 x = 0\\[10pt]
\end{align} d t 2 d 2 x + m k x = 0 d t 2 d 2 x + ω 0 2 x = 0 ( 3-2 ) 그리고 d 2 x d t 2 = x ′ ′ {{d^2x}\over{dt^2}}=x^{\prime\prime} d t 2 d 2 x = x ′′
x ′ ′ + ω 0 2 x = 0 (3-3) \tag{3-3}
\begin{align}
&x^{\prime\prime} + \omega_0^2 x =0
\end{align} x ′′ + ω 0 2 x = 0 ( 3-3 ) 3-1. 첫번째 해 (3-3)식 형태의 미분방정식은 앞에서 말씀드렸듯이 제차 2계 상미분방정식 이라고 불러요.
2계 미분방정식이므로 해가 두개가 나와야 하는데요. (3-3)식을 잘 보면 자명하게 아래의 식이 그 중 한 해 임을 짐작할 수 있습니다.
x 1 ( t ) = sin ( ω 0 t ) (3-4) \tag{3-4}
x_1(t) = \sin(\omega_0t) x 1 ( t ) = sin ( ω 0 t ) ( 3-4 ) 정말 그런지 알아볼까요? (3-4)식을 (3-3)식에 대입해봐요. 그러면 아래와 같이 좌변과 우변이 모두 0이 되어 (3-3)식이 성립합니다.
( − ω 0 2 sin ( ω 0 t ) ) + ω 0 2 ( sin ( ω 0 t ) ) = 0 (3-5) \tag{3-5}
\begin{align}
\Big(-\omega_0^2 \sin(\omega_0t)\Big) + \omega_0^2\Big(\sin(\omega_0t)\Big) =0
\end{align} ( − ω 0 2 sin ( ω 0 t ) ) + ω 0 2 ( sin ( ω 0 t ) ) = 0 ( 3-5 ) 3-2. 두번째 해 그럼 이제부터 두번째 해를 구하면 되는데요. 제차 2계 상미분 방정식에서 두번째 해를 구하는 계수 낮추기 풀이 방법을 그대로 적용하겠습니다.
두번째 해를 다음의 형태로 가정해봐요.
x 2 ( t ) = u ( t ) x 1 ( t ) (3-6) \tag{3-6}
x_2(t) = u(t)x_1(t) x 2 ( t ) = u ( t ) x 1 ( t ) ( 3-6 ) 그리고 (3-6)식을 한번 미분하고, 또 한번 미분하면 다음과 같아요. 그런데 시간의 함수임을 뜻하는 기호 ( t ) (t) ( t )
x 2 ′ = u ′ x 1 + u x 1 ′ x 2 ′ ′ = u ′ ′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ + u x 1 ′ ′ (3-7) \tag{3-7}
\begin{align}
&x_2^{\prime} = u^{\prime}x_1 + u x_1^{\prime}\\
&x_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}x_1 + 2 u^{\prime}x_1^{\prime} + ux_1^{\prime\prime}
\end{align} x 2 ′ = u ′ x 1 + u x 1 ′ x 2 ′′ = u ′′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ + u x 1 ′′ ( 3-7 ) 이제 (3-7)식과 (3-6)식을 원식인 (3-3)식에 대입하고 정리하면 다음과 같아요.
( u ′ ′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ + u x 1 ′ ′ ) + ω 0 2 u x 1 = 0 ( u ′ ′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ ) + u ( x 1 ′ ′ + ω 0 2 x 1 ) = 0 (3-8) \tag{3-8}
\begin{align}
&(u^{\prime\prime}x_1 + 2 u^{\prime}x_1^{\prime} + ux_1^{\prime\prime}) + \omega_0^{2}ux_1 =0\\[5pt]
&(u^{\prime\prime}x_1 + 2 u^{\prime}x_1^{\prime}) + u ({\color{red}x_1^{\prime\prime } + \omega_0^2 x_1}) = 0
\end{align} ( u ′′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ + u x 1 ′′ ) + ω 0 2 u x 1 = 0 ( u ′′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ ) + u ( x 1 ′′ + ω 0 2 x 1 ) = 0 ( 3-8 ) 윗식에서 빨강색 부분은 원식인 (3-3)식과 같으므로 0입니다. 따라서 위 식이 성립하기 위해서는 좌변 첫번째 항도 0이 되어야 해요.
u ′ ′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ = 0 (3-9) \tag{3-9}
u^{\prime\prime}x_1 + 2 u^{\prime}x_1^{\prime} =0 u ′′ x 1 + 2 u ′ x 1 ′ = 0 ( 3-9 ) 한편 미분방정식의 한 해인 (3-4)식을 한번 미분하면 다음과 같아요.
x 1 = sin ( ω 0 t ) x 1 ′ = ω 0 cos ( ω 0 t ) (3-10) \tag{3-10}
\begin{align}
&x_1 = \sin(\omega_0t)\\
&x_1^{\prime} = \omega_0 \cos(\omega_0 t)
\end{align} x 1 = sin ( ω 0 t ) x 1 ′ = ω 0 cos ( ω 0 t ) ( 3-10 ) (3-10)식을 (3-9)식에 대입하세요.
u ′ ′ sin ( ω 0 t ) + 2 ω 0 u ′ cos ( ω 0 t ) = 0 (3-11) \tag{3-11}
u^{\prime\prime} \sin (\omega_0t) + 2 \omega_0u^{\prime}\cos(\omega_0t)=0 u ′′ sin ( ω 0 t ) + 2 ω 0 u ′ cos ( ω 0 t ) = 0 ( 3-11 ) 미분방정식의 계수를 하나 낮추기 위해 (3-11)식에서 u ′ u^{\prime} u ′ w w w
d w d t sin ( ω 0 t ) + 2 ω 0 w cos ( ω 0 t ) = 0 (3-12) \tag{3-12}
{{dw}\over{dt}}\sin(\omega_0t) + 2 \omega_0 w\cos(\omega_0 t) =0 d t d w sin ( ω 0 t ) + 2 ω 0 w cos ( ω 0 t ) = 0 ( 3-12 ) 좌변은 w w w t t t 변수분리 한 후 양변을 적분해 보세요.
∫ 1 w d w = − 2 ω 0 ∫ cos ( ω 0 t ) sin ( ω 0 t ) d t = − 2 ω 0 ∫ cot ( ω 0 t ) d t (3-13) \tag{3-13}
\begin{align}
\int{1 \over w} dw &= -2\omega_0\int{{\cos(\omega_0t)}\over{\sin(\omega_0t)}}dt\\[10pt]
&=-2\omega_0\int \cot(\omega_0t)dt
\end{align} ∫ w 1 d w = − 2 ω 0 ∫ sin ( ω 0 t ) cos ( ω 0 t ) d t = − 2 ω 0 ∫ cot ( ω 0 t ) d t ( 3-13 ) 그리고 cot ( ω 0 t ) \cot(\omega_0t) cot ( ω 0 t )
ln ∣ ω ∣ = − 2 ω 0 1 ω 0 ln ∣ sin ( ω 0 t ) ∣ + c = − 2 ln ∣ sin ( ω 0 t ) ∣ + c (3-14) \tag{3-14}
\begin{align}
\ln|\omega| &= -2 \cancel{\omega_0}{{1}\over{\cancel{\omega_0}}}\ln|\sin(\omega_0t)|+c\\
&=-2\ln|\sin(\omega_0t)|+c
\end{align} ln ∣ ω ∣ = − 2 ω 0 ω 0 1 ln ∣ sin ( ω 0 t ) ∣ + c = − 2 ln ∣ sin ( ω 0 t ) ∣ + c ( 3-14 ) 양변에 exponential을 취해 주세요.
ω = e c e ln ∣ sin ( ω 0 t ) ∣ − 2 = c 1 sin 2 ( ω 0 t ) (3-15) \tag{3-15}
\begin{align}
\omega &= e^c{e^{\ln|\sin(\omega_0t)|}}^{-2}\\
&=c{{1}\over{\sin^2(\omega_0t)}}
\end{align} ω = e c e l n ∣ s i n ( ω 0 t ) ∣ − 2 = c sin 2 ( ω 0 t ) 1 ( 3-15 ) 윗식에서 e c e^c e c c c c u ′ u^{\prime} u ′ w w w
ω = d u d t = c 1 sin 2 ( ω 0 t ) (3-16) \tag{3-16}
\begin{align}
\omega = \color{blue}{{du}\over{dt}} =c{{1}\over{\sin^2(\omega_0t)}}
\end{align} ω = d t d u = c s i n 2 ( ω 0 t ) 1 ( 3-16 ) 윗식에서 파랑색 부분을 변수분리하고 적분하세요. 이때 csc 2 ( ω 0 t ) \csc^2(\omega_0t) csc 2 ( ω 0 t )
∫ d u = u = c ∫ 1 sin 2 ( ω 0 t ) d t = c ( − 1 ω 0 cot ( ω 0 t ) + c ) = c 1 cot ( ω 0 t ) + c 2 (3-17) \tag{3-17}
\begin{align}
\int du = u &= c \int {{1}\over{\sin^2(\omega_0t)}}dt\\[10pt]
&=c\Big( -{1 \over \omega_0} \cot (\omega_0 t) + c \Big)\\[10pt]
&=c_1 \cot(\omega_0t)+c_2
\end{align} ∫ d u = u = c ∫ sin 2 ( ω 0 t ) 1 d t = c ( − ω 0 1 cot ( ω 0 t ) + c ) = c 1 cot ( ω 0 t ) + c 2 ( 3-17 ) 윗식에서 비로소 u u u
x 2 ( t ) = u ( t ) x 1 ( t ) = ( c 1 cot ( ω 0 t ) + c 2 ) sin ( ω 0 t ) = c 1 cos ( ω 0 t ) sin ( ω 0 t ) sin ( ω 0 t ) + c 2 sin ( ω 0 t ) = c 1 cos ( ω 0 t ) + c 2 sin ( ω 0 t ) (3-18) \tag{3-18}
\begin{align}
x_2(t) &= u(t)x_1(t)\\
&=\Big(c_1 \cot(\omega_0t)+c_2\Big)\sin(\omega_0t)\\[10pt]
&=c_1 {{\cos(\omega_0t)}\over{\cancel{\sin(\omega_0t)}}} \cancel{\sin(\omega_0t)} + c_2 \sin(\omega_0t)\\[10pt]
&=c_1\cos(\omega_0t)+c_2\sin(\omega_0t)
\end{align} x 2 ( t ) = u ( t ) x 1 ( t ) = ( c 1 cot ( ω 0 t ) + c 2 ) sin ( ω 0 t ) = c 1 sin ( ω 0 t ) cos ( ω 0 t ) sin ( ω 0 t ) + c 2 sin ( ω 0 t ) = c 1 cos ( ω 0 t ) + c 2 sin ( ω 0 t ) ( 3-18 ) 3-3. 일반해 제차 2계 상미분 방정식 해에 대한 중첩의 원리와 선형성 원리 를 적용하여 일반해를 최종 도출하면 다음과 같아요.
x ( t ) = c 3 x 1 ( t ) + c 4 x 2 ( t ) = c 3 sin ( ω 0 t ) + c 4 ( c 1 cos ( ω 0 t ) + c 2 sin ( ω 0 t ) ) = ( c 3 + c 2 ) sin ( ω 0 t ) + c 4 c 1 cos ( ω 0 t ) = c 5 sin ( ω 0 t ) + c 6 cos ( ω 0 t ) (3-19) \tag{3-19}
\begin{align}
x(t)&=c_3x_1(t)+ c_4x_2(t)\\
&=c_3\sin(\omega_0t) + c_4\big(c_1\cos(\omega_0t)+c_2\sin(\omega_0t)\big)\\
&=(c_3+c_2)\sin(\omega_0t)+c_4c_1\cos(\omega_0t)\\
&=c_5\sin(\omega_0t)+c_6\cos(\omega_0t)
\end{align} x ( t ) = c 3 x 1 ( t ) + c 4 x 2 ( t ) = c 3 sin ( ω 0 t ) + c 4 ( c 1 cos ( ω 0 t ) + c 2 sin ( ω 0 t ) ) = ( c 3 + c 2 ) sin ( ω 0 t ) + c 4 c 1 cos ( ω 0 t ) = c 5 sin ( ω 0 t ) + c 6 cos ( ω 0 t ) ( 3-19 ) 윗 식이 바로 용수철 단순조화진동자 운동방정식의 일반해 입니다. 그런데 저 위에서 단순조화운동의 변위는 (2-1)식처럼 주어진다고 했는데요. 아무리 보아도 (3-19)식은 (2-1)식과는 달라보여요.
이에 대해 잠시만 알아보면 (2-1)식을 아래에 다시 쓰고 삼각함수의 덧셈 정리를 적용하면 다음과 같아요. 여기서 진폭 A A A ϕ 0 \phi_0 ϕ 0
x ( t ) = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) = A ( sin ( ω 0 t ) cos ϕ 0 + cos ( ω 0 t ) sin ϕ 0 ) = A cos ϕ 0 sin ( ω 0 t ) + A sin ϕ 0 cos ( ω 0 t ) = c 5 sin ( ω 0 t ) + c 6 cos ( ω 0 t ) (3-20) \tag{3-20}
\begin{align}
x(t) &= A\sin(\omega_0t + \phi_0)\\
&=A\Big(\sin(\omega_0t)\cos \phi_0 +\cos(\omega_0t)\sin\phi_0 \Big)\\
&={\color{blue}{A\cos\phi_0}}\sin(\omega_0t) + {\color{blue}A\sin\phi_0}\cos(\omega_0t)\\
&=c_5\sin(\omega_0t)+c_6\cos(\omega_0t)
\end{align} x ( t ) = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) = A ( sin ( ω 0 t ) cos ϕ 0 + cos ( ω 0 t ) sin ϕ 0 ) = A c o s ϕ 0 sin ( ω 0 t ) + A s i n ϕ 0 cos ( ω 0 t ) = c 5 sin ( ω 0 t ) + c 6 cos ( ω 0 t ) ( 3-20 ) 윗식에서 파랑색 부분은 그저 상수일 뿐입니다. 따라서 이를 c 5 c_5 c 5 c 6 c_6 c 6
따라서 용수철 단순조화진동자의 해는 다음과 같습니다.
x ( t ) = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) (3-21) \tag{3-21}
\begin{align}
x(t) &= A\sin(\omega_0t + \phi_0)\\
\end{align} x ( t ) = A sin ( ω 0 t + ϕ 0 ) ( 3-21 ) 3-4. 초기 변위, 속도를 이용한 변위식 표현 위에서 이미 미분방정식은 모두 풀었는데요. 조금만 더 고민할게 있어요.
그게 뭐냐면, 용수철 단순조화진동자가 진동할 때 t = 0 t=0 t = 0 x = x 0 x=x_0 x = x 0 v = v 0 v=v_0 v = v 0 A A A ϕ 0 \phi_0 ϕ 0
먼저 진폭을 구해볼께요. 이를 위해서는 (3-21)식에 t = 0 t=0 t = 0
x ( 0 ) = A sin ( ω 0 0 + ϕ 0 ) = A sin ϕ 0 = x 0 (3-22) \tag{3-22}
\begin{align}
x(0) &=A\sin(\omega_0 0 + \phi_0)= \color{blue}A\sin\phi_0=x_0\\
\end{align} x ( 0 ) = A sin ( ω 0 0 + ϕ 0 ) = A s i n ϕ 0 = x 0 ( 3-22 ) 이번에는 (3-21)식을 미분해서 속도 식을 구해봐요. 그리고 그 식에 t = 0 t=0 t = 0
v ( 0 ) = A ω 0 cos ( ω 0 0 + ϕ 0 ) = A ω 0 cos ϕ 0 = v 0 (3-23) \tag{3-23}
\begin{align}
v(0)=A\omega_0\cos(\omega_0 0 + \phi_0) = \color{blue}A\omega_0\cos\phi_0 = v_0
\end{align} v ( 0 ) = A ω 0 cos ( ω 0 0 + ϕ 0 ) = A ω 0 c o s ϕ 0 = v 0 ( 3-23 ) (3-22), (3-23)식의 파랑색 부분을 정리하면 다음과 같아요.
x 0 = A sin ϕ 0 v 0 ω 0 = A cos ϕ 0 (3-24) \tag{3-24}
\begin{align}
&x_0 = A \sin \phi_0\\[10pt]
&{{v_0}\over{\omega_0}}=A\cos\phi_0
\end{align} x 0 = A sin ϕ 0 ω 0 v 0 = A cos ϕ 0 ( 3-24 ) 위 두식을 제곱해서 서로 합해 봐요. 그러면 다음이 됩니다.
x 0 2 + v 0 2 ω 0 2 = A 2 sin 2 ϕ 0 + A 2 cos 2 ϕ 0 = A 2 (3-25) \tag{3-25}
x_0^2 + {{v_0^2}\over{\omega_0^2}} = A^2 \sin^2\phi_0 + A^2 \cos^2 \phi_0 = A^2 x 0 2 + ω 0 2 v 0 2 = A 2 sin 2 ϕ 0 + A 2 cos 2 ϕ 0 = A 2 ( 3-25 ) 결국 진폭은 다음과 같이 표현됩니다.
A = x 0 2 + v 0 2 ω 0 2 (3-26) \tag{3-26}
A = \sqrt{x_0^2 + {{v_0^2}\over{\omega_0^2}}} A = x 0 2 + ω 0 2 v 0 2 ( 3-26 ) 이번에는 초기 위상을 구하는데요. (3-24)의 두 식을 아래와 같이 나누어 보세요.
A sin ϕ 0 A cos ϕ 0 = tan ϕ 0 = ω 0 x 0 v 0 (3-27) \tag{3-27}
{{A\sin\phi_0}\over{A\cos\phi_0}} =\tan\phi_0= {{\omega_0 x_0}\over{v_0}} A cos ϕ 0 A sin ϕ 0 = tan ϕ 0 = v 0 ω 0 x 0 ( 3-27 ) 결국 초기 위상은 다음과 같아요.
ϕ 0 = tan − 1 ( ω 0 x 0 v 0 ) (3-28) \tag{3-28}
\phi_0 = \tan^{-1}\Big({{\omega_0 x_0}\over{v_0}}\Big) ϕ 0 = tan − 1 ( v 0 ω 0 x 0 ) ( 3-28 ) 마지막으로 (3-26)식과 (3-28)식을 (3-21)식에 대입하면 다음과 같습니다.
x ( t ) = x 0 2 + v 0 2 ω 0 2 sin ( ω 0 t + tan − 1 ω 0 x 0 v 0 ) (3-29) \tag{3-29}
x(t) = \sqrt{x_0^2 + {{v_0^2}\over{\omega_0^2}}} \sin\Big(\omega_0t + \tan^{-1}{{\omega_0 x_0}\over{v_0}} \Big) x ( t ) = x 0 2 + ω 0 2 v 0 2 sin ( ω 0 t + tan − 1 v 0 ω 0 x 0 ) ( 3-29 )
지금까지 용수철 단순조화진동자 시스템에 대해 알아봤습니다.
흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
![[그림 1] 용수철에 매달린 물체를 아래로 잡아당겼다 놓으면 위아래로 진동합니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/02/Simple_harmonic_oscillator.gif)
![[그림 2] 용수철에 서로 다른 질량을 갖는 물체를 매달면 용수철이 늘어나면서 새로운 위치에서 평형을 이룹니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/02/Picture1-1024x678.jpg)
![[그림 3] 용수철이 물체에 작용하는 힘의 크기는 늘어난 변위에 비례합니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/02/Picture2-1024x631.jpg)
![[그림 4] 단순조화진동자 진동의 초기 위상에 따라 변위-시간 그래프의 시작 위치가 달라집니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/02/Picture111-1024x273.jpg)
![[그림 5] 단순조화진동자](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/02/Picture1-1-566x1024.jpg)
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