만유인력 법칙에서 r이 물체 중심 사이의 거리인 이유

Last Updated on 2023-09-25 by BallPen

만유인력 법칙의 분모는 두 물체사이의 떨어진 거리 r의 제곱으로 주어집니다. 이때 r이 물체의 중심과 중심사이의 거리로 계산되는 이유는 무엇일까요?

뉴턴의 만유인력 법칙을 공부하면서 궁금한 하나의 문제가 있었어요.

왜 두 물체 사이의 떨어진 거리를 두 물체의 중심사이의 거리로 보느냐는 것이었죠. 여러분도 이게 궁금한 적이 있나요?

왠지 당연한것처럼 보이기도 하면서도 갑자기 의문이 들때가 있습니다. 함께 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 만유인력 법칙 (또는 중력)

뉴턴의 만유인력 법칙은 간단히 말해 질량을 갖는 물체들 사이에 인력이 작용한다는 법칙인데요. 지구에 사는 사람들 입장에서는 중력으로 더 많이 불립니다.

예를들어 나무위에 있는 사과가 자유낙하하면 중력가속도 g=9.8~\mathrm{m/s^2}의 일정한 가속도로 낙하합니다.

아래 (1)식의 뉴턴 운동 제2법칙에 따르면 질량 m인 어떤 물체가 g로 등가속도 운동을 하면 그 물체는 일정한 힘 F를 받고 있음을 알 수 있습니다.

\tag{1}
F=mg

따라서 사과가 자유낙하하며 일정한 중력가속도로 가속되는 현상은 바로 지구가 사과를 잡아당기는 만유인력, 즉 중력이 작용하고 있음을 의미합니다.

물론 작용과 반작용 법칙에 의해 사과도 지구를 잡아당기게 되죠.

아래 [그림 1]은 질량 m_1과 질량 m_2를 갖는 질점1과 질점2가 거리 r만큼 떨어져 있을때 질점2가 질점1을 당기는 만유인력 F를 그림으로 나타내고 있습니다.

여기서 질점이란 물체의 전체 질량이 한 곳에 집중되어 있다고 가정할 때 존재한다고 생각하는 지점을 말합니다.

[그림 1] 뉴턴의 만유인력 법칙에 따르면 두 질점 사이에는 인력이 작용합니다. 그림에는 질점2가 질점1을 당기는 힘만 그렸으나 작용과 반작용 법칙에 의해 질점1도 질점2를 같은 크기로 당기게 됩니다.

만유인력 F의 크기는 다음 식과 같이 주어집니다.

\tag{2}
F=G{{m_1 m_2}\over{r^2}}

여기서 G는 만유인력 상수로서 6.67 \times 10^{-11} ~ \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}이죠.

그런데 (2)식에서 분모에 있는 거리 r은 질점1과 질점2 사이의 거리를 말하는데요.

여기서 궁금한 것은 부피를 갖는 물체의 경우 질점이 물체의 중심이 되어 r을 두 물체 중심 사이의 거리로 간주하는 것이 합당한가? 입니다.

1-1. 만유인력 법칙에서 r에 대한 궁금증

만일 엄청나게 큰 지구가 있고 아주 작은 사과가 있을 때 두 물체사이에 작용하는 만유인력의 계산에서 r을 지구 중심으로부터 사과 중심까지의 거리로 보면 될까요?

[그림 2] 만유인력 법칙에 따르면 지구는 사과를 잡아당깁니다. 그런데 사과에 비해 지구는 무척크며 지구의 각 부분들이 사과를 잡아당기게 됩니다. 그림에서는 4개의 부분이 사과를 잡아당기는 모습입니다.

위의 [그림 2]를 보면 지구와 사과가 일정한 거리를 두고 있습니다. 이때 만유인력 법칙에 따르면 지구는 사과를 잡아당기게 되죠.

그런데 지구는 사과보다 무척 크며, 지구를 [그림 2]에서와 같이 서로 다른 4개의 부분만을 생각한다면 각 부분은 그림에서와 같이 서로 다른 방향으로 잡아당기게 될 것입니다.

이때 지구의 각 부분과 사과까지의 거리는 서로 다르며, 이에 따라 각 부분이 잡아당기는 만유인력의 방향과 크기도 서로 다릅니다. 따라서 지구의 모든 작은 지점들이 사과를 당기는 힘의 크기와 방향을 생각한다면 아주 복잡해질거에요.

이런 상황에서 지구의 모든 부분이 사과를 잡아당기는 만유인력의 크기가 지구 중심으로부터 사과 중심까지의 거리 r만을 고려하여 계산하면 될까요?

과연 그 이유는 어떠한 근거에 기반을 두고 있을까요?

이에 대한 논의는 뉴턴의 껍질정리 또는 구각정리로 알려져 있습니다.

실제로 아래에 이어지는 껍질정리 증명을 해보면 지구와 사과 사이의 만유인력은 두 물체 중심사이의 거리 r을 이용해 계산됩니다.

2. r이 물체 중심사이의 거리인 이유

아래 [그림 3]에는 반지름이 R인 큰 균일한 구 껍질이 있고 질량 m인 작은 물체가 그 앞에 놓여져 있습니다.

이때 구 껍질의 모양은 축구공을 생각하면 쉽습니다. 축구공을 보면 겉은 가죽으로 되어 있지만 속은 텅텅 비어있잖아요. 그러한 물체를 구 껍질 또는 구각이라고 부릅니다.

하지만 지구는 구 껍질 처럼 겉에만 물질이 있는 것이 아니고 속까지 채워져 있는것은 모두 알거에요.

하지만 우선 구껍질과 물체 사이에 작용하는 만유인력 문제를 풀어보고 그것을 확장해서 지구처럼 속이 꽌찬 구로 그 개념을 확대해보도록 하죠.

2-1. 구 껍질이 만드는 중력

[그림 3] 축구공과 같은 구형의 껍질이 있고 작은 물체가 그 앞에 놓여 있을때 두 물체사이에는 만유인력 법칙에 따라 힘이 작용합니다. 그림에서와 같이 미소각변위가 노랑색 링 모양을 만드는 것을 생각할 수 있습니다. 측면에서 보았을 때는 띠처럼 보이겠지만 물체가 있는 쪽에서 보면 동그란 링처럼 보일 거에요.

[그림 3]에서와 같이 미소 각변위 d \theta에 의해 만들어지는 노랑색 링의 호의 길이는 Rd \theta입니다.

그러므로 물체쪽에서 보이는 링의 안쪽 반지름은 R \sin \theta가 되어 안쪽 원주의 길이는 2 \pi (R \sin \theta)가 됩니다.

결국 노랑색 링의 미소면적 dA는 아래와 같이 주어집니다.

\tag{3}
dA = 2 \pi (R \sin \theta)\times Rd\theta

링 부분의 질량은 밀도와 유사한 개념인 면밀도 \rho를 도입함으로써 구해질 수 있는데요.

이때 면밀도는 두께를 무시할 수 있는 구 껍질을 가정하므로 구의 단위 껍질면적당 질량의 척도를 뜻합니다. 면밀도의 단위는 \mathrm{kg/m^2}가 됩니다.

결국 링 부분의 질량 dm은 아래 식과 같습니다.

\tag{4}
dm = dA \times \rho = \rho 2 \pi R^2 \sin \theta d \theta

한편 아래 [그림 4]와 같이 링을 구성하는 한 점 Q를 생각해보세요. 그 점이 물체 m을 당기는 힘은 \Delta F_Q로 주어집니다.

[그림 4] 한 점 Q가 물체를 당기는 만유인력 크기와 방향

이때 \Delta F_Q를 그림과 같이 수평성분인 \Delta F_{Qx}와 수직성분인 \Delta F_{Qy}로 분해할 수 있는데요.

링 전체의 3차원적 대칭 모양을 생각하면 \Delta F_{Qy}는 완전히 상쇄됩니다.

왜냐면 Q점의 대칭점(Q와 대칭이 되는 노랑색 링 위쪽)에 의한 힘의 수직성분은 \Delta F_{Qy}와 크기는 같고 방향이 반대가 되기 때문입니다.

반면에 \Delta F_{Qx}는 링을 구성하는 모든 질량요소들이 만드는 힘의 수평성분이 되어 상쇄되지 않고 존재합니다.

결국 링 부분의 모든 질량 dm과 물체의 질량 m을 고려하면, 미소 만유인력 dF는 아래와 같이 기술됩니다.

\tag{5}
\begin{align}
dF &= G {{m~ dm}\over{s^2}} \cos \phi \\
&=G{{m~\rho 2 \pi R^2 \sin \theta cos \phi}\over{s^2}}d \theta
\end{align}

이제는 \theta를 0에서부터 \pi까지 적분함으로써 전체 구껍질이 물체를 당기는 만유인력 F를 구할 수 있게 됩니다.

\tag{6}
\begin{align}
F=Gm2\pi \rho R^2 \int_0^\pi {{\sin \theta \cos \phi}\over{s^2}}d\theta
\end{align}

그런데 [그림 4]를 보면 \theta가 달라짐에 따라 \phi와 s도 동시에 달라지는 것을 알 수 있습니다. 특정한 하나의 변수로 통일할 필요가 있는데요. \phi와 \theta를 s로 표현해 보죠.

[변수의 통일]

아래 [그림 5]는 각 \theta에서 R, s, \phi, r의 관계를 보여줍니다. 삼각형을 볼 수 있는데요.

[그림 5] 각도 \theta가 달라지면 상수인 r과 R을 제외한 다른 변수들도 달라집니다. 변수의 통일이 필요합니다.

삼각형에 코사인 법칙을 적용합니다.

\tag{7}
\begin{align}
r^2 + R^2 - 2rR \cos \theta = s^2
\end{align}

(7)식의 양변을 미분해 보겠습니다. 이때 r과 R은 \theta와 무관한 상수에요. 그래서 미분하면 0이 됩니다.

\tag{8}
\begin{align}
2rR\sin\theta d\theta &= 2s ds\\
\sin \theta d\theta &= {{s}\over{rR}}ds
\end{align}

이번에는 코사인 법칙을 아래 (9)식처럼 적용해봐요.

\tag{9}
\begin{align}
s^2 + r^2 -2rs \cos \phi &= R^2\\
\cos \phi &={{s^2 + r^2 - R^2}\over{2rs}}
\end{align}

한편 (7)식에서 \theta가 0과 \pi로 주어질 때, s를 구해보면 아래와 같습니다.

\tag{10}
\begin{align}
\theta = 0 ~~~&\rightarrow~~~ s=r-R\\
\theta = \pi ~~~&\rightarrow~~~ s=r+R
\end{align}

이제는 (6)식에 (8)과 (9)식을 대입하여 변수를 s로 통일하여 표현합니다. 이때 (10)식을 적용하여 적분구간도 변경합니다.

\tag{11}
\begin{align}
F&=Gm2 \pi \rho R^2 \int_0^\pi {{\sin \theta \cos \phi}\over{s^2}}d\theta\\
&=Gm2\pi \rho R^2 \int_{r-R}^{r+R}{{{s^2 + r^2 - R^2}\over{2rs}}\over{s^2}} {{s}\over{rR}}ds\\
&=Gm2\pi\rho R^2 \int_{r-R}^{r+R} {{s^2 + r^2 - R^2}\over{2r^2 s^2 R}}ds\\
&={{Gm4 \pi \rho R^2}\over{4R r^2 }} \int_{r-R}^{r+R} {{s^2 + r^2 -R^2}\over{s^2}}ds
\end{align}

한편 구 껍질 전체 면적에 면밀도 \rho를 곱하면 구껍질의 전체 질량 M이 됩니다.

\tag{12}
\begin{align}
4 \pi R^2 \times \rho = M
\end{align}

(12)식을 (11)식에 반영하고 정리하면 아래와 같습니다.

\tag{13}
\begin{align}
F&={{Gm (4 \pi \rho R^2 )}\over{4R r^2 }} \int_{r-R}^{r+R} {{s^2 + r^2 -R^2}\over{s^2}}ds\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}} \int_{r-R}^{r+R} \Big( 1+{{r^2 - R^2}\over{s^2}} \Big) ds\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}} \Big[ s- {{r^2 - R^2}\over{s}} \Big]_{r-R}^{r+R}\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}}\Big[(r+R) - {{(r+R)(r-R)}\over{r+R}}-(r-R)+{{(r+R)(r-R)}\over{r-R}} \Big]\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}}\big(2R +2R\big)\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}}4R\\
&=G{{mM}\over{r^2}}
\end{align}

위 (13)식은 균일한 구껍질 하나가 질량 m인 물체를 당기는 만유인력이 됩니다.

여기서 중요한 것은 구 껍질이 아무리 커도 구 껍질과 물체 사이의 만유인력은 (13)식과 같이 구 껍질의 중심으로부터 물체 중심까지의 거리인 r에만 의존한다는 것입니다.

2-2. 속이 꽉찬 구가 만드는 중력

아래의 [그림 6]은 구 껍질이 겹치게 되면 속이 꽌찬 구를 만들 수 있음을 보이고 있습니다. 그림처럼 단지 세개의 구 껍질만 있는 것이 아니고 껍질이 연속적으로 분포하는 모습을 생각해 보세요.

그러면 속이 꽉찬 구가 만들어집니다. 마치 지구처럼요.

[그림 6] 구 껍질이 연속적으로 분포하면 속이 꽉 찬 구로 볼 수 있습니다. 속이 꽉 찬 구가 물체를 당기는 만유인력 공식은 각 구 껍질의 만유인력을 합하면 됩니다.

이때 각 껍질의 질량을 M_1, M_2, M_3 등으로 본다면 이러한 연속적 구 껍질이 물체를 당기는 힘은 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

\tag{14}
\begin{align}
F&=G{{m M_1}\over{r^2}} + G{{m M_2}\over{r^2}}+G{{m M_3}\over{r^2}} + \cdots\\
&=G{{m}\over{r^2}}(M_1 + M_2 + M_3 + \cdots)\\
&=G{{m M_E}\over{r^2}}
\end{align}

(14)식에서 모든 구 껍질이 갖는 질량의 합은 속이 꽉찬 구의 전체 질량 M_E와 같다는 원리가 적용되었습니다.

이것이 뉴턴의 껍질정리 또는 구각정리에 대한 내용이었습니다.

중요한 것은 균일한 두 물체 사이의 만유인력은 두 물체의 중심사이의 거리 r을 이용하여 계산될 수 있다는 것이 증명되었다는 거에요.

그래서 물체가 거대한 부피를 갖더라도 물체의 모든 질량이 물체의 중심에 모여있는 질점의 개념을 도입하게 된 것입니다.

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