이차방정식 풀이

BallPen · 2024-02-25T10:11:37+09:00

이차방정식 풀이를 위한 인수분해법은 식을 다항식 곱의 형태로 변환해서 해를 구하고, 완전제곱법은 완전제곱형태로 식을 변환하여 해를 구합니다. 근의 공식은 이차방정식 해를 구할 때 언제든지 사용할 수 있어요. 또한 판별식과 해의 종류에 대해서도 알아 봐요.

Last Updated on 2024-02-25 by BallPen

근의 공식을 포함한 이차방정식 풀이 방법을 알아봐요.

이차방정식(quadratic equation)이란 방정식의 모든 항을 한쪽으로 이항하고 정리했을 때 $x$ 에 관한 이차식으로 표현되는 방정식을 말해요.

방정식의 기본꼴은 다음과 같습니다.

\tag{D1} ax^2 + bx +c = 0

이 방정식은 인수분해, 완전제곱식, 근의 공식 등으로 풀수 있는데요. 가장 쉽게 적용할 수 있는 방법이 근의 공식으로 푸는 거에요.

근의 공식은 다음과 같아요. 이때 $b^2-4ac$ 를 판별식이라고 합니다.

\tag{D2} \begin{align} x= {{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac} }\over{2a}} \end{align}

이번 글에서는 이차방정식을 푸는 여러 방법과 근의 공식 (D2)가 어떻게 유도되는지 알아보겠습니다.

아울러 판별식에 따른 해의 종류에 대해서도 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 이차방정식 기본꼴
2. 이차방정식의 풀이
3. 이차방정식의 판별식

1. 이차방정식 기본꼴

이차방정식은 다음과 같이 $x$ 에 관한 이차식으로 주어지는 방정식을 말합니다.

기본 형태는 다음과 같죠. 여기서 $a$ , $b$ , $c$ 는 상수입니다.

\tag{1-1} ax^2 +bx + c = 0

또한 (1-1)식의 양변을 $a$ 로 나누면 다음과 같이 됩니다.

\tag{1-2} x^2 + {b \over a}x + {c \over a} = 0

여기서 $b \over a$ 는 상수이고, $c \over a$ 도 상수이므로 이 둘을 각각 $m$ 과 $n$ 으로 표기한다면 다음과 같은 형태로도 많이 나타냅니다.

\tag{1-3} x^2 + mx + n = 0

그렇다면 (1-1)식 또는 (1-3)식으로 표현된 이차방정식의 해는 어떻게 구할 수 있을까요? 하나씩 알아봐요.

2. 이차방정식의 풀이

시작에 앞서 이차방정식을 풀이한다는 의미는 뭘까요?

예를 들어 아래 (2-1)식에 이차방정식이 있어요.

\tag{2-1} \begin{align} x^2 - 5x +6 =0 \end{align}

이 이차방정식을 풀이한다는 의미는 우변이 0이 되는 것을 만족하는 $x$ 값을 구하는 과정을 말해요. 기하학적으로는 아래 [그림 1]에 있는 $f(x)=x^2-5x+6$ 의 곡선이 $x$ 축과 교차하는 두 지점의 $x$ 값을 구하는 거에요.

예를 들어 (2-1)식의 좌변에 $x=5$ 를 대입하면 $5^2 - (5 \times 5) + 6 =6$ 이 됩니다. 그런데 우변이 0이므로 좌변도 0이 되어야 하는데 풀이 결과가 6이므로 서로 같지 않아요. 따라서 $x=5$ 는 해가 아닌거에요.

단순하게 생각하면 (2-1)식에 모든 수를 대입해서 만족하는 $x$ 값을 구하면 되겠지만 계산량이 너무 많아요.

그런데 이러한 이차방정식의 해를 간단히 구하는 몇가지 방법이 있다는 거에요.

하나씩 알아봐요.

2-1. 인수분해를 이용한 풀이

만일 주어진 이차방정식이 인수분해가 가능한 꼴이라면 적용할 수 있는 방법이에요.

여기서 인수분해란 주어진 방정식을 곱의 형태를 갖는 다항식으로 분해하는 것을 말해요. 그러면 곱의 형태로 주어져 있으므로 어느 항이던 0이되면 전체가 0이 될거에요.

이러한 성질을 이용하면 이차방정식을 쉽게 풀수 있어요.

그러면 (2-1)식의 좌변을 인수분해해봐요. 그러면 다음과 같아요. 인수분해 결과를 보면 $(x-3)$ 항과 $(x-2)$ 항이 곱의 형태로 주어져 있는 것을 알 수 있어요.

\tag{2-2} (x-3)(x-2) = 0

이때 우변이 0이므로 좌변도 0이 되기 위해서는 괄호를 갖는 두개의 항 모두 0이거나 또는 두개 중 하나라도 0이면 되죠. 이를 만족하기 위해서는 $x=3$ 이거나 $x=2$ 가 되는 것 뿐이에요

그래서 (2-1)식의 답은 $x=3$ 또는 $x=2$ 가 됩니다.

x= 3 ~~~~~or~~~~~x= 2

2-2. 완전제곱식을 이용한 풀이

이번에는 완전제곱식을 이용한 풀이 방법이에요. 이번에도 (2-1)식의 이차방정식을 풀어 보겠습니다.

우선 (2-1)식을 아래와 같이 형태를 바꾸어 봐요.

\tag{2-3} x^2 - 5 x + 6 = 0 ~~~~~\rightarrow~~~~~x^2 - 5x = -6

그리고 좌변에 있는 $x^2 - 5x$ 를 완전제곱식으로 변환합니다.

그런데 여기서 완전제곱식이 뭔지 궁금할텐데요. 완전제곱식이란 $(x-k)^2$ 과 같이 어떤 다항식의 제곱으로 주어진 식을 말해요. 여기서 $k$ 는 상수에요.

그러면 일단 개념은 알겠는데, 문제는 $x^2 - 5x$ 를 어떻게 $(x-k)^2$ 형태로 바꾸느냐일거에요.

[완전제곱식 변환]

다음 식을 완전제곱형태로 바꾸고 싶다고 생각해봐요.

\tag{2-4} x^2 + mx =0

그런데 바꾸어진 완전제곱식을 $(x +k)^2$ 이라 가정하고 그 식을 풀이해서 (2-4)와 비교해봐요.

\tag{2-5} \begin{align} (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 \end{align}

그랬더니 (2-4)식에 있는 $m$ 은 (2-5)식의 $2k$ 와 같다는 것을 알 수 있어요. 그러므로 완전제곱식의 상수항인 $k^2$ 은 $\big({{m}\over{2}}\big)^2$ 의 관계가 성립합니다.

결국 (2-4)식의 양변에 $k^2=\big({{m}\over{2}}\big)^2$ 을 더해주면 (2-4)식을 다음과 같이 완전제곱식으로 변환할 수 있게 되죠.

\tag{2-6} x^2 + mx {\color{red}+ \big({{{m}\over{2}}}\big)^2} = {\color{red}\big({{{m}\over{2}}}\big)^2}

\tag{2-7} \Big(x+{m \over 2}\Big)^2 = \Big({m \over 2}\Big)^2

그럼 다시 본론으로 돌아와서 $x^2 - 5x$ 를 완전제곱식으로 바꾸어 봐요. 그러면 $m=-5$ 이므로 완전제곱식의 상수항은 $\big({-5 \over{2}}\big)^2$ 이 됩니다. 이 상수항을 (2-3)식의 양변에 더해줍니다.

\tag{2-8} \begin{align} x^2 - 5x &= -6\\[10pt] x^2 -5x {\color{red}+\Big({-5 \over 2}\Big)^2} &= -6{\color{red}+\Big({-5 \over 2}\Big)^2}\\[10pt] \Big(x-{{5 \over 2}}\Big)^2 &={1 \over 4}\\[10pt] \Big(x-{{5 \over 2}}\Big) &=\pm {1 \over 2}\\[10pt] \end{align}

결국 주어진 이차방정식의 해는 다음과 같습니다.

x= 3 ~~~~~or~~~~~x= 2

인수분해 법으로 풀이한 결과와 같다는 것을 알 수 있어요.

2-3. 근의 공식을 이용한 풀이

근의 공식은 2차 방정식이 주어지면 언제든지 적용해서 사용할 수 있어요. 이차방정식이 너무 복잡해서 인수분해나 완전제곱식 형태로 바꾸기 어려운 경우에도 물론 사용할 수 있습니다.

우선 근의 공식을 유도해볼께요.

[근의 공식 유도]

이차방정식의 기본 꼴부터 시작하겠습니다.

\tag{2-9} ax^2 + bx +c =0

기본 꼴의 형태를 다음과 같이 바꾸어 봐요.

x^2 + {{b}\over{a}}x = - {c \over a}

그리고 윗식의 좌변을 완전제곱식 조건을 만족하도록 변형하여 완전제곱식 형태로 변환해 보세요.

저 위에서 설명드린 완전제곱식 조건을 적용하면 $m={b \over a}$ 임을 알 수 있어요. 그러므로 다음과 같이 좌변과 우변에 상수항 $\big({{m}\over{2}}\big)^2$ 을 더해줍니다.

x^2 + {{b}\over{a}}x {\color{red}{+\Big({{b/a}\over{2}}\Big)^2}} = - {c \over a} {\color{red}{+\Big({{b/a}\over{2}}\Big)^2}}

\Big( x+ {b \over {2a}} \Big)^2 = {{b^2 - 4ac}\over{4a^2}}

x+{b \over {2a}} = \pm \sqrt{{b^2 -4ac}\over{4a^2}}

결국 윗식을 정리하면 $x$ 를 구하는 근의 공식은 다음과 같습니다.

\tag{2-10} \begin{align} x= {{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac} }\over{2a}} \end{align}

이제 근의 공식을 구했으니 아래의 이차방정식을 풀어봐요.

\tag{2-11} \begin{align} x^2 - 5x +6 =0 \end{align}

(2-9)식과 비교하면 $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ 입니다. 이 관계를 (2-10)식의 근의 공식에 대입해 보세요.

\begin{align*} x &= {{-(-5) \pm\sqrt{(-5)^2 - 4\times1\times6}}\over{2 \times 1}}\\[10pt] &={{5 \pm\sqrt{1}}\over{2}} \end{align*}

결국 주어진 이차방정식의 해는 다음과 같습니다.

x= 3 ~~~~~or~~~~~x= 2

인수분해와 완전제곱식으로 푼 결과와 같다는 것을 알 수 있어요.

3. 이차방정식의 판별식

이차방정식에 대한 근의 공식인 (2-10)식에서 $b^2 -4ac$ 를 판별식(discriminant)이라고 부릅니다.

\tag{3-1} D=b^2 -4ac

여기서 판별식 개념을 도입하는 이유는 판별식 $D$ 의 크기에 따라 해의 종류가 결정되기 때문이에요.

만일 $D>0$ 이라면 (2-10)식에 따라 서로 다른 두 실수의 근(실근)을 갖게 됩니다. 또한 $D=0$ 이라면 서로 같은 두 실수의 근(중근)을 갖습니다. 마지막으로 $D<0$ 이라면 실수의 근은 존재하지 않습니다.

예를 들어 아래 세개의 식에 대한 판별식을 구해보면 다음과 같아요.

\tag{3-2} \begin{align} &x^2 -x -2 =0~~\rightarrow ~~D= 9~~\rightarrow ~~D>0 ~~:~~서로 ~다른 ~두~ 실근\\ &x^2 + 6x + 9 = 0 ~~\rightarrow~~D = 0~~:~~중근\\ &x^2+4x+7=0~~\rightarrow~~D=-12 ~~\rightarrow~~D<0~~:~~실근~~ 없음 \end{align}

실제로 (3-2)식에 주어진 이차방정식들의 그래프를 그려보면 아래 [그림 2]와 같이 첫번째 방정식은 2개, 두번째 방정식은 1개, 세번째 방정식은 0개가 $x$ 축과 교차하고 있음을 알 수 있어요.

[그림 2] 두 실근을 갖는 경우, 중근을 갖는 경우, 실근이 없는 경우에 대한 이차방정식 그래프

따라서 첫번째 방정식은 서로 다른 두 실근( $x=2$ 또는 $x=-1$ )을 갖고, 두번째 방정식은 중근( $x=-3$ )을 가지며, 세번째 방정식은 실근이 없게 됩니다.

그런데 세번째 이차방정식은 실수의 근을 갖지는 않지만, 해의 범위를 복소수로 넓히면 서로 다른 두 허수의 근(허근)을 찾을 수 있어요.

해를 구하는 과정은 다음과 같아요. 우선 식부터 쓸게요.

\tag{3-3} x^2 + 4x +7 =0

근의 공식을 적용합니다.

\tag{3-4} \begin{align} x &= {{-4 \pm \sqrt{4^2 - (4\times1\times 7)}}\over{2}}\\[10pt] &={{-4 \pm \sqrt{-12}}\over{2}}\\[10pt] &={{-4 \pm i\sqrt{12}}\over{2}}\\[10pt] &={{-4 \pm i 2\sqrt{3}}\over{2}}\\[10pt] &=-2\pm i\sqrt{3} \end{align}

즉, (3-3)식으로 주어진 이차방정식의 해는 $x=-2+i\sqrt{3}$ 또는 $x=-2-i\sqrt{3}$ 으로 두개의 허근을 갖습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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