각운동량 예제 : 궤도각운동량과 스핀각운동량

Last Updated on 2023-10-03 by BallPen

궤도각운동량과 스핀각운동량에 관한 예제를 하나 풀어보겠습니다.

각운동량 예제 하나를 풀어 볼께요. 이 문제를 풀면 각운동량을 많이 이해할 수 있어요.

이전 운동량에 관한 글에서 입자계의 각운동량(angular momentum)은 궤도각운동량과 스핀각운동량으로 분해될 수 있고, 이들의 합이 전체 각운동량을 이룬다고 말씀드렸어요.

그렇다면 그 값은 각운동량에 대한 기본 정의식으로 구한 전체 각운동량과 정말 같을까요?

이번 글에서 그 두 결과가 같다는 것을 알게 됩니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 각운동량 복습

아래는 각운동량에 관한 주요 내용입니다. 보다 구체적인 내용은 운동량에 관한 이전 글을 참고하세요.

1-1. 점입자의 각운동량

질량 m인 아주 작은 점입자가 반지름 \vec r인 원궤도를 따라 접선속도 \vec v로 회전할 때 점입자의 각운동량 \vec L은 다음과 같이 주어집니다.

\tag{1}
\begin{align}
\vec L &= \vec r \times m\vec v\\
&= \vec r \times \vec p
\end{align}

이때 \vec p는 선운동량이라 부릅니다.

1-2. 입자계의 각운동량

점입자가 여러개 모여 입자계를 구성한 경우, 입자계의 총 각운동량은 각 입자의 각운동량을 벡터합하면 됩니다.

\tag{2}
\begin{align}
\vec L &= \sum (\vec r_i \times m \vec v_i)\\
&=\sum(\vec r_i \times \vec p_i)
\end{align}

위에 있는 (1)식과 (2)식을 각운동량에 대한 기본 정의식이라 합니다.

[궤도각운동량과 스핀각운동량]

(2)식의 기본 정의식을 입자계 질량중심의 개념을 도입함으로써 변형할 수 있는데요. 그러면 (2)식은 두 개 항의 합으로 정리될 수 있습니다.

그 중 첫번째 항은 입자계 질량중심의 공전에 대응하는 궤도각운동량이고, 두번째 항은 질량중심을 회전축으로 하는 입자계의 자전에 대응하는 스핀각운동량이에요.

식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\tag{3}
\vec L = (\vec r_{cm} \times m \vec v_{cm}) + \sum(\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i})

그러면 (2)식의 기본정의식과 (3)식의 궤도각운동량과 스핀각운동량의 합으로 구한 결과들이 서로 같은지 예제를 하나 풀어보겠습니다.

2. 각운동량 예제 풀이

[예제]

[그림 1]과 같이 길이가 d, 질량이 m, 선밀도가 \lambda인 막대 하나가 있다. 이 막대 한 끝을 회전축으로 하여 막대가 일정한 각속도 \omega로 회전하고 있다. 막대의 전체 각운동량은 얼마인가? 이때 막대는 두께가 아주 얇아 길이 성분만 갖는 것으로 가정하겠습니다.

2-1. 기본 정의식으로 구한 총 각운동량

막대는 [그림 1]처럼 막대의 한끝을 회전축으로 하여 일정한 각속도 \omega로 회전하고 있어요. 이때 막대는 균일하기 때문에 막대의 질량 중심인 cm점은 막대의 중간 위치인 d/2 지점에 있어요.

먼저 막대의 전체 각운동량을 기본 정의식인 (2)식을 통해 구해보겠습니다.

막대의 회전축으로부터 거리 \vec r만큼 떨어진 곳에 아주 작은 질량요소 {\rm d}m이 접선속도 \vec v로 공전하고 있다고 생각해봐요.

그러면 기본 정의식으로부터 그 질량요소 하나가 갖는 미소 각운동량 {\rm d}\vec L은 (1)식을 통해 다음과 같이 주어집니다.

\tag{4}
\begin{align}
{\rm d} \vec L &= \vec r \times {\rm d} \vec p\\
&=\vec r \times ({\rm d}m) \vec v\\
&=r \hat r \times ({\rm d}m)v \hat v\\
&=r(\lambda {\rm d}r) r \omega (\hat r \times \hat v)\\
&=r^2 \omega \lambda {\rm d}r \hat k 

\end{align}

윗 식에서 접선속도와 각속도의 관계 v=rw가 활용되었고, 선밀도를 고려하여 미소질량 {\rm d}m = \lambda {\rm d}r의 관계가 활용되었습니다.

또한 단위벡터 사이의 외적 \hat r \times \hat v = \hat k로 정하였습니다. \hat k는 막대가 회전하는 평면을 x,~y평면이라고 했을 때 이에 수직한 z방향을 뜻합니다.

그러면 이제 미소 각운동량을 이용하여 막대 전체의 각운동량을 구하면 되는데요. 막대를 구성하는 입자들이 연속적으로 연결되어 있으므로 (2)식의 \sum대신에 적분을 해주어야 합니다.

즉 아래와 같이 적분하면 막대의 총 각운동량 \vec L을 구할 수 있어요. 이때 막대의 길이가 d이므로 r에 대한 적분 구간은 0에서부터 d까지로 하면 됩니다.

\tag{5}
\begin{align}
\vec L &= \int_0^d {\rm d}\vec L\\
&=\int_0^d r^2\omega \lambda {\rm d}r \hat k\\
&=\omega \lambda \int_0^d r^2 {\rm d}r \hat k\\
&=\omega \lambda \Big[ {r^3 \over 3}\Big]_0^d \hat k\\
&= {1 \over 3}  d^3 \omega \lambda \hat k\\
&= {1 \over 3} (d \lambda) \omega d^2 \hat k\\
&={1 \over 3} m \omega d^2 \hat k

\end{align}

그 결과 기본 정의식으로 구한 막대의 총 각운동량은 {1 \over 3} m \omega d^2 \hat k입니다.

그러면 이번에는 (3)식을 이용해서도 구해봐야겠죠.

2-2. 궤도와 스핀각운동량의 합으로 구한 총 각운동량

식 (3)이 저 위에 있으니 보기가 불편해요. 그래서 아래에 식 (6)으로 다시 쓸게요.

\tag{6}
\vec L = (\vec r_{cm} \times m \vec v_{cm}) + \sum(\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i})

위 식에서 첫번째 항은 입자계 질량중심의 공전에 의한 궤도각운동량이고, 두번째 항은 질량중심을 회전축으로 하는 입자계의 자전에 대응하는 스핀각운동량이라고 했어요.

이것을 그림으로 표현하면 [그림 2]와 [그림 3]으로 나타낼 수 있어요. 바꾸어 말하면 예제에 주어진 [그림 1]의 막대 운동은 [그림 2]의 운동과 [그림 3]의 운동이 결합되어 나타나는 운동인거에요.

[궤도각운동량]

먼저 궤도각운동량을 구해볼 텐데요.

[그림 2]는 막대의 전체 질량 m이 질량중심점 cm에 모여있고, 그 점입자가 반지름이 r_{cm}=d/2인 원경로를 따라 접선속력 v_{cm}으로 공전하는 모습이에요.

이때 주의해야 할 것은 점입자는 공전만 하고 있고 자전하지 않는다고 생각해야 해요. 왜냐면 공전에 의한 궤도각운동량 만을 구하고 있기 때문이에요.

그러면 (3)식의 첫번째 항을 이용해 궤도각운동량 \vec L_{orbital}을 구해보겠습니다.

\tag{7}
\begin{align}
\vec L_{orbital} &= \vec r_{cm} \times m \vec v_{cm}\\
&=r_{cm} \hat r_{cm} \times m v_{cm}\hat v_{cm} \\
&=r_{cm} \hat r_{cm} \times m (r_{cm} \omega)\hat v_{cm} \\
&=\Big({d \over 2}\Big)\hat r_{cm} \times m\Big({d \over 2}\Big)\omega \hat v_{cm}\\
&={1 \over 4} m \omega d^2  (\hat r_{cm} \times \hat v_{cm})\\
&={1 \over 4} m \omega d^2 \hat k
\end{align}

여기서 단위벡터 사이의 외적 \hat r_{cm} \times \hat v_{cm} = \hat k로 정하였습니다.

그 결과 궤도각운동량의 크기는 L_{orbital} = {1 \over 4} m \omega d^2으로 주어짐을 알 수 있어요.

[스핀각운동량]

이번에는 스핀각운동량을 구해보겠습니다. 아래 [그림 3]은 질량중심인 cm 점을 기준으로 막대가 제자리에서 자전하는 모습을 나타냅니다.

다시 한번 더 말씀드리지만 [그림 2]와 [그림 3] 운동의 조합이 [그림 1]이 되는거에요.

그런데 [그림 2]에 대해서는 많은 사람들이 이해하는데 [그림 3]과 같이 정말 막대가 제자리에서 자전하는 운동이 [그림 1]에 포함되어 있느냐를 궁금해 하는 경우가 많아요.

그런데 자전한 것이 맞아요. 만일 막대가 질량중심점을 기준으로 자전하지 않으면서 공전만했다면 그 물체의 운동 궤적은 아래 [그림 4]와 같이 됩니다.

[그림 1]과는 분명히 다른 운동임을 알 수 있어요. [그림 4]와 같이 운동하는 경우 궤도각운동량은 식(7)로 주어지지만 물체가 질량중심점을 기준으로 자전하지 않기 때문에 스핀각운동량은 0이 됩니다.

이제부터 [그림 3]에 대한 스핀각운동량 \vec L_{spin}을 구해볼 텐데요. (6)식에서 스핀각운동량 부분만을 따로 쓰면 아래와 같습니다.

\tag{8}
\vec L_{spin} = \sum(\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i})

한편 어떤 물체가 자전한다고 함은 그 물체를 구성하는 수많은 점입자들이 회전축을 중심으로 동일한 각속도를 갖고 공전하는 것으로 이해할 수 있어요.

그러므로 (8)식은 질량중심점을 기준으로 \bar r_i만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m_i인 입자가 접선속도 \bar v_i로 공전할 때 갖는 각운동량을 모든 입자에 대해 합하면 자전에 의한 스핀각운동량이 된다는 의미입니다.

또한 입자들이 연속적으로 분포한 막대를 다루고 있으므로 (8)식에 있는 \sum은 적분으로 바뀌어야 합니다.

그래서 질량중심 축으로부터 거리 \bar r만큼 떨어진 곳에 아주 작은 질량요소 {\rm d}m이 접선속도 \bar v로 공전할 때, 그 질량요소 하나가 갖는 미소 각운동량 {\rm d}\vec L은 다음 (9)식과 같이 주어집니다.

\tag{9}
\begin{align}
{\rm d} \vec L &= r^2 \omega \lambda {\rm d}r \hat k 

\end{align}

(4)식을 동일하게 활용한 것 뿐입니다.

그리고 자전하는 막대의 회전 반지름이 r=0에서 d/2까지 변하는데, 그것이 2개가 있으므로 스핀각운동량 \vec L_{spin}은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

\tag{10}
\begin{align}
\vec L_{spin} &= 2 \int_0^{d/2} {\rm d} \vec L\\
&=2 \int_0^{d/2} r^2 \omega \lambda {\rm d} r \hat k\\
&=2 \omega \lambda \int_0^{d/2} r^2 {\rm d}r \hat k\\
&=2 \omega \lambda \Big[{r^3 \over 3}\Big]_0^{d/2} \hat k\\
&={1 \over 12}d^3 \omega \lambda \hat k\\
&={1 \over 12}(d \lambda) \omega d^2 \hat k\\
&={1 \over 12} m\omega d^2 \hat k
\end{align}

그 결과 스핀각운동량의 크기는 L_{spin} = {1 \over 12} m \omega d^2으로 주어짐을 알 수 있어요.

[총 각운동량]

지금까지 회전하는 막대의 궤도각운동량과 스핀각운동량을 각각 구했으니 총 각운동량을 구해보겠습니다.

(7)식의 궤도각운동량과 (10)식의 스핀각운동량을 합하면 됩니다.

\tag{11}
\begin{align}
\vec L &= \vec L_{orbital} + \vec L_{spin}\\
&={1 \over 4} m \omega d^2 \hat k + {1 \over 12} m \omega d^2 \hat k\\
&={1 \over 3} m \omega d^2 \hat k
\end{align}

그 결과 총 각운동량의 크기가 {1 \over 3} m \omega d^2이 나왔는데요. 이 값은 (5)식의 기본정의식으로 구한 총 각운동량의 크기와 동일하다는 것을 알 수 있어요.

따라서 총 각운동량은 궤도각운동량과 스핀각운동량의 합으로 주어지는 것이 맞습니다.

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