탄성 퍼텐셜 에너지 (elastic potential energy)

Last Updated on 2025-05-05 by BallPen

탄성 퍼텐셜 에너지 또는 탄성 위치 에너지라고 불리는 개념을 알아 봐요.

탄성 퍼텐셜 에너지(elastic potential energy)는 탄성 위치 에너지라고도 불리는데요. 이 에너지는 위치에 의존하는 잠재적 에너지로서 운동에너지 등으로 변환될 수 있어요.

만일 용수철이 평형위치로부터 \(x\)만큼 늘어나거나 압축되었을 때 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 주어집니다.

\begin{align}
\tag{D1}
E_p = {1 \over 2} kx^2
\end{align}

위 식에서 \(k\)는 용수철상수를 뜻해요. 역학적 에너지 보존 법칙에 따르면 (D1)식으로 주어진 탄성 퍼텐셜 에너지는 운동에너지로 변화될 수 있고, 운동에너지는 다시 퍼텐셜 에너지로 바뀔 수 있어요.

물론 퍼텐셜 에너지와 운동에너지가 동시에 존재할 수 도 있습니다.

이번 글에서는 탄성 퍼텐셜 에너지에 대해 알아 보겠습니다.

1. 위치에 따라 변하는 힘 : 탄성력

아래 [그림 1]과 같이 용수철이 평형상태, 즉 아무런 힘이 작용하지 않을 때의 자연길이 0으로부터 \(x\)만큼 늘어나거나 또는 압축되면 평형위치를 향하는 탄성력(복원력)이 나타납니다.

탄성력 공식은 다음과 같이 주어지는데요. 이 공식을 훅의 법칙이라고 불러요.

\begin{align}
\tag{1}
\vec F = – k \vec x
\end{align}

이 식에서 \(k\)는 용수철상수이고, 음의 부호는 변위 \(\vec x\)의 반대방향으로 탄성력 \(\vec F\)가 작용함을 뜻합니다.

탄성력은 변하는 힘의 가장 대표적인 예에요.

[그림 1]처럼 탄성력 \(F\)는 용수철의 늘어난 위치 \(x\)에 의존하여 그 크기가 결정되요. 즉 용수철이 조금 늘어나면 탄성력이 작고, 많이 늘어나면 탄성력이 커져요.

반면에 자유낙하 하는 물체에 작용하는 중력은 항상 일정해요. 그래서 중력은 힘이 일정한 경우에 대한 예가 될 수 있어요.

다시 한번 더 말씀드리면 탄성력은 위치에 따라 힘의 크기가 변하는 힘이라는 것을 꼭 기억하세요.

2. 탄성 퍼텐셜 에너지

자연길이의 용수철을 \(x\)만큼 늘리거나 압축하면 \(F=-kx\)의 탄성력이 작용한다고 말씀드렸어요. 따라서 용수철을 늘리거나 압축하기 위해서는 탄성력을 거슬러 일(work)을 해주어야 해요.

그리고 해준 일은 용수철에 저장되고 이 저장된 에너지를 탄성 퍼텐셜 에너지라고 불러요.

이제부터는 용수철 길이를 다양하게 변위시킬 때 해준 일의 크기인 탄성 퍼텐셜 에너지를 구해 봐요.

2-1. 평형 위치로부터 늘리거나 압축시키는 경우

용수철의 자연길이인 \(x_1 = 0\)부터 \(x_2\)까지 늘리거나 압축하기 위해서는 탄성력을 거슬러 일을 해주어야 합니다.

그러므로 가해주어야 하는 힘 \(F\)는 (1)식처럼 음수가 아닌 양수가 되어야 해요. 또한 \(x\)에 의존하여 힘의 크기가 변하므로 해준 일은 다음과 같이 적분으로 구해야 합니다.

\begin{align}
\tag{2}
W &= \int_{x_1}^{x_2} \vec F \cdot \vec dx\\
&=\int_{0}^{x_2} (kx) \cdot dx\\
&= \Big[{1 \over 2} kx^2 \Big]_0^{x_2}\\
&={1 \over 2} k{x_2}^2
\end{align}

따라서 평형점으로부터 변위가 \(x\)인 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지를 일반적인 형태로 표기하면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{3}
E_p = {1 \over 2} kx^2
\end{align}

예를 들어 용수철 상수가 \(k=100 ~\rm N/m\)라 할 때 용수철을 늘려 \(x_2 = 2 ~\rm m\) 또는 압축시켜 \(x_2= -2 ~\rm m\)로 변형시켰다고 가정하면 \(E_p\)는 모두 200 J이 됩니다.

\begin{align}
\tag{4}
E_p &= {1 \over 2} (100~\rm N/m)(\pm 2~\rm m)^2\\
& = 200~\rm J
\end{align}

이것은 평형위치로부터 용수철을 압축하거나 늘리기 위해서는 양의 일을 해주어야 하며, 그 결과 200 J의 에너지가 탄성 퍼텐셜 에너지로 용수철에 저장됨을 뜻합니다.

2-2. 늘어나거나 압축된 상태에서 평형위치로 복원되는 경우

예를 들어 압축된 용수철을 \(x_1 = -2~\rm m\)에서 손으로 잡고 있다가 놓으면 \(x_2=0~\rm m\)지점을 지나가게 됩니다. 이때 용수철에 해준 일의 크기는 (2)식을 조금만 바꾸면 구할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{5}
W &= \int_{x_1}^{x_2} \vec F \cdot \vec dx\\
&=\int_{x_1}^{x_2} (kx) \cdot dx\\
&= \Big[{1 \over 2} kx^2 \Big]_{x_1}^{x_2}\\
&={1 \over 2} k{x_2}^2 – {1 \over 2}k{x_1}^2\\
\end{align}

위 식의 \(x_1\)과 \(x_2\)에 초기 조건을 대입하여 정리하면 다음과 같아요. 이번에도 용수철 상수는 \(k=100 ~\rm N/m\)로 가정하겠습니다.

\begin{align}
\tag{6}
W &= {1 \over 2} k{x_2}^2 – {1 \over 2}k{x_1}^2\\
&= {1 \over 2} (100~\rm N/m)( 0~\rm m)^2 – {1 \over 2} (100~\rm N/m)( -2 ~\rm m)^2\\
&=-200~\rm J
\end{align}

그 결과 -200 J이 나오는데요. 음의 부호는 용수철이 늘어나거나 압축된 상태에서 평형상태로 복원하기 위해서는 200 J 만큼의 탄성 위치에너지가 저장되는 것이 아니라 소모된다는 것을 뜻해요.

물론 이 소모된 에너지는 통상 운동에너지로 전환됩니다.

2-3. 용수철의 압축거리와 늘어난 거리가 같을 때

만일 용수철이 \(x_1 = -x\)로 압축된 상태에서 \(x_2=+x\)까지 늘어날 때 해준 일의 크기를 구해보도록 해요.

예를 들어 \(x_1 = -2~\rm m\)만큼 압축된 상태에서 \(x_2=+2~\rm m\)까지 늘어날 때를 계산해보도록 할께요.

그러면 아래와 같습니다.

\begin{align}
\tag{7}
W &= {1 \over 2} k{x_2}^2 – {1 \over 2}k{x_1}^2\\
&= {1 \over 2} (100~\rm N/m)( -2~\rm m)^2 – {1 \over 2} (100~\rm N/m)( +2~\rm m)^2\\
&=0~\rm J
\end{align}

결과를 보시면 0 J 이 나와요. 신기해요. 분명히 용수철의 길이가 연속적으로 변했으므로 해준 일이 있을 것 같은데 0 J 이 나온거죠.

0 J이 나온 이유는 압축된 용수철에 저장되었던 탄성 퍼텐셜 에너지가 동일한 변위만큼 늘어날 때 운동에너지로 변환 후 다시 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환되어 저장되기 때문이에요.

따라서 용수철을 압축한 상태에서 손으로 잡고 있다가 놓으면 용수철은 동일한 변위 크기 만큼 스스로 늘어나게 됩니다. 물론 늘어난 용수철은 다시 스스로 압축되고 이 과정이 반복적으로 일어나게 돼요.

외부에서 아무런 일을 해주지 않아도 용수철은 자동적으로 늘어나고 압축되는 진동현상이 나타나요.

3. 탄성 퍼텐셜 에너지 관련 동영상 소개

용수철, 고무줄, 활과 같은 탄성체에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지는 물체의 운동에너지로 변환될 수 있어요.

예를 들어 고무줄을 원래 위치보다 \(x\)만큼 늘린 후 물체를 장전하고 발사하면 물체는속도 \(v\)를 갖고 운동하게 됩니다.

즉 고무줄에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지가 물체의 운동에너지로 변환되는 거에요. 이를 식으로 쓰면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{8}
{1 \over 2} kx^2 = {1 \over 2} mv^2
\end{align}

아래 동영상은 고무줄로 구슬을 발사하는 장면을 보여주고 있어요. 고무줄에 저장된 탄성 위치에너지의 존재를 느껴 보시기 바랍니다.