극좌표계 (polar coordinate system)

Last Updated on 2023-02-18 by BallPen

극좌표계란 무엇이고 극좌표계에서 입자의 위치, 속도, 가속도 등이 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

극좌표계(polar coordinate system)란 직교좌표계의 한 종류입니다.

극좌표계를 이용하면 평면 2차원상에 있는 어떤 입자의 위치, 속도, 가속도 등을 표현할 수 있어요. 지난 글에서 소개해드린 직각좌표계와 서로 비교하며 읽어보시면 재미있어요.

그럼 이제 시작하겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 극좌표계 정의

극좌표계는 평면상에서 어느 한 점을 중심으로 회전하는 물체의 운동을 설명하기 위해 주로 사용됩니다.

그래서 극좌표계를 때로는 평면극좌표계로 부르기도 하죠.

극좌표계가 사용되는 대표적 예는 태양계가 될 수 있습니다. 태양계는 태양을 중심으로 수성부터 해왕성까지 총 8개의 행성이 공전하고 있어요.

그런데 이 행성들의 공전 궤도가 거의 원에 가까운 타원이며 평면상에서 운동을 하고 있죠. 그래서 행성의 운동을 설명할 때 극좌표계를 사용하면 편리합니다.

극좌표계는 평면위에 있는 어느 기준점으로부터 물체가 있는 곳까지의 거리와 각도를 이용하는 좌표계입니다.

아래 [그림 2]는 극좌표계를 사용하여 위치를 표현하는 방법의 예시입니다.

기준점인 중심 O가 있으며 중심으로부터 입자가 있는 위치까지의 거리를 r, 기준축으로부터 입자가 있는 곳까지의 각도를 \phi로 보시면 됩니다.

즉 극좌표계에서 입자의 위치는 (r, \phi)를 사용합니다. 직각 좌표계에서 입자의 위치를 (x,y,z)로 표현하는 것과 차이가 있죠.

[그림 2]에서 (3, 60^{\circ})는 원점으로부터 r=3~\mathrm{m}만큼 떨어져 있고 각도는 \phi=60^{\circ}인 곳에 빨간색 입자가 있다는 의미입니다.

동일한 방식으로 (4, 210^{\circ})는 원점으로부터 r=4~\mathrm{m}만큼 떨어져 있고 각도는 \phi=210^{\circ}인 곳에 입자가 있다는 의미입니다.

이러한 방식을 사용하면 2차원 평면상의 어느 곳이든 (r, \phi)의 좌표로 정의할 수 있게 됩니다.

2. 극좌표계에서의 위치, 속도, 가속도

이번에는 극좌표계를 활용한 입자의 위치, 속도, 가속도 표현법을 알아보겠습니다. 속도와 가속도를 알아야 하는 이유는 2차원 평면상에서 입자가 움직여가는 경우 그것의 위치, 속도와 가속도를 극좌표계로 표현해야 하기 때문이에요.

2-1. 위치

극좌표계에서 입자의 위치는 위에서 설명한 것처럼 (r, \phi)의 좌표로 표현해도 됩니다. 그러나 속도와 가속도를 정의하기 위해서는 좌표표현법 보다는 위치벡터를 사용하는 것이 편리합니다.

편의상 이제부터 각도는 \phi대신 \theta로 기호를 바꾸도록 하겠습니다.

[그림 3]과 같이 어떠한 임의 위치에 빨간색 입자가 있다고 생각해봐요. 극좌표계에서 원점으로부터 이 입자가 있는 곳까지의 위치벡터는 다음과 같이 표기합니다.

\tag{1}
\vec r = r \hat{e_r}

이것이 뜻하는 것은 단위벡터가 \hat{e_r}이고, 크기가 r인 곳에 입자가 있다는 의미입니다.

그런데 위에서 입자의 위치는 거리와 각도로 나타낸다고 했는데요. 위치벡터인 (1)식을 보면 거리만 있고 각도 정보가 없는 것처럼 보입니다. 이것 때문에 너무 고민하지 마시구요. 각도 정보는 단위벡터 \hat{e_r}속에 들어가 있는 것으로 이해하시면 좋습니다.

많이 낮설게 보이지만 극좌표계에서 입자의 위치벡터는 (1)식과 같이 표현하고요. 이때 \hat{e_r}은 ‘지름방향 단위벡터’라고 해서 크기는 1이고 방향은 중심으로부터 멀어지는 쪽을 향합니다.

[그림 3]을 보면 파랑색 단위벡터 \hat{e_r}과 함께 이와 수직한 방향으로 \hat{e_\theta}도 볼 수 있습니다. 이것도 단위벡터입니다. 이것은 ‘접선방향 단위벡터’라고 부르며 크기는 1이고 지름방향 단위벡터와 수직한 관계를 갖습니다.

지름방향 단위벡터 \hat{e_r}과 접선방향 단위벡터 \hat{e_\theta}를 직각좌표계로 표현하면 아래와 같습니다.

\tag{2}
\hat{e_r} = \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y

\tag{3}
\hat{e_\theta} = -\sin\theta \hat x + \cos \theta \hat y

(2)식과 (3)식은 [그림 2]에서 파랑색 단위벡터를 x성분과 y성분으로 분해한 빨강색과 자홍색 벡터성분들의 벡터 합을 해보면 이해할 수 있을거에요.

다음은 속도에 대해 알아봐요.

2-2. 속도

입자의 위치가 시간에 따라 달라져 위치벡터도 달라진다면 속도를 정의할 수 있습니다. 그렇다면 극좌표계에서는 속도를 어떻게 나타낼까요?

방법은 간단합니다. 직각좌표계에서 했던것처럼 (1)식의 위치벡터를 시간으로 미분하면 됩니다.

그런데 여기서 잠시 (2)와 (3)식 단위벡터의 미분을 구해보고 가는게 좋을 것 같아요. 왜냐면 속도벡터를 구하는 과정에서 단위벡터 미분이 나오는데요. 그것의 결과값을 미리 구해 놓는게 좋을 것 같아요.

[단위벡터의 미분]

우선 (2)식에 주어진 지름방향 단위벡터를 시간으로 미분해보겠습니다.

\tag{4}
\begin{align}
{{d \hat{e_r}}\over{dt}} &= {d \over dt}\big( \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y\big)\\
&={{d \cos \theta}\over{dt}}\hat x + \cos \theta {{d\hat x}\over {dt}} + {{d \sin \theta}\over{dt}} \hat y + \sin \theta {{d \hat y}\over{dt}}\\
&=-\sin \theta {{d \theta}\over{dt}}\hat x + \cos \theta  \cdot0 + \cos \theta {{d \theta}\over{dt}} \hat y + \sin \theta \cdot 0\\
&=\big(-\sin \theta \hat x + \cos \theta \hat y \big) {{d \theta}\over{dt}}\\
&= \hat{e_{\theta}} {{d\theta}\over{dt}}\\
&=\dot \theta \hat{e_{\theta}}
\end{align}

(4)식에서 d\hat{x}/dt와 d\hat{y}/dt가 0이 되는 이유는 단위벡터 \hat x와 \hat y는 크기가 1이고 방향이 x와 y축 쪽으로 고정되어 시간에 따라 변하지 않기 때문입니다.

아울러 네번째 줄에서 - \sin \theta \hat x + \cos \theta \hat y는 (3)식의 접선방향 단위벡터와 같으므로 \hat{e_\theta}로 바꾸었습니다.

또한 {{d\theta}\over{dt}}는 순간각속도로서 \dot {\theta}으로 치환하였습니다.

이번에는 접선방향 단위벡터를 미분하겠습니다.

\tag{5}
\begin{align}
{{d\hat {e_\theta}}\over{dt}} &= {d \over dt} \big(-\sin \theta \hat x + \cos \theta \hat y \big)\\
&=- {{d \sin \theta}\over{dt}} \hat x -\sin \theta {{d \hat x}\over{dt}} + {{d \cos \theta}\over{dt}} \hat y + \cos \theta {{d\hat y}\over{dt}}\\
&=- \cos \theta {{d\theta}\over{dt}} \hat x - \sin \theta \cdot 0 -\sin \theta {{d \theta}\over{dt}} \hat y + \cos \theta \cdot 0\\
&=-\big( \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y\big) {{d \theta}\over{dt}}\\
&=-\hat{e_r} {{d\theta}\over{dt}}\\
&=\dot \theta (-\hat{e_r})
\end{align}

(5)식의 네번째 줄에서 \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y는 (2)식의 지름방향 단위벡터와 같으므로 \hat{e_r}로 치환했습니다.

[극좌표계 속도벡터]

지금까지 지름방향 단위벡터와 접선방향 단위벡터의 미분에 대해 알아봤구요. 이제는 속도벡터를 구해보겠습니다.

위에서 설명드렸듯이 속도벡터는 (1)식의 위치벡터를 시간으로 미분하면 됩니다.

\tag{6}
\begin{align}
\vec v &= {{d \vec r}\over{dt}} \\
&= {d \over dt} (r \hat{e_r})\\
&={dr \over dt} \hat{e_r} + r \color {blue}{{d\hat{e_r}}\over{dt}}\\
&=\dot r \hat{e_r} + r \color{blue} (\dot \theta \hat{e_\theta})\\
&=\dot r \hat{e_r} + r \dot \theta \hat{e_\theta}
\end{align}

여기서도 변수가 시간으로 미분된 경우 해당 변수위에 점으로 표기하였음을 참고하기 바랍니다. 그러므로 \dot r은 변위 r을 시간 t로 미분한 dr/dt을 뜻하면, 이것은 결국 속도를 의미합니다.

같은 방식으로 \dot \theta은 각속도 d \theta / dt를 의미합니다.

그리고 식에서 파랑색으로 표기한 것은 지름방향 단위벡터의 미분입니다. 그래서 (4)식에 도출된 결과를 대입하였습니다.

(6)식의 마지막 줄과 같이 극좌표계에서의 속도벡터 \vec v는 지름방향의 속도벡터 \dot r \hat{e_r}과 접선방향의 속도벡터 r \dot \theta \hat{e_\theta}이 합해진 형태로 주어집니다.

만일 어떤 물체가 회전하지 않고 지름방향으로만 움직인다면 첫번째 항만 존재하며 그때 속도의 크기는 \dot r가 됩니다.

반대로 입자가 지름방향으로는 움직이지 않고 일정한 각속도 \dot \theta으로 회전하는 원운동을 생각한다면 \dot r은 0이되고 접선방향으로 r \dot \theta만 존재합니다.

이때 v=r \dot \theta을 우리는 접선속도라고 부릅니다. 각속도를 \omega로 표기한다면 통상 v=r \omega로 많이 표기하고 있죠.

2-3. 가속도

극좌표계에서 가속도 벡터는 (6)식의 속도벡터를 시간으로 미분하여 구할 수 있습니다. 같이 해보시죠.

\tag{7}
\begin{align}
\vec a &= {{d \vec v}\over{dt}}\\
&= {d \over dt}(\dot r \hat{e_r} + r \dot \theta \hat{e_\theta})\\
&=\ddot r \hat{e_r} + \dot r {\color{blue}{d \over dt} \hat{e_r}} + \dot r \dot \theta \hat{e_\theta} + r \ddot \theta \hat {e_\theta} + r \dot \theta \color{red}{{d \over dt} \hat{e_\theta}\\}\\
&=\ddot r \hat{e_r} + \dot r {\color{blue}{\dot \theta \hat{e_\theta}}} + \dot r \dot \theta \hat{e_\theta} + r \ddot \theta \hat {e_\theta} + r \dot \theta \color{red}{(- \dot \theta \hat{e_r})}\\
&=(\ddot r - r \dot \theta ^2)\hat{e_r} + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta)\hat{e_\theta}
\end{align}

(7)식과 같이 가속도 벡터 \vec a도 지름방향 가속도 성분과 접선방향 가속도 성분의 합으로 주어집니다.

만일 어떤 입자가 회전하지 않고 지름방향으로만 가속된다면 \ddot r만 남게됩니다.

반대로 입자가 지름방향으로는 움직이지 않고 일정한 각속도 \dot \theta으로 회전하는 원운동을 생각한다면 \ddot r은 0이 됩니다. 그리고 지름방향으로는 -r \dot \theta^2이 존재하는데 이것은 구심가속도를 의미합니다. 음수이므로 지름방향의 반대인 중심방향을 향합니다.

또한 접선방향으로 r \ddot \theta 은 접선가속도를 의미합니다. 각가속도를 \alpha로 표기한다면 통상 a=r \alpha로 많이 표기하죠.

마지막으로 2 \dot{r} \dot \theta 은 코리올리 가속도라고 부릅니다. 이 가속도 성분에 대해서는 나중에 기회가 되면 자세히 설명드리도록 하겠습니다.

3. 극좌표계 미소면적요소

극좌표계의 미소면적 요소는 아래 [그림 4]를 보면 이해할 수 있습니다.

그림과 같이 미소각변위 d \theta에 대한 호의 길이는 파랑색 선과 같이 r d \theta로 주어지고, 지름방향의 미소 변위는 빨강색 선과 같이 dr입니다.

결국 극좌표계에서 미소면적 요소 dA는 파랑색 선과 빨강색 선의 곱으로 다음과 같습니다.

\tag{8}
dA = r d \theta \times dr = r dr  d \theta

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