델타 함수(delta function)

Last Updated on 2024-04-28 by BallPen

델타 함수의 정의와 특성을 알아봅니다.

델타 함수(Delta function)는 x=0에서 무한대이고 다른 곳, 즉 x \ne 0곳에서는 0인 함수입니다. 또한 모든 영역에 대해 적분하면 1로 정의되는 특이한 함수죠.

이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{D1}
\begin{align}
\delta (x) = \begin{cases} 0 &\text{if}~~~ x \ne 0 \\ 
\infty & \text{if} ~~~x=0 \end{cases}
\end{align}

\tag{D2}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx= 1

이 함수는 폴 디랙(Paul Dirac)이 양자역학에서 자주 이용하면서 유명해졌다고 하는데요. 그래서 델타 함수를 디랙 델타 함수(Dirac delta function)라고도 많이 불러요.

이번 글에서는 그 델타 함수의 필요성과 성질, 활용 사례를 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 델타 함수의 필요성

이전 글에서 우리는 ‘가우스 법칙(Gauss’s law)‘에 대해 알아봤는데요. 이 법칙은 말그대로 법칙이기 때문에 틀림이 없어요. 그리고 가우스 법칙에 발산정리를 적용하면 다음의 식이 성립합니다.

\tag{1-1}
\int_V (\nabla \cdot \vec E) d\tau = \oint_S \vec E \cdot d \vec a

여기서 \vec E는 전기장이에요. 이 식은 닫힌 표면의 면적이 S일 때 그 면을 통과하는 전기선속(electric flux)은 그 면이 만드는 부피 V에서 전기장의 발산을 부피로 적분한 값과 같다는 거에요.

그러면 정말 (1)식이 성립하는지 한번 볼까요? 아래 [그림 1]을 보세요.

[그림 1]은 중심에 있는 양전하 q에 의한 전기장을 검정색 화살표로 나타내고 있어요.

중심부근에서 화살표가 길고 중심에서 멀어질수록 화살표 길이가 짧아지는데요. 이것은 중심 부근의 전기장이 강하고 중심에서 멀어질수록 전기장이 약해짐을 뜻해요

또한 빨강색 원은 양전하를 둘러싼 가우스 곡면입니다. 이 곡면 안쪽의 부피를 V, 그 곡면의 표면 면적을 S라고 할께요. 또한 곡면의 반지름은 r입니다.

한편 전하 q로부터 거리 r만큼 떨어진 곳의 전기장 \vec E는 다음 (1-2)식과 같이 주어지는데요. 식을 단순화하기 위해 모든 상수들을 1로 간주한다면 전기장 E는 1 \over r^2 로 표현할 수 있어요.

\tag{1-2}
\begin{align}
\vec E &= {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{q \over r^2} \hat r\\[10pt]
&\varpropto {1 \over r^2} \hat r 
\end{align}

물론 (1-2)식에서 분모에 있는 r은 0이 될 수 없습니다. 왜냐면 분모가 0이면 식이 불능(undefined)이 되기 때문이에요

이러한 조건에서 (1-1)식의 좌변인 부피적분과 우변의 면적적분을 각각 구한 후 서로 같은지 비교해 보겠습니다.

1-1. 가우스 법칙의 부피 적분

(1-2)식처럼 \vec E는 r에만 의존하기 때문에 구면좌표계를 적용하면 편리해요.

따라서 구면좌표계의 발산 공식에서 \theta와 \phi로 편미분 되는 모든 항들은 0이 됩니다.

결국 다음 (1-3)식과 같이 전기장의 발산 \nabla \cdot \vec E을 구할 수 있어요.

\tag{1-3}
\begin{align}
\nabla \cdot \vec E &= {1 \over {r^2}} {{\partial}\over{\partial r}}(r^2 E_r) + 0 +0\\[10pt]
&={1 \over {r^2}} {{\partial}\over{\partial r}}(\cancel{r^2} {1 \over{\cancel{r^2}}})\\[10pt]
&=0
\end{align}

그 결과 상수 1을 미분하므로 0이 됩니다. 따라서 (1-1)식 좌변의 부피적분은 다음 (1-4)식처럼 0입니다.

\tag{1-4}
\int_V (\nabla \cdot \vec E)d \tau =\int_V(0)d\tau =0

1-2. 가우스 법칙의 면적 적분

이번에는 (1-1)식 우변의 면적적분을 구해봐요. 이때 d \vec a 는 구면좌표계의 면적요소를 적용하면 됩니다.

\tag{1-5}
\begin{align}
\oint_S \vec E \cdot d \vec a &= \oint_S  \Big({1 \over \cancel{r^2}} \hat r \Big) \cdot (\cancel{r^2} \sin \theta d \theta d \phi \hat r)\\[10pt]
&=\oint_S \sin \theta d \theta d \phi(\hat r \cdot \hat r)\\[10pt]
&=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \sin \theta d\theta d \phi\\[10pt]
&=\int_0^{2\pi} \Big[-\cos \theta\Big]_0^\pi d \phi\\[10pt]
&=\int_o^{2\pi} 2 d \phi\\[10pt]
&=2 \Big[ \phi \Big ]_0^{2\pi}\\[10pt]
&=4 \pi
\end{align}

그 결과 4 \pi가 얻어지는군요.

1-3. 부피 적분과 면적 적분의 비교

그럼 (1-4)식과 (1-5)식의 결과를 비교해 보세요. 가우스 법칙은 법칙이므로 이 두 식의 결과는 반드시 같아야 하는데요. 서로 다르다는 것을 알 수 있어요.

그렇다면 가우스 법칙이 틀렸나요? 그게 아니라면 무엇이 잘 못 되었을까요?

정답은 두 식의 결과는 모두 맞아요. 그럼 왜 결과가 서로 다를까요? 그 이유는 바로 (1-1)식의 부피적분에서 r=0일 때의 조건이 포함되지 않았기 때문이에요.

단지 r \ne 0일 때 전기장의 발산은 (1-3)식처럼 0이 된다는 것을 구했을 뿐이에요. 따라서 가우스 곡면 안쪽의 모든 공간을 적분하기 위해서는 r=0일 때 전기장의 발산도 고려해 주어야 하는 거에요.

그럼 (1-1)식의 면적적분에서는 r=0인 부분이 포함되었느냐고 물을 수 있는데요. 면적적분은 가우스 표면 S인 곳에서의 적분이에요. 즉 r=r인 조건에서의 적분이에요. 그래서 이 경우에는 r=0이 포함되면 안됩니다.

자 이제 원인을 찾았으니 가우스 법칙의 좌변과 우변이 같도록 식을 고쳐주면 될거에요. 이때 필요한 것이 델타 함수입니다.

2. 델타 함수 정의와 그 성질

다음은 델타 함수의 정의와 성질입니다. 일단 가우스 법칙은 잠시만 미뤄두고 델타 함수부터 먼저 알아봐요.

우선 1차원 델타 함수부터 시작해서 3차원 델타 함수를 설명드리겠습니다.

2-1. 1차원 델타 함수

[델타 함수의 정의]

1차원 델타 함수는 x \ne 0에서 0이며, x=0에서 무한대를 갖습니다. 수학적으로는 다음과 같이 표기해요.

\tag{2-1}
\begin{align}
\delta (x) = \begin{cases} 0 &\text{if}~~~ x \ne 0 \\ 
\infty & \text{if} ~~~x=0 \end{cases}
\end{align}

그림으로 나타내면 [그림 2]와 같아요.

또한 델타함수 \delta x를 -\infty에서 \infty까지 적분하면 1이 되는 것으로 정의됩니다. 이것을 식으로 표현하면 아래 (2-2)식과 같습니다.

\tag{2-2}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1

(2-1)과 (2-2)식으로 정의된 델타함수는 몇가지 성질을 갖는데요. 이에 대해 간단히 설명드립니다.

[델타 함수의 성질]

델타 함수 \delta(x)에 어떤 임의의 함수 f(x)를 곱한 것은 \delta(x)에 f(0)를 곱한 것과 같습니다.

\tag{2-3}
f(x)\delta(x) = f(0)\delta(x)

(2-3)식이 성립하는 이유는 델타함수는 x \ne 0일 때 모두 0이고, x =0일때만 값이 존재하기 때문이에요.

또한 (2-3)식의 좌변과 우변을 -\infty에서 \infty까지 적분하면 다음의 성질이 성립해요.

\tag{2-4}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)dx = f(0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = f(0)

여기서 f(0)는 x=0에서의 함수값으로써 상수이므로 적분밖으로 나올 수 있어요. 그리고는 (2-2)식의 정의를 적용한거에요.

이 식은 델타 함수와 어떤 함수의 곱을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 x=0에서의 함수값이 구해진다는 의미입니다.

이번에는 델타 함수의 평행 이동에 관한 성질이에요.

델타 함수 \delta (x)를 a만큼 평행이동하면 \delta(x-a)가 됩니다. 이를 반영하면 다음의 관계가 성립합니다.

\tag{2-5}
\begin{align}
\delta (x-a) = \begin{cases} 0 &\text{if}~~~ x \ne a \\ 
\infty & \text{if} ~~~x=a \end{cases}
\end{align}

\tag{2-6}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) dx = 1

그림으로 나타내면 아래 [그림 3]과 같아요.

저 위에 있는 (2-3), (2-4)식의 성질을 평행이동한 델타함수에 그대로 적용하면 다음의 관계도 성립합니다.

\tag{2-7}
f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)

\tag{2-8}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a)dx = f(a)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) dx = f(a)

델타함수는 우함수입니다. 따라서 다음의 관계도 성립해요.

\tag{2-9}
\delta(x) = \delta(-x)

또한 아래 (2-10)식의 성질도 있어요. 참고하시기 바랍니다.

\tag{2-10}
\delta(ax) = {1\over{|a|}}\delta (x)

2-2. 3차원 델타 함수

[직각좌표계에서의 델타 함수]

직각좌표계에서 3차원 델타 함수는 위치벡터 \vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z을 이용해 다음 (2-11)식처럼 정의됩니다. 3차원 델타 함수는 세 일차원 델타 함수들의 곱입니다.

\tag{2-11}
\begin{align}
\delta^3 (\vec r) = \delta(x) \delta(y) \delta(z)= \begin{cases} 0 &\text{if}~~~ \vec r \ne 0 \\ 
\infty & \text{if} ~~~\vec r=0 \end{cases}
\end{align}

또한 아래의 (2-12)식처럼 원점을 포함하는 부피적분에 대해 1로 정의됩니다. 이때 식에 표기된 all space는 원점을 포함하는 모든 공간을 의미해요.

\tag{2-12}
\int_{all~space} \delta^3 (\vec r) d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(y)\delta(z) dxdydz = 1

또한 1차원 델타함수처럼 다음의 관계도 성립합니다.

\tag{2-13}
\int_{all~ space} f(\vec r)\delta^3 (\vec r) d\tau = f(0)\int_{all~space} \delta^3 (\vec r) d \tau = f(0)

3차원 델타함수를 \vec a만큼 평행 이동한 경우 아래의 식으로 정의됩니다.

\tag{2-14}
\begin{align}
\delta^3 (\vec r - \vec a) =\delta(x-a_x)\delta(y-a_y)\delta(z-a_z)= \begin{cases} 0 &\text{if}~~~ \vec r \ne \vec a \\ 
\infty & \text{if} ~~~\vec r= \vec a \end{cases}
\end{align}

또한 아래의 성질도 갖습니다.

\tag{2-15}
\begin{align}
&\int_{all~space} \delta^3 (\vec r - \vec a) d\tau \\[10pt]
&~~~~~~~~~~~~~~~~~=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a_x)\delta(y-a_y)\delta(z-a_z)dxdydz\\[10pt]
&~~~~~~~~~~~~~~~~~= 1
\end{align}

\tag{2-16}
\int_{all~ space} f(\vec r)\delta^3 (\vec r -\vec a) d\tau = f(\vec a)\int_{all~space} \delta^3 (\vec r - \vec a) d \tau = f(\vec a)

[원통좌표계에서의 델타 함수]

원통좌표계에서의 델타 함수는 어떤 모양을 갖고 있을까요? 이에 대해 알아봐요.

원통좌표계일지라도 델타함수의 기본 정의인 (2-14)식은 동일하게 성립해야 해요. (2-14)식을 아래에 다시 쓰면 다음과 같아요.

\tag{2-17}
\int_{all~space} \delta^3 (\vec r - \vec a) d\tau = 1

여기서 \vec r = r \hat r + \phi \hat \phi + z \hat z이고, \vec a = a_r \hat r + a_\phi \hat \phi + z \hat z입니다.

(2-17)식에 원통좌표계의 미소 부피요소 d \tau를 대입하면 다음과 같아요.

\tag{2-18}
\int_0^{\infty}\int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} \delta(r-a_r) \delta(\phi - a_\phi) \delta(z - a_z) {\color{red} r} drd\phi dz = 1

이때 (2-18)식을 직각좌표계의 (2-12)식과 유사하게 표현한다고 생각해봐요.

그렇게 하려고 보았더니 (2-18)식에 빨강색 글씨로 표기한 인자 r이 있어서 유사하게 표현하기가 어려워요. 그래서 인자 r이 약분되도록 원통좌표계의 델타 함수를 아래의 (2-19)식처럼 정의합니다.

\tag{2-19}
\delta^3(\vec r - \vec a) = {1\over r}{\delta(r-a_r) \delta(\phi - a_\phi) \delta(z - a_z)}

[구면좌표계에서의 델타 함수]

구면좌표계에서의 델타함수는 원통좌표계에서의 델타함수를 구하는 방법과 동일하게 전개하면 됩니다.

정의에 따라 구면좌표계에서도 모든 공간에 대해 델타 함수를 부피 적분하면 1이 되어야 하죠.

\tag{2-20}
\int_{all~space} \delta^3 (\vec r - \vec a) d\tau = 1

여기서 \vec r = r \hat r + \theta \hat \theta + \phi \hat \phi이고, \vec a = a_r \hat r + a_\theta \hat \theta + a_\phi \hat \phi입니다.

(2-20)식에 구면좌표계의 미소 부피요소 d \tau를 대입하면 다음과 같아요.

\tag{2-21}
\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \int_0^{\infty} \delta(r-a_r) \delta(\theta - a_\theta) \delta(\phi - a_\phi) {\color{red} r^2 \sin \theta} dr d \theta  d\phi = 1

이때 (2-21)식을 직각좌표계의 (2-12)식과 유사하게 표현한다고 생각해봐요.

그렇게 하려고 보았더니 (2-21)식에 빨강색 글씨로 표기한 인자 r^2 \sin \theta가 있어 유사하게 표현하기가 어려워요. 그래서 인자 r^2 \sin \theta가 약분되도록 구면좌표계의 델타 함수를 아래의 (2-22)식처럼 정의합니다.

\tag{2-22}
\delta^3(\vec r - \vec a) = {1\over {r^2 \sin \theta}}{\delta(r-a_r) \delta(\theta - a_\theta) \delta(\phi - a_\phi)}

3. 델타 함수 적용 사례

3-1. 가우스 법칙의 부피 적분

지금까지 우리는 델타 함수의 정의와 성질을 알아보았어요. 이제는 델타 함수를 이용해 (1-4)식에서 가우스법칙의 부피적분이 0이 아닌 4 \pi가 되도록 해봐요.

다시 한번 더 말씀드리면 (1-4)식은 r \ne 0일 때 전기장의 발산에 대한 부피 적분이므로 0이 도출되었을 뿐이에요. 그래서 틀린 것은 아닙니다.

확실한 것은 r=0일 때의 조건을 포함하면 4\pi가 얻어져야 한다는 거에요.

이를 위해 (1-3)식에서 풀었던 \nabla \cdot \vec E를 다음과 같이 델타 함수를 이용해 표기해 봐요.

\tag{3-1}
\begin{align}
\nabla \cdot \vec E &= \nabla \cdot \Big({{\hat r}\over{r^2}}\Big)\\[10pt]
&=4 \pi \delta^3 (\vec r)
\end{align}

이렇게 함으로써 \vec r = 0인 곳에서 전기장의 발산은 무한대이고, \vec r \ne 0인 곳에서는 전기장의 발산은 0이 됩니다.

그러면 가우스 법칙에서 부피 적분은 다음과 같이 계산됩니다.

\tag{3-2} 
\begin{align}
\int_V  (\nabla \cdot \vec E) d \tau &= \int_V 4\pi \delta^3 (\vec r) d\tau\\[10pt]
&=4\pi \int_V \delta^3 (\vec r) d\tau\\[10pt]
&=4\pi
\end{align}

결국 델타 함수를 도입함으로써 가우스 법칙의 부피 적분은 면적 적분과 동일한 결과를 얻게 됩니다.

3-2. 점전하의 전하밀도

점전하는 특정한 어느 한 점에서 정의되는 개념입니다. 그래서 단위부피당 전하량으로 정의되는 전하밀도는 점전하의 부피가 아주 작은 것으로 간주되므로 점전하가 있는 곳의 전하밀도는 무한대로 생각할 수 있어요. 바꾸어 말하면 점전하가 없는 곳의 전하밀도는 0인 거에요.

따라서 점전하의 전하밀도는 델타 함수로 표현될 수 있습니다.

예를 들어 점전하의 전하밀도를 전체 공간에 대해 적분하면 전하량 q가 얻어지는데요. 이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{3-3}
\begin{align}
\int_{all ~space} \rho(\vec r) d\tau = q
\end{align}

이때 (3-3)식이 성립하기 위한 전하밀도 \rho는 다음 (3-4)식과 같이 델타 함수를 이용하여 정의할 수 있어요.

\tag{3-4}
\rho(\vec r) = q \delta^3 (\vec r)

따라서 점전하가 있는 \vec r = 0인 곳에서 전하밀도는 무한대이고, 점전하가 없는 \vec r \ne 0곳에서의 전하밀도는 0이 됩니다.

그러면 (3-3)식의 좌변에 (3-4)식을 대입하면 q가 도출되는지 계산해봐요.

\tag{3-5}
\begin{align}
\int_{all~space} \rho(\vec r) d \tau &= \int_{all~space} q \delta^3 (\vec r) d \tau\\[10pt]
&=q \int_{all~space} \delta^3 (\vec r) d \tau\\[10pt]
&=q
\end{align}

그 결과 q가 도출되었어요.

3-3. 1/r의 라플라시안(laplacian)

물리학의 다양한 분야 중 특히 전자기학에서 {1 \over r}의 gradient를 구하는 식이 간혹 나오는데요.

이를 계산하기 위해서는 구면좌표계에서 스칼라함수의 기울기 공식을 적용하면 됩니다. 이때 1 \over r은 r에만 의존하므로 기울기 공식에서 \theta와 \phi로 편미분되는 항은 모두 0이 됩니다.

결국 다음과 같이 계산됩니다.

\tag{3-6}
\nabla \Big( {1 \over r}\Big) = {{\partial}\over{\partial r}}\Big( {1 \over r}\Big) \hat r = -{{\hat r}\over{r^2}}

그런데 (3-6)식의 가장 우변을 보면 그 형태가 (1-2)식에서 전기장을 단순하게 표현했던 {{\hat r}\over{r^2}}과 같아요.

따라서 (3-6)식에 발산을 취하면 (3-1)식과 같이 델타 함수가 될거에요. 물론 부호는 음수입니다. 이를 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{3-7}
\begin{align}
\nabla \cdot \nabla\Big({1 \over r}\Big) = { \color{blue}\nabla^2 \Big({1 \over r} \Big)} = \nabla \cdot \Big(-{{\hat r}\over{r^2}}\Big) = - 4 \pi \delta^3 (\vec r)
\end{align}

여기서 파랑색 글씨에 있는 \nabla^2은 기울기의 발산으로 라플라시안이라고 불러요. 중요한 것은 1/r의 라플라시안은 -4 \pi \delta^3 (\vec r)으로 델타 함수가 등장하게 된다는 거에요.

\tag{3-8}
\nabla^2 \Big( {1 \over r}\Big) = -4 \pi \delta^3 (\vec r)

(3-8)식의 관계를 기억해두면 전자기학 공부할 때 편리하게 사용할 수 있어요.

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