Last Updated on 2024-11-23 by BallPen
전위란 무엇이고 전위차와 어떻게 다른지 구분해봐요.
전위(voltage, electric potential)는 전압이라고도 불리는데요. 전기장 내의 한 점에서 전하 q q q P E q {PE \over q} q PE
따라서 전위 V V V
그리고 두 전위의 차이를 전위차(electric potential difference, 또는 전압차)라고 불러요. 전위차 V a b V_{ab} V ab P E a q − P E b q {{PE_a}\over{q}}-{{PE_b}\over{q}} q P E a − q P E b W q {{W}\over{q}} q W
W q = P E a q − P E b q V a b = V a − V b \begin{align*}
& {W \over q} = {PE_a \over q} - {PE_b \over q}\\[15pt]
&V_{ab} = V_a - V_b
\end{align*} q W = q P E a − q P E b V ab = V a − V b 이에 대해 더 구체적으로 알아봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.
이 글에서 사용된 그림파일이 필요한 분은 아래 링크에서 다운받으세요. 맥의 키노트 로 작성되었습니다.
맥 키노트 파일 : Voltage.key
1. 균일한 전기장에서의 전위 아래 [그림 1]은 양전하와 음전하로 대전된 두 평행판 사이에 균일한 전기장 E ⃗ \vec E E
그리고 전하량 q q q a a a F ⃗ \vec F F d d d b b b
[그림 1] 균일한 전기장 내에서 a a a
마치 높은 곳에서 물체를 정지상태로 놓으면 가속되며 떨어지는 상황과 동일합니다. 이때 물체가 떨어지면서 감소한 위치에너지의 크기는 중력을 거슬러 물체를 높은 곳까지 이동시키는데 한 일의 크기와 같습니다.
이 원리를 [그림 1]에 그대로 적용해봐요.
그러면 a a a P E a PE_a P E a b b b P E b PE_b P E b q q q b b b a a a d d d W W W
물론 W = F d = q E d W=Fd=qEd W = F d = qE d
이를 식으로 정리하면 다음과 같습니다.
P E a − P E b = W = F d = q E d (1-1) \tag{1-1}
\begin{align}
PE_a - PE_b = W=Fd = qEd
\end{align} P E a − P E b = W = F d = qE d ( 1-1 ) 그런데 윗 식을 보면 전하를 옮기는데 한 일 W W W q q q q q q W W W
따라서 단위전하당 일로 규격화하기 위해서는 (1-1)식의 양변을 q q q
P E a q − P E b q = E d (1-2) \tag{1-2}
{{PE_a} \over q} - {{PE_b}\over q} = Ed q P E a − q P E b = E d ( 1-2 ) 1-1. 전위와 전위차 이제 P E a q {{PE_a}\over{q}} q P E a a a a V a V_a V a P E b q {{PE_b}\over{q}} q P E b b b b V b V_b V b
V a − V b = E d (1-3) \tag{1-3}
V_a - V_b =Ed V a − V b = E d ( 1-3 ) 그런데 여기서 하나만 더 깊이 생각해 볼게요.
뭐냐면, 변화량에 관한 이야기인데요. 과학에서는 변화량을 구할 때 항상 나중값에서 처음값을 뺍니다. 또는 측정값에서 기준값을 빼죠. 하고 싶은 말은 변화량을 구하기 위해서는 항상 기준이 있어야 하고, 그래야 나중값 또는 측정값에서 빼줄 수 있다는 거에요.
(1-3)식 좌변에도 두 전위의 차이, 즉 전위차(전위의 변화량)가 나오는데요. 둘 중 무엇이 기준점에서의 전위인지를 알아야 변화량을 정확히 표현할 수 있어요.
그렇다면 기준점을 정해야 하는데요.
[그림 1]에서 전기력선이 a a a b b b a a a b b b
따라서 a a a b b b V a − V b V_a - V_b V a − V b V b − V a V_b - V_a V b − V a
결국 이를 반영하면 (1-3)식은 다음과 같이 바뀌어야 해요.
V b − V a = − E d (1-4) \tag{1-4}
V_b - V_a = - Ed V b − V a = − E d ( 1-4 ) 한편 윗식의 우변이 − E d -Ed − E d E ⃗ \vec E E d r ⃗ d \vec r d r 스칼라 곱 하고 기준점인 a = 0 a=0 a = 0 b = d b=d b = d
전위차 V b a V_{ba} V ba
V b a = V b − V a = − ∫ a = 0 b = d E ⃗ ⋅ d r ⃗ (1-5) \tag{1-5}
V_{ba} = V_b - {\color{blue}V_a} = -\int_{{\color{blue}a=0}}^{b=d} \vec E \cdot d \vec r V ba = V b − V a = − ∫ a = 0 b = d E ⋅ d r ( 1-5 ) 기억하세요. 항상 기준점에서의 값들이 위 식의 파랑색 부분에 대입되어야 한다는 것을요. 이것이 헷갈리면 올바른 전위차를 구할 수 없어요.
그렇다면 만일 b b b a a a V a − V b V_a - V_b V a − V b
V a b = V a − V b = − ∫ b = d a = 0 E ⃗ ⋅ d r ⃗ (1-6) \tag{1-6}
V_{ab} = V_a - V_b = -\int_{b=d}^{a=0} \vec E \cdot d \vec r V ab = V a − V b = − ∫ b = d a = 0 E ⋅ d r ( 1-6 ) 기준점이 b b b b b b
1-2. 예제 [그림 1]에서 V b V_b V b 0 V 0~\rm V 0 V E = 20 N / C E= 20 ~\rm {N/C} E = 20 N/C 0.5 c m 0.5~\rm cm 0.5 cm a a a V a V_{a} V a
(Sol) 이 문제는 (1-5)식 또는 (1-6)식을 적용하면 됩니다. 어떤 식을 적용하던 같은 결과가 얻어지겠죠.
먼저 (1-5)식을 적용해봐요.
0 − V ( a ) = − ∫ 0 d E ⃗ ⋅ d r ⃗ = − ∫ 0 d E d r = − E ∫ 0 d d r = − E [ r ] 0 d = − E d = − ( 20 V / m ) × ( 0.5 × 1 0 − 2 m ) = − 0.1 V (1-7) \tag{1-7}
\begin{align}
0- V(a) &= -\int_0^d \vec E \cdot d \vec r\\[8pt]
&=-\int_0^d E dr\\[8pt]
&=-E \int_0^d dr\\[8pt]
&=-E\Big[r\Big]_0^d\\[8pt]
&=-Ed\\[8pt]
&=-(20~\rm {V/m}) \times (0.5\times10^{-2}~\rm m)\\[8pt]
&=-0.1~\rm{V}
\end{align} 0 − V ( a ) = − ∫ 0 d E ⋅ d r = − ∫ 0 d E d r = − E ∫ 0 d d r = − E [ r ] 0 d = − E d = − ( 20 V/m ) × ( 0.5 × 1 0 − 2 m ) = − 0.1 V ( 1-7 ) 결국 V a V_a V a
V ( a ) = 0.1 V \begin{align*}
V(a) = 0.1~\rm V
\end{align*} V ( a ) = 0.1 V 이번에는 (1-5)식을 적용해봐요.
V a − 0 = − ∫ d 0 E ⃗ ⋅ d r ⃗ = − ∫ d 0 E d r = − E [ r ] d 0 = − ( ( E × 0 ) − ( E d ) ) = E d = 0.1 V (1-8) \tag{1-8}
\begin{align}
V_a - 0 &= -\int_{d}^{0} \vec E \cdot d \vec r\\[8pt]
&=-\int_d^0 Edr\\[8pt]
&=-E\Big[r\Big]_d^0\\[8pt]
&=-\Big((E\times0)-(Ed)\Big)\\[8pt]
&=Ed\\[8pt]
&=0.1~\rm V
\end{align} V a − 0 = − ∫ d 0 E ⋅ d r = − ∫ d 0 E d r = − E [ r ] d 0 = − ( ( E × 0 ) − ( E d ) ) = E d = 0.1 V ( 1-8 ) 같은 결과가 나왔음을 알 수 있습니다.
2. 불균일한 전기장에서의 전위 2-1. 전위와 전위차 이번에는 전기장이 균일하지 않은 경우의 전위와 전위차를 알아봐요.
[그림 2] 불균일한 전기장 내에서 a a a
대전된 평행판 사이의 일정한 전기장과 달리 [그림 2]의 점전하에 의한 전기장의 크기 는 아래 식과 같이 거리에 따라 달라지게 됩니다.
E ⃗ = k Q r 2 r ^ (2-1) \tag{2-1}
\vec E = k{Q \over r^2} \hat r E = k r 2 Q r ^ ( 2-1 ) 그런데 시험전하는 a a a b b b
이때 전기력선이 시작되는 a a a b b b
V b a = V b − V a = − ∫ r a r b E ⃗ ⋅ d r ⃗ (2-2) \tag{2-2}
V_{ba} = V_b - V_a = -\int_{r_a}^{r_b} \vec E \cdot d \vec r V ba = V b − V a = − ∫ r a r b E ⋅ d r ( 2-2 ) 그럼 (2-1)식을 (2-2)식에 대입해서 정리해 볼께요.
V b a = V b − V a = − ∫ r a r b k Q r 2 r ^ ⋅ d r ^ = − k Q ∫ r a r b 1 r 2 d r = − k Q [ − 1 r ] r a r b = k Q r b − k Q r a (2-3) \tag{2-3}
\begin{align}
V_{ba} = V_b - V_a &= - \int_{r_a}^{r_b} k{Q\over r^2} \hat r \cdot d \hat r\\[8pt]
&=-kQ\int_{r_a}^{r_b}{1 \over r^2} dr\\[8pt]
&=-kQ\Big[-{1 \over r}\Big]_{r_a}^{r_b}\\[8pt]
&=k{Q \over r_b} - k{Q \over r_a}
\end{align} V ba = V b − V a = − ∫ r a r b k r 2 Q r ^ ⋅ d r ^ = − k Q ∫ r a r b r 2 1 d r = − k Q [ − r 1 ] r a r b = k r b Q − k r a Q ( 2-3 ) 윗 식이 바로 점전하에 의한 전위차를 나타내는 공식입니다.
만일 무한대의 전위를 기준으로 b b b r a r_a r a V a = 0 V_a =0 V a = 0
그러면 다음과 같아요.
V b = k Q r b − k Q ∞ = k Q r b (2-4) \tag{2-4}
\begin{align}
V_{b} &= k{Q \over r_b} - k{Q \over \infty}\\[8pt]
&=k{Q \over r_b}
\end{align} V b = k r b Q − k ∞ Q = k r b Q ( 2-4 ) 따라서 윗 식과 같이 무한대, 즉 전위가 0인 점을 기준으로 점전하로부터 r r r
V = k Q r (2-5) \tag{2-5}
V = k{Q \over r} V = k r Q ( 2-5 ) 2-2. 예제 [그림 2]를 참고하세요. 원천전하의 전하량이 Q = 1.11 × 1 0 − 10 C Q={1.11 \times 10^{-10}~\rm C} Q = 1.11 × 1 0 − 10 C r a = 2.00 m r_a = 2.00~\rm m r a = 2.00 m r b = 4.00 m r_b = 4.00~\rm m r b = 4.00 m
(Sol) 이 문제를 풀기 위해서는 (2-5)식을 적용하면 됩니다. 먼저 a a a
V a = k Q r a = ( 9 × 1 0 9 N ⋅ m 2 / C 2 ) ( 1.11 × 1 0 − 10 C ) 2.00 m = 0.50 V (2-6) \tag{2-6}
\begin{align}
V_{a} &= k{Q \over r_a}\\[8pt]
&={(9 \times10^9~\rm{N \cdot m^2/C^2}){(1.11 \times 10^{-10} ~\rm C )}\over{2.00~\rm m}}\\[8pt]
&=0.50~\rm V
\end{align} V a = k r a Q = 2.00 m ( 9 × 1 0 9 N ⋅ m 2 / C 2 ) ( 1.11 × 1 0 − 10 C ) = 0.50 V ( 2-6 ) 이번에는 b b b
V b = k Q r b = ( 9 × 1 0 9 N ⋅ m 2 / C 2 ) ( 1.11 × 1 0 − 10 C ) 4.00 m = 0.25 V (2-7) \tag{2-7}
\begin{align}
V_{b} &= k{Q \over r_b}\\[8pt]
&={(9 \times10^9~\rm{N \cdot m^2/C^2}){(1.11 \times 10^{-10} ~\rm C )}\over{4.00~\rm m}}\\[8pt]
&=0.25~\rm V
\end{align} V b = k r b Q = 4.00 m ( 9 × 1 0 9 N ⋅ m 2 / C 2 ) ( 1.11 × 1 0 − 10 C ) = 0.25 V ( 2-7 ) 그러므로 a a a b b b
V b a = V b − V a = 0.25 V − 0.50 V = − 0.25 V (2-8) \tag{2-8}
\begin{align}
V_{ba} &= V_b - V_a\\[3pt]
&=0.25~\rm V - 0.50~\rm V\\[3pt]
&=-0.25~\rm V
\end{align} V ba = V b − V a = 0.25 V − 0.50 V = − 0.25 V ( 2-8 ) 여기서 V b a V_{ba} V ba V a V_a V a V b V_b V b
3. 도체에서의 전위 [그림 3]은 바깥과 안쪽 반지름이 각각 a a a b b b R R R
이때 도체 구가 양전하 q q q
[그림 3] 도체 껍질 속에 있는 도체 구가 + q +q + q
도체의 성질 에 따르면 대전된 도체구의 전하 q q q
그래서 도체 구 표면에 전하들이 분포되어 있음을 알 수 있어요. 그리고 이 전하들은 정전기 유도 를 일으켜 도체 껍질의 안쪽 표면에 − q -q − q q q q
가우스 법칙 을 적용하면 각 영역의 전기장을 구할 수 있는데요. 다음과 같습니다.
E 1 = 0 도체 구 안 ( r < R ) E 2 = k q r 2 도체 구와 껍질 사이 ( R < r < a ) E 3 = 0 도체 껍질 안 ( a < r < b ) E 4 = k q r 2 도체 껍질 밖 ( b < r ) \begin{align*}
&E_1 = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~도체~구~~안 (r < R) \\[10pt]
&E_2 ={k{q \over r^2}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~도체~구와~껍질~사이 (R < r < a) \\[10pt]
&E_3 =0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~도체 ~껍질 ~안 (a< r< b) \\[10pt]
&E_4 =k{q \over r^2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~도체 ~껍질 ~밖 (b < r)
\end{align*} E 1 = 0 도체 구 안 ( r < R ) E 2 = k r 2 q 도체 구와 껍질 사이 ( R < r < a ) E 3 = 0 도체 껍질 안 ( a < r < b ) E 4 = k r 2 q 도체 껍질 밖 ( b < r ) 전기장을 구했으니 이제 (2-2)식을 적용하면 도체 구 중심에서의 전위 V V V
V = − ∫ ∞ 0 E ⃗ ⋅ d r ⃗ = ( − ∫ R 0 E 1 d r ) + ( − ∫ a R E 2 d r ) + ( − ∫ b a E 3 d r ) + ( − ∫ ∞ b E 4 d r ) = ( − ∫ a R ( k q r 2 ) d r ) + ( − ∫ ∞ b ( k q r 2 ) d r ) = [ k q r ] a R + [ k q r ] ∞ b = k q R − k q a + k q b + k q ∞ = k q R + k − q a + k q b (3-1) \tag{3-1}
\begin{align}
V &= -\int_{\infty}^{0} \vec E \cdot d \vec r\\[10pt]
&=\Big(-\int_{R}^{0} {\color {red}E_1} dr \Big) +\Big(- \int_a^R E_2 dr \Big)+\Big( - \int_{b}^{a}{\color{red}E_3}dr \Big) + \Big(-\int_{\infty}^{b}E_4dr\Big)\\[10pt]
&=\Big( - \int_a^R \big ({k {q \over r^2}}\big)dr\Big) + \Big(-\int_{\infty}^b \big ({k {q \over r^2}}\big)dr\Big)\\[10pt]
&=\Big[{{kq}\over{r}}\Big]_a^{R} + \Big[{{kq}\over{r}}\Big]_{\infty}^b\\[10pt]
&={k{{q}\over{R}}} - {k{{q}\over{a}}} + {k{{q}\over{b}}}+{k{{q}\over{\infty}}}\\[10pt]
&={k{{q}\over{R}}} + {k{{-q}\over{a}}} + {k{{q}\over{b}}}
\end{align} V = − ∫ ∞ 0 E ⋅ d r = ( − ∫ R 0 E 1 d r ) + ( − ∫ a R E 2 d r ) + ( − ∫ b a E 3 d r ) + ( − ∫ ∞ b E 4 d r ) = ( − ∫ a R ( k r 2 q ) d r ) + ( − ∫ ∞ b ( k r 2 q ) d r ) = [ r k q ] a R + [ r k q ] ∞ b = k R q − k a q + k b q + k ∞ q = k R q + k a − q + k b q ( 3-1 ) 윗 식의 결과를 보시면 마치 R R R q q q a a a − q -q − q b b b q q q
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![[그림 1] 균일한 전기장 내에서 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">a</span>점에 놓여진 시험전하는 위치에너지를 갖습니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/11/균일한-전기장.jpg)
![[그림 2] 불균일한 전기장 내에서 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">a</span>점에 있는 시험전하는 위치에너지를 갖습니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/11/불균일한-전기장-1-1024x1024.jpg)
![[그림 3] 도체 껍질 속에 있는 도체 구가 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">+q</span>로 대전되어 있을 때 도체 구 중심의 전위 값을 구해 보세요](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/11/도체에서의-전위-1024x531.jpg)
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