수 체계(number system)

Last Updated on 2024-01-14 by BallPen

수학에서 등장하는 여러 가지 수의 체계에 대해 알아봐요.

수 체계(number system)란 여러 가지 수가 차지하는 범위를 고려하여 분류한 일련의 체계를 말합니다.

작은 범위의 수부터 말씀드리면 자연수, 정수, 유리수와 무리수, 실수와 허수, 그리고 복소수로 확장되는데요. 아래 [그림 1]은 그러한 수 체계를 그림으로 나타낸 거에요.

이번 글에서는 이러한 수의 체계가 어떠한 기준으로 분류되었는지 정리해보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 실수(real numbers) 수 체계

실수(real numbers)는 실수선이라 불리는 가로선 위 임의 점의 크기를 표현하는 수입니다. [그림 1]과 같이 자연수, 정수, 유리수, 무리수를 포괄하는 숫자를 실수라고 불러요.

하나 하나 알아보겠습니다.

1-1. 자연수(natural numbers)

자연수(natural numbers)는 수 체계 중 가장 작은 크기의 무한 집합입니다. 보통 개수나 순서를 셈할 때 많이 사용하는데요.

1부터 시작하여 2, 3, 4,…의 숫자로 정의됩니다. 0은 자연수에 포함되지 않습니다.

1-2. 정수(integers)

정수(integers)는 양의 정수, 0, 음의 정수로 구분되는데요. 여기서 양의 정수가 자연수와 같습니다. 따라서 정수는 자연수를 포함하는 개념이에요.

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…이 정수입니다.

1-3. 유리수(rational numbers)

유리수(rational numbers)는 두 정수가 분수의 형식으로 표현되는 수입니다. 물론 분모는 0이 될 수 없어요.

아래 [그림 4]에서 빨강색으로 표현한 숫자가 모두 유리수입니다.

한편 모든 정수는 1로 나누면 유리수가 되므로 모든 정수는 유리수에 포함됩니다.

한편 유리수는 위에서 말씀드린대로 두 정수의 분수로 표현되는데요. 그 분수들을 소수형태로 표현하면 유한소수나 순한소수가 나오는 특징이 있습니다.

예를 들어 {37}\over{10}은 유리수인데요. 이것을 소수로 표현하면 3.7입니다. 이 숫자 3.7은 소수점 아래 갯수가 무한한 것이 아니라 유한해요. 즉 소수점 아래 한자리만 있을 뿐입니다. 이와 같이 소수점 아래 자리가 유한한 갯수를 갖는 경우 유한소수라고 해요.

유한 소수는 모두 유리수입니다.

한편 -{16 \over 3}도 분자와 분모가 정수로 구성된 유리수에요. 그런데 이것을 소수로 표현하면 -5.3333…이 나옵니다.

즉 소수점 아래 자리수가 무한대로 나와요. 특이한 것은 특정한 숫자가 계속 반복된다는 거에요. 이것을 순환소수라고 합니다. 순환소수는 정수와 정수의 비율로 모두 표현할 수 있어요.

따라서 순환소수는 모두 유리수에요. 순환소수를 정수의 분수로 바꾸는 방법은 아래와 같아요.

[순환소수를 정수의 분수로 바꾸는 방법]

숫자 0.122323232323…은 소수점 아래 12뒤에 23이 반복되는 순환소수에요. 이것을 정수의 비율로 바꾸는 요령은 다음과 같아요.

• x = 0.122323232323…로 둡니다.
• x에 10000을 곱합니다. 그러면 10000x= 1223.23232323...이 됩니다. 이것을 \textcircled{1}식으로 둘게요.
• 이번에는 x에 100을 곱합니다. 그러면 100x= 12.2323232323...가 되죠. 이것을 \textcircled{2}식이라고 할 게요.
• 그리고 \textcircled{1}식에서 \textcircled{2}식을 빼세요. 그러면 좌변은 10000x-100x = 9900x가 되고, 우변은 소수점 아래가 모두 동일해서 서로 빼면 0이 될테니 결국 1223-12=1211이 됩니다.
• 따라서 9900x=1211이 되어 x={1211 \over 9900}이 됩니다. 분자와 분모가 모두 정수임을 알 수 있어요. 그래서 순환소수는 유리수에요.

1-4. 무리수(irrational numbers)

무리수(irrational numbers)는 유리수와 달리 두 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수를 말합니다.

유리수 만으로 실수선을 모두 채울 수 있으리라 생각하기 쉬운데요. 유리수로 채워질 수 없는 빈공간의 수가 있습니다. 그 빈공간을 채우는 것이 무리수에요.

아래 [그림 5]에서 빨강색으로 표기한 숫자들이 무리수입니다.

무리수의 특징은 유한소수나 순환소수가 아닌 무한소수로 나타난다는거에요.

예를 들어 아래 (1)식은 대표적 무리수인 \pi값을 소수점 아래 40자리까지 구한 것인데요. 반복되는 구간이 없어 무한소수 임을 알 수 있어요.

\tag{1}
\pi = 3.1415926535897931159979634685441851615906...

이러한 무한소수는 분모와 분자가 정수로 구성된 분수의 형태로 나타낼 수 없습니다.

왜냐면 특정한 정수 두개를 곱한 후 서로 빼내어 소수점 아래를 0으로 만들어야 정수와 정수의 비율을 구할 수 있는데요. 그러나 무한소수는 반복되는 구간이 없으니 어떠한 정수를 곱한 후 빼내어도 소수점 아래를 0으로 절대 만들 수 없기 때문이에요.

마지막으로 주의할 것은 무리수와 유리수는 서로 다른 수 체계에요. 무슨 말이냐면 유리수가 무리수를 포괄하는 것도 아니고, 무리수가 유리수를 포괄하는 것도 아닙니다.

[그림 1]과 같이 유리수와 무리수는 모두 실수에 포함되지만 서로 독립적인 영역을 차지하고 있어요.

2. 복소수(complex numbers) 수 체계

복소수(complex numbers)는 실수(real numbers)와 허수(imaginary numbers)가 결합된 수 체계 입니다.

실수에 대해서는 위에서 이미 말씀드렸으니 허수부터 알아봐요.

2-1. 허수

허수란 실수와 허수 단위(imaginary unit) i가 곱해진 수를 말합니다. 여기서 허수 단위란 제곱해서 -1이 되는 수로써 기호 i로 표현합니다

\tag{2}
i^2 = -1~~~~or~~~~i = \sqrt{-1}

따라서 허수는 0이 아닌 모든 실수에 허수 단위만 곱하면 만들 수 있어요. 예를 들어 1i,~5i,~-4 i, ~\sqrt{2}i, \pi i, \sqrt{-3} 등이 있습니다.

허수는 실수에 허수단위가 곱해져서 만들어지는 또 하나의 수 체계이기 때문에 실수가 허수에 포함되는 것도 아니고 허수가 실수에 포함되는 것도 아닙니다.

[그림 1]과 같이 실수와 허수는 서로 독립적인 수 체계 입니다.

2-2. 복소수

그럼 마지막으로 [그림 1]에서 보여진 수 체계 중 가장 큰 개념인 복소수를 알아봐요.

앞서 보았듯이 실수는 실수선이라 불리는 1차원 선 위에 모든 값들이 배치됩니다. 하지만 복소수는 아래 [그림 6]과 같이 2차원 평면상에 벡터의 형식으로 값들이 배치됩니다. 이 평면을 베셀(Caspar Wessel, 1745-1818)의 복소평면(complex plane)이라 부릅니다

복소평면에서 가로축은 실수축, 세로축은 허수축이에요.

따라서 가로축은 모든 실수가 놓일 수 있습니다. 즉 자연수, 정수, 유리수, 무리수가 올 수 있어요. 그리고 그 값을 a라고 하겠습니다.

반면에 세로축은 허수축인데요. 허수축에는 모든 허수가 올 수 있습니다. 그 값을 bi라고 할께요. 여기서 b는 실수, i는 허수단위이죠.

이때 복소수는 a+bi꼴로 표현합니다. 그리고 a를 실수부(real part), b를 허수부(imaginary part)라고 해요

\tag{3}
z=a+bi

이렇게 해서 자연수부터 복수수까지의 수 체계에 대해 알아봤습니다.

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