도체 기본 성질

Last Updated on 2024-07-24 by BallPen

도체가 갖는 기본적인 성질을 알아봐요.

도체 기본 성질 몇가지를 함께 알아 봐요.

전자기학 관점에서 도체는 재미있는 성질들이 있는데요. 결론부터 말씀드리면 다음과 같습니다.

• 도체 속에서 전기장은 0이다.
• 도체의 전위는 모든 부분에서 같다.
• 도체 속에는 알짜 전하가 없다.
• 도체 표면에서의 전기장은 \sigma/\epsilon_0이다.
• 도체가 뾰족할수록 면전하밀도가 높다.
• 전기장의 방향은 도체 표면에 수직하다.

그럼 하나 하나 구체적으로 알아봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

이 글에서 사용된 그림 자료는 아래에서 다운 받을 수 있습니다. 맥의 키노트로 작성되었어요.

맥 키노트 파일: conductor_basic_properties.key

1. 도체 기본 성질

전기장 속에서 전하가 쉽게 움직여 갈 수 있는 물체를 도체라 하고, 반대로 전하가 움직이기 어려운 물체를 부도체라고 합니다.

이제부터 도체의 기본 성질 몇가지를 설명드립니다.

1-1. 도체속에서 전기장은 0이다.

[외부 전기장 속에 중성상태의 도체를 삽입했을 때]

아래 [그림 1(a)]를 보면 각 양전하와 음전하로 대전된 판이 서로 마주보고 있고, 이로 인해 전기장 \vec {E_0}가 판 사이의 공간에 형성되었어요. 이 상태에서 중성 상태의 도체를 삽입했을 때의 상황을 나타낸 거에요.

도체는 원래 중성상태였으므로 알짜 전하가 0입니다. 그런데 그림처럼 외부 전기장 \vec {E_0}가 있게 되면, 이 외부 전기장 때문에 정전기유도에 의한 유도전하가 도체내에 형성되죠.

따라서 양극판 쪽의 도체 표면에 유도된 음전하가 쌓이고, 음극판 쪽의 도체 표면에 유도된 양전하가 쌓이게 됩니다. 물론 유도된 양전하와 음전하의 전하량 크기는 서로 같아요.

그렇다면 유도 전하는 얼마나 쌓이게 될까요?

바로 유도 전하에 의한 전기장 \vec{E_1}이 외부 전기장 \vec{E_0}와 크기가 같고 방향이 반대가 되어 완전히 상쇄될 때까지 쌓이게 됩니다.

결국 도체 내부의 전기장은 아래 식과 같이 0이 됩니다.

\tag{1}
\vec E = \vec{E_0} + \vec{E_1} =0

[중성상태의 도체를 대전시켰을 때]

그러면 중성인 도체를 대전시켰을 때에도 도체 내부의 전기장은 0이 되는냐가 궁금할거에요. 이에 대해서는 [그림 1(b)]를 보세요.

이 그림은 중성상태의 도체를 양전하로 대전시킨 모습이에요. 이때 양전하는 서로 척력이 작용하므로 서로 최대한 멀어지려 하고, 결국 그림과 같이 도체 표면에 양전하들이 분포합니다.

그러면 어느 양전하 하나에서 발생한 전기장이 반대쪽 다른 전하의 전기장과 상쇄되어, 이 경우에도 도체 내부의 전기장은 0이 됩니다. 만일 도체 내부의 전기장이 0이 아니라면 전하들이 계속 움직여 전류가 형성될 것이나 그러한 일은 발생하지 않아요.

요약하면 도체가 중성상태인 경우 전기적 성질이 나타나지 않으므로 도체 내부의 전기장은 0이며, 외부 전기장 속에 도체를 삽입하더라도 도체 내부의 전기장은 0입니다. 또한 도체를 대전시켜도 도체 내부의 전기장은 언제나 0이에요.

1-2. 도체의 전위는 모든 부분에서 같다.

[그림 1(a),(b)]을 보면 도체에 임의로 a와 b점을 표기했어요. 이때 두 지점 사이의 전위차는 얼마가 될까요?

이를 구하기 위해서는 전기장을 선적분하여 전위차를 구하는 다음의 관계식을 보면 이해할 수 있어요. 이때 도체 내부의 전기장 \vec E는 위에서 알아보았듯이 0이므로 전위차 V(b) - V(a)는 0이 됩니다.

\tag{2}
\begin{align}
V(b) - V(a) = - \int_a^b \vec E \cdot d \vec l = 0
\end{align}

이때 전위차가 0이라고 해서 a와 b 두 지점의 전위가 항상 0을 뜻하는 것이 아니에요. 예를 들어 두 지점의 전위가 5V로 동일하더라도 전위차는 0입니다.

이 관계를 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\tag{3}
V(a) = V(b)

그래서 도체에서의 전위는 모두 같다는 의미로, ‘도체에서 전위는 등전위이다’라고 말합니다.

1-3. 도체 속에는 알짜 전하가 없다.

[그림 1]에 그려진 것처럼 도체에서 알짜 전하는 모두 표면에만 존재합니다. 이 말은 도체 속의 알짜 전하는 없다는 것을 뜻해요.

이 특성을 가우스 법칙으로 이해해 봐요. [그림 1(a),(b)]에서 점선 사각형이 가우스 폐곡면을 의미합니다. 저 곡면 안에 만일 알짜전하에 의한 전하량 Q가 존재한다면 다음의 가우스 법칙이 성립할 거에요.

\tag{4}
\oint \vec{E} \cdot d \vec a = {{Q}\over{\epsilon_0}}

그런데 (1)식에서 도출한 것처럼 도체 내부에서는 \vec E = 0입니다. 따라서 (4)식의 좌변은 0이 됩니다. 그렇다면 결국 우변도 0이 되어야 하는데요. 이를 위해서는 분자에 있는 알짜 전하량 Q가 0이 되어야만 하죠.

결국 도체 속에서는 알짜 전하가 없으므로 전하량이 0입니다.

\tag{5}
Q = 0

1-4. 도체 표면에서의 전기장은 {{\sigma}\over{\epsilon_0}}이다.

앞에서 말씀드린 것처럼 도체가 대전되면 알짜 전하는 도체 표면에만 존재하고 도체 내부에는 존재할 수 없어요. 그렇다면 도체 표면에서 방출되는 전기장은 어떻게 될까요?

[그림 2]는 도체 표면에서의 전기장 크기를 구하기 위해 면전하밀도가 \sigma인 도체에 가우스 법칙을 적용한거에요.

그림에서 검정색 판이 도체 표면에 해당하고 그 아래쪽이 도체 내부에요. 그런데 그 내부의 전기장은 \vec E = 0이죠. 반대로 검정색 판의 위쪽은 도체 외부로써 전기장 \vec E 가 존재합니다.

한편 그림에서 \epsilon은 육면체 가우스 곡면의 높이인데요. 우리는 표면 바로 위에서의 전기장의 크기를 알고 싶으므로 이 값은 매우 작다고 생각하면 됩니다.

이 상태에서 가우스 법칙을 적용하면 다음과 같아요. 이때 면전하 밀도는 \sigma = {{Q}\over{A}}의 관계를 적용합니다.

\tag{6}
\oint \vec E \cdot d \vec a = {{Q}\over{\epsilon_0}} = {{\sigma A}\over{\epsilon_0}}

가우스 곡면의 높이 \epsilon이 매우 작으므로 육면체 측면에서의 전기장 선속은 0으로 볼 수 있으며, 도체 내부는 전기장이 0이므로 선속도 0입니다. 결국 (6)식의 가장 좌변은 도체 표면에서 외부를 향하는 선속 EA만 존재해요.

따라서 (6)식은 다음과 같이 표현될 수 있어요.

\tag{7}
EA = {{\sigma A}\over{\epsilon_0}}

그리고 윗 식을 전기장 E에 대해 정리하면 다음과 같아요.

\tag{8}
E = {{\sigma}\over{\epsilon_0}}

1-5. 도체가 뾰족할수록 면전하밀도가 높다.

도체의 뾰족한 부분에 전하들이 더 촘촘히 모여 있게 되는데요. 이 특성에 대해 알아봐요.

이를 이해하기 위해서는 먼저 도체구의 전위가 어떻게 주어지는지를 먼저 알아야 합니다.

[그림 3]은 반지름 R인 도체구가 전하 Q로 대전된 모습이에요. 물론 전하들은 표면에만 분포합니다.

이때 전기장과 전위 사이의 관계식인 (2)식을 적용하면 전위가 0인 무한대를 기준으로 도체구의 전위 V(R)를 구할 수 있어요.

\tag{9}
\begin{align}
V(R) &= - \int_\infty^R \vec E \cdot d \vec r\\[10pt]
&=-\int_\infty^R {{\sigma}\over{\epsilon_0}} dr \\[10pt]
&=-\int_\infty^R {{Q}\over{\epsilon_0 A}} dr\\[10pt]
&=-\int_{\infty}^R {{Q}\over{\epsilon_0 (4 \pi r^2)}}dr\\[10pt]
&=-{{Q}\over{4 \pi \epsilon_0}} \int_\infty^R {1 \over r^2} dr\\[10pt]
&=-{Q \over{4 \pi \epsilon_0}} \Big[-{1 \over r} \Big]_\infty^R\\[10pt]
&={Q \over{4 \pi \epsilon_0 R}}
\end{align}

이렇게 해서 도체구의 전위를 구했으니 이제부터는 도체의 뾰족한 부분에서 전하밀도가 더 높은 이유를 알아봐요.

아래 [그림 4]는 반지름 R_A와 R_B인 두 도체구가 도체 막대로 연결된 모습이에요. 그리고 왼쪽 도체구는 Q_A, 오른쪽 도체구는 Q_B로 대전되어 있습니다.

이때 중요한 것은 모든 물체가 도체이므로 (3)식과 같이 전위는 어느 부분에서나 같아야 해요. 즉 왼쪽 도체구의 전위 V_A와 오른쪽 도체구의 전위 V_B는 서로 같아야 하는 거에요.

이를 식으로 쓰면 다음과 같습니다. 이때 (9)식의 결과를 활용했어요.

\tag{10}
\begin{align}
V_A = {{Q_A}\over{4 \pi \epsilon_0 R_A}} = V_B={{Q_B}\over{4 \pi \epsilon_0 R_B}}
\end{align}

따라서 다음 식이 성립합니다.

\tag{11}
{{Q_A}\over{R_A}} = {{Q_B}\over{R_B}}

그런데 만일 R_B가 R_A보다 5배 크다면, 즉 R_B = 5 R_A라면 도체의 표면에 있는 전하량은 어느 쪽이 더 많은지 구해봐요.

\tag{12}
{{Q_A}\over{R_A}} = {{Q_B}\over{5 R_A}}

그 결과 다음 식과 같이 Q_B가 Q_A보다 5배 더 큽니다.

\tag{13}
Q_B = 5 Q_A

이쯤되면 반지름이 작은 왼쪽 구보다 반지름이 큰 오른쪽 구에 면전하밀도가 더 클것으로 생각할 수 있는데요. 실제 계산해보면 그렇지 않아요. 반지름이 작은 왼쪽구의 전하밀도가 더 커요.

정말 그런지 면전하밀도를 각각 구해봐요.

먼저 왼쪽 구의 면전하밀도 \sigma_A입니다.

\tag{14}
\sigma_A = {{Q_A}\over{4 \pi R_A^2}}

다음은 오른쪽 구의 면전하밀도 \sigma_B입니다.

\tag{15}
\begin{align}
\sigma_B = {{Q_A}\over{4 \pi R_B^2}} &= {{5 Q_A}\over{4 \pi (5 R_A)^2}}\\[10pt]
&={1 \over 5} {{Q_A}\over{4 \pi R_A^2}}\\[10pt]
&={1 \over 5} \sigma_A
\end{align}

그 결과 어떤가요? 반지름이 작은 왼쪽 구의 전하밀도 \sigma_A에 비해 반지름이 큰 오른쪽 구의 전하밀도 \sigma_B가 1/5만큼 작은 것을 알 수 있어요.

이러한 관계를 일반화하면 도체에서 곡률반지름이 작은 뾰족한 부분의 면전하밀도가 더 높다는 것을 알 수 있어요.

이러한 특성을 이용한 것이 피뢰침이에요.

1-6. 전기장의 방향은 도체 표면에 항상 수직하다.

아래 [그림 5]는 [그림 2]를 다시 나타낸 거에요.

도체는 표면에만 알짜전하가 존재하므로 면전하밀도 \sigma인 면전하 분포의 경계조건을 적용할 수 있어요. 그러면 도체 표면에서 전기장의 방향을 구할 수 있게 됩니다.

이전 글에서 면전하분포에 의한 전기장의 수직성분과 수평성분을 알아봤는데요. 그 결과를 인용하면 면전하분포에서 전기장의 수평성분은 도체 안과 밖이 연속입니다. 이 관계를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{16}
E^{\Vert}_{outside} - E^{\Vert}_{inside} =0

그런데 [그림 5]와 같이 도체 내부에서는 전기장이 0이므로 수평성분 E^{\Vert}_{inside}도 당연히 0이고, 결국 도체 밖의 수평성분 E^{\Vert}_{outside}도 0이 되어야만 합니다.

\tag{17}
E^{\Vert}_{outside} =0

한편 윗 식에 따르면 전기장의 수평 성분이 0이므로 결국 전기장의 수직성분만 존재할 것임을 추정할 수 있어요. 그렇다면 정말 수직성분만 존재하는지 그리고 전기장의 크기는 (8)식처럼 {\sigma / \epsilon_0}가 되는지 알아봐요.

면전하 분포의 경계 조건을 상기하면 전기장의 수직성분은 {\sigma / \epsilon_0}만큼 불연속해요. 이전 글에서 이 관계를 인용하면 다음과 같아요.

\tag{18}
E^{\bot}_{outside} - E^{\bot}_{inside} = {{\sigma}\over{\epsilon_0}}

그런데 도체 안쪽의 전기장이 0이므로 위 식에서 E^{\bot}_{inside}는 0이 됩니다. 그러면 결국 아래 식이 성립하죠.

\tag{19}
E^{\bot}_{outside}  = {{\sigma}\over{\epsilon_0}}

요약하면 (17)식과 (19)식에 따라 전기장의 방향은 도체 표면에 항상 수직하며, 그 크기는 (8)식에서 도출했던 것처럼 {\sigma / \epsilon_0}임을 알수 있어요.

[그림 6]은 임의 모양을 갖는 도체에서 뾰족한 부분에 면전하밀도가 높으므로 더 많은 전하들이 분포하며, 그 면전하밀도의 크기에 따라 전기장의 크기(화살표의 길이)도 위치에 따라 다르다는 것을 보여주고 있어요.

아울러 전기장은 도체 표면에 수직함을 알 수 있어요.

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