소음의 거리감쇠 공식 유도와 예제 풀이

Last Updated on 2022-01-07 by BallPen

음원에서 발생된 소음의 거리감쇠 공식을 유도하고 관련 예제를 풀어 보겠습니다.

소음의 거리감쇠 공식을 이번 글에서 다룹니다.

거리 감쇠란 음원으로부터의 거리가 멀어질수록 음압 레벨(Sound Pressure Level)이 감소하는 현상을 말합니다. 더 쉽게 말하면 소리가 발생하는 곳으로부터 멀어질수록 소리가 작아지는 현상을 이야기합니다.

시작에 앞서 ‘감쇠’와 ‘감쇄’의 쓰임이 궁금해졌어요. 서로 비슷해서 헷갈리더라구요. 인터넷을 찾아보았더니 국립국어원에 관련 내용이 있었습니다. 이에 따르면 ‘감쇠’는 ‘약해짐’의 의미이고, ‘감쇄’는 ‘없어짐’의 의미입니다. 따라서 ‘거리감쇄’가 아닌 ‘거리감쇠’로 표기하는 것이 의미상 맞을 것 같아요. 이하 모두 ‘거리감쇠’로 표기하겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 음압레벨 복습

음압 레벨은 다른 말로 SPL, 소음도, 소리 준위라고도 불립니다. 단위는 데시벨이라고 하며 dB로 표기합니다. 음압 레벨 L_a은 소리의 세기(intensity)를 이용해 아래 식으로 계산됩니다.

\tag{1}
L_a = 10 \log {{I}\over{I_0}}

여기서 I는 W/m²의 단위를 갖는 소리의 세기이고 I_0는 1.00 \times 10^{-12} ~\mathrm{W/m^2}의 크기를 갖는 가청 문턱값입니다.

(1)식을 변형하여 소리의 세기 대신 음파의 압력진폭(pressure amplitude)으로도 음압 레벨을 구할 수 있습니다.

\tag{2}
L_a = 10 \log \Big( {{p}\over{p_0}} \Big)^2

이때 p는 압력진폭의 실효값이고, p_0는 기준 압력 진폭으로서 20 \mu\mathrm{Pa}의 크기를 갖습니다.

2. 소음의 거리감쇠 공식

소음발생원의 형태에 따라 거리 감쇠 공식은 다르게 표현됩니다. 이번 글에서는 점음원(sound from the point sources)과 선음원(sound from the line sources)에서의 경우에 대해 다루겠습니다.

2-1. 점음원에서 소음의 거리감쇠 공식

점음원이란 음원의 크기가 이상적으로 아주 작은 경우 음원을 하나의 점으로 간주하여 단순화한 것입니다. 또는 방출된 소리의 파장보다 음원의 크기가 매우 작은 경우 점음원으로 볼 수도 있습니다.

– 공식 유도

점음원에서 방출된 소리는 주변으로 퍼져나가게 되는데요. 아래 그림과 같은 모형을 생각해보겠습니다.

[그림 1]과 같이 한 점에서 일률(power)이 P인 소리가 주변으로 방출되고 있다고 생각해보세요. 이때 일률이란 단위시간당 방출되는 에너지로서 와트 W의 단위를 갖습니다.

이 점음원으로부터 반지름 r_1과 r_2인 지점에 A로 동일한 표면적이 있다고 보세요. 또한 그 면적 부분에서 음파의 압력진폭이 각각 p_1과 p_2입니다.

그러면 r_1인 지점에서의 음압레벨을 L_{a1}, r_2인 지점에서의 음압레벨을 L_{a2}라고 했을 때 각각은 (2)식을 이용하여 아래 (3)식과 같이 표현됩니다.

\tag{3}
\begin{align}
L_{a1} = 10\log \Big({{p_1}\over{p_0}} \Big)^2 \\
L_{a2} = 10\log \Big({{p_2}\over{p_0}} \Big)^2 \\

\end{align}

그렇다면 (3)식과 로그 연산의 기본 성질을 이용하여 L_{a2} - L_{a1}을 구해 보죠.

\tag{4}
\begin{align}
L_{a2} - L_{a1} &= 10 \log \Big({{p_2}\over{p_0}} \Big)^2 - 10 \log \Big({{p_1}\over{p_0}} \Big)^2\\
&=20\log \Big({{p_2}\over{p_0}} \Big) - 20 \log \Big({{p_1}\over{p_0}} \Big)\\
&=20\big[\log(p_2)-\log(p_0)\big]-20\big[\log(p_1)-\log(p_0)\big]\\
&=20\log(p_2 ) - 20\log(p_1 )\\
&=20\log\Big({{p_2}\over{p_1}} \Big)\\
&=10\log\Big({{p_2}\over{p_1}} \Big)^2

\end{align}

위 (4)식으로부터 L_{a2}를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{5}
L_{a2} = L_{a1} + 10\log \Big({{p_2}\over{p_1}}\Big)^2

한편 [그림 1]의 면적 A를 통과하는 소리의 세기 I_1과 I_2의 비율은 다음과 같습니다.

\tag{6}
\begin{align}
{{{I_2}\over{I_1}}} &= {{{P \over {4 \pi {r_2}^2}}\times A}\over{{{P \over {4 \pi {r_1}^2}}\times A}}} ={{4 \pi r_1^2}\over{4\pi r_2^2}}\\
&={{p_2^2 /2\sigma v}\over{p_1^2 /2\sigma v}} = \Big({{p_2}\over{p_1}} \Big)^2
\end{align}

이때 (6)식의 첫번째 줄에서 가운데 식은 각 면적 A를 통과하는 단위시간당 에너지량의 비율을 나타냅니다. 또한 두번째 줄에서 첫번째 식은 이전 글의 내용을 참고해주시기 바랍니다.

(6)식의 관계를 (5)식에 대입하면 거리 r_{2}에서의 음압레벨 L_{a2}는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\tag{7}
\begin{align}
L_{a2} &= L_{a1} + 10\log \Big({{p_2}\over{p_1}}\Big)^2\\
&= L_{a1} + 10\log \Big({{4\pi r_1^2}\over{4 \pi r_2^2}}\Big)\\
&= L_{a1} + 10\log \Big({{r_1}\over{r_2}}\Big)^2
\end{align}

– 공식의 변형 사례

때로는 (7)식을 변형하여 음향파워레벨(PWL, Sound Power Level) 개념을 도입하는 경우도 있습니다.

(7)식의 두번째 줄에서 log 항의 분자가 4 \pi r_1^2으로 주어져있고, 이때 r_1인 곳에서의 음압레벨이 L_{a1}이죠. 이때 4 \pi r_1^2을 1과 같다고 두었을 때 이에 해당하는 음압레벨 L_{a1}을 음향파워레벨 PWL이라고 합니다.

이 관계를 도입하면 (7)식은 다음과 같이 로그 기본 성질을 이용하여 변형됩니다.

\tag{8}
\begin{align}
L_{a2} &= PWL + 10 \log \Big({{1}\over{4\pi r_2^2}} \Big)\\
&=PWL + 10 \log \Big({{4\pi r_2^2}} \Big)^{-1}\\
&=PWL - 10 \log \Big({{4\pi r_2^2}} \Big)\\
&=PWL - 10\Big(\log 4\pi + \log{r_2^2 \Big)}\\
&=PWL - 11-10\log{r_2}^2\\
&=PWL - 20\log{r_2} - 11
\end{align}

그리고 (8)식을 일반화하면 아래와 같습니다.

\tag{9}
\begin{align}
L_{a} = PWL - 20\log{r}-11
\end{align}

따라서 PWL값만 알면 점음원에서 거리 r만큼 떨어진 지점의 음압레벨을 구할 수 있게 되는 것이죠. 그렇다면 PWL은 점음원으로부터 얼마의 거리에서 측정한 음압레벨에 해당할까요?

바로 4 \pi r_1^2 = 1로 설정했잖아요. 이것으로부터 r_1을 구하면 0.28 m가 나옵니다. 즉 점음원으로부터 0.28 m 떨어진 곳에서 측정된 음압레벨이 음향파워레벨 PWL에 해당합니다.

2-2. 선음원에서 소음의 거리감쇠 공식

선음원이란 자동차가 연속적으로 도로를 달려가거나, 열차가 철도 위를 달릴 때 발생하는 소리의 원천으로 보시면 됩니다. 다만 도로나 철도 근처에서는 선음원으로 간주할 수 있으나 아주 먼거리에서는 점음원으로 근사됩니다.

예를 들어 기차를 가까이서 보면 길다랗게 보이지만 아주 먼거리에서 보면 길다란 기차도 아주 작은 점으로 보이는 것과 같은 이치로 보시면 됩니다.

– 공식 유도

선음원에서 소음의 거리 감쇠 공식을 유도하는 방법은 기본적으로 점음원의 경우와 동일합니다.

다만 점음원의 경우에는 구면으로 파동이 퍼져나가지만 선음원은 원통형으로 파동이 퍼져나간다는 것이 가장 큰 차이입니다.

선음원으로부터 거리 r_1인 지점에서의 음압레벨을 L_{a1}, r_2인 지점에서의 음압레벨을 L_{a2}라고 했을 때 L_{a2}는 (5)식과 동일하게 표현됩니다.

그러나 (6)식에서는 구면파에 대한 소리의 세기를 다루었다면 이것을 원통형파에 대한 형태로 바꾸어주어야 합니다. 바로 아래 (10)식 처럼요.

\tag{10}
\begin{align}
{{{I_2}\over{I_1}}} &= {{{P \over {2 \pi {r_2}\times l}}\times A}\over{{{P \over {2 \pi {r_1}\times l}}\times A}}} ={{2 \pi r_1}\over{2\pi r_2}}\\
&={{p_2^2 /2\sigma v}\over{p_1^2 /2\sigma v}} = \Big({{p_2}\over{p_1}} \Big)^2
\end{align}

따라서 (10)식의 관계를 (5)식에 대입하면 다음과 같이 거리감쇠 식을 정리할 수 있습니다.

\tag{11}
\begin{align}
L_{a2} &= L_{a1} + 10\log \Big({{p_2}\over{p_1}}\Big)^2\\
&= L_{a1} + 10\log \Big({{2\pi r_1}\over{2 \pi r_2}}\Big)\\
&= L_{a1} + 10\log \Big({{r_1}\over{r_2}}\Big)
\end{align}

– 공식의 변형 사례

선음원에서도 점음원에서와 마찬가지로 PWL을 도입하여 (11)식을 변형할 수 있습니다. 이때는 (11)식의 가운데 공식에서 2 \pi r_1을 1로 두며, r_1인 지점에서의 음압레벨을 음향파워레벨 PWL로 둡니다.

\tag{12}
\begin{align}
L_{a2} &= PWL + 10 \log \Big({{1}\over{2\pi r_2}} \Big)\\
&=PWL + 10 \log \Big({{2\pi r_2}} \Big)^{-1}\\
&=PWL - 10 \log \Big({{2\pi r_2}} \Big)\\
&=PWL - 10\Big(\log 2\pi + \log{r_2 \Big)}\\
&=PWL - 8-10\log{r_2}\\
&=PWL - 10\log{r_2} - 8
\end{align}

(12)식을 일반화하면 아래 (13)식과 같습니다.

\tag{13}
\begin{align}
L_{a} = PWL - 10\log{r}-8
\end{align}

3. 소리의 거리감쇠 예제

(예제1) 점음원으로부터 r만큼 떨어진 지점에서 측정한 음압레벨이 65 dB이라고 했을 때, r의 두배만큼 떨어진 2r인 지점에서의 음압레벨은 얼마이겠는가?

(Sol) 이 문제는 (7)식에서 가장 마지막 공식을 적용하면 됩니다.

\tag{14}
\begin{align}
L_{a2} &= L_{a1} + 10 \log \Big({{r_1}\over{r_2}}\Big)^2\\
&= 65 ~\mathrm{dB}+ 10 \log \Big({{r}\over{2r}}\Big)^2\\
&=65 ~\mathrm{dB} + 20 \log ({{0.5}})\\
&=65 ~\mathrm{dB} + (-6.0~\mathrm{dB})\\
&=59~\mathrm{dB}
\end{align}

위 (14)식에서와 같이 59 dB이 나옵니다. 이와 같이 점음원의 경우 거리가 기준 위치로부터 두배 떨어지면 6.0 dB이 감소합니다.

(예제2) 선음원으로부터 r만큼 떨어진 지점에서 측정한 음압레벨이 60 dB이라고 했을 때, r의 두배만큼 떨어진 2r인 지점에서의 음압레벨은 얼마이겠는가?

(Sol) 이 문제는 (11)식에서 가장 마지막 공식을 적용하면 됩니다.

\tag{15}
\begin{align}
L_{a2} &= L_{a1} + 10 \log \Big({{r_1}\over{r_2}}\Big)\\
&= 60 ~\mathrm{dB}+ 10 \log \Big({{r}\over{2r}}\Big)\\
&=60 ~\mathrm{dB} + 10 \log ({{0.5}})\\
&=60 ~\mathrm{dB} + (-3.0~\mathrm{dB})\\
&=57~\mathrm{dB}
\end{align}

위 (15)식에서와 같이 57 dB이 나옵니다. 이와 같이 선음원의 경우 거리가 기준 위치로부터 두배 떨어지면 3.0 dB이 감소합니다.

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