상대속도

Last Updated on 2023-03-05 by BallPen

상대속도를 어떻게 정의하고 계산하는지 알아봐요.

상대속도(relative velocity)란 관찰자의 입장에서 측정한 대상물의 ‘상대적인 속도’를 말합니다. 여기서 ‘상대적인 속도’라는 표현은 대상물의 실제 속도와 다를 수도 있다는 것을 의미해요.

쉬운듯 하면서 어려운게 상대속도에요. 이번 글을 통해서 명확히 이해하면 좋겠습니다.

이제 시작할게요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 상대속도 의미

우선 속도(velocity)란 무엇인지 잠시 알아본 후 상대속도의 의미를 알아보겠습니다.

1-1. 속도

물체의 속도란 관찰자가 구한 대상 물체의 빠르기와 방향을 말합니다. 이때 관찰자는 보통 정지상태에서 물체의 속도를 구하게 되죠.

아래 [그림 1]은 정지상태의 사람이 달려가는 자동차를 바라보는 모습입니다.

[그림 1] 정지상태의 관찰자가 자동차의 속도를 측정합니다.
[그림 1] 정지상태의 관찰자가 자동차의 속도를 측정합니다.(클립아트 출처: creazilla)

이때 사람은 관찰자가 되고 달려가는 자동차는 대상 물체가 됩니다.

정지 상태의 사람은 어느 시간 \Delta t 동안 자동차의 변위 \Delta \vec s를 측정하고 아래의 (1)식을 통해 속도를 구하죠.

\tag{1}
\vec v= {{{\Delta \vec s}}\over{\Delta t}}

예를 들어, 1 s 동안 자동차가 +x축 방향으로 30 m를 이동하고 있다면 자동차의 속도는 x축 방향으로 \vec v=30~\mathrm{m/s}가 됩니다.

이와 같이 정지상태의 관찰자가 측정한 물체의 빠르기와 방향을 속도라고 말합니다.

1-2. 상대속도

그렇다면 상대속도란 무엇일까요?

아래 [그림 2]에는 두 대의 자동차가 있습니다.

[그림 2] 상대속도. 파랑색 자동차에서 관찰한 빨강색 자동차의 속도를 상대속도라고 합니다. 물론 빨강색 자동차에서 관찰한 파랑색 자동차의 속도도 상대속도가 됩니다.
[그림 2] 상대속도. 파랑색 자동차에서 관찰한 빨강색 자동차의 속도를 상대속도라고 합니다. 물론 빨강색 자동차에서 관찰한 파랑색 자동차의 속도도 상대속도가 됩니다.

그 중에 파랑색 자동차 A의 운전자는 자신의 자동차가 멈춰있는지 일정한 속도로 움직이고 있는지 전혀 알 수 없다고 생각해보세요.

물론 실제로는 자동차 주변의 풍경 변화를 보면 자신이 움직이고 있는 것을 알겠지만 주변 풍경을 전혀 알 수 없다고 가정하겠습니다. 바람소리도 전혀 들리지 않아요.

그러면 A자동차에 타고 있는 사람은 자신이 멈춰있는지 움직이는지 전혀 알 수 없어요.

이러한 상황에서 A자동차에 타고 있는 사람이 앞에 있는 빨강색 자동차 B의 속도를 측정했다고 가정하겠습니다.

그랬더니 [그림 2]와 같이 5~\mathrm{m/s}의 속도로 오른쪽 방향으로 점점 멀어진다는 것을 알게 되었어요.

이와 같이 어느 관찰자의 관점에서 상대 물체의 빠르기와 방향을 측정한 값을 ‘상대속도’라고 합니다.

상대속도의 표기는 아래첨자를 활용하는데요. 만일 A 자동차의 관찰자가 B자동차의 속도를 관찰한다면 상대속도를 \vec v_{BA}로 보통 표기합니다.

그래서 [그림 2]의 경우 자동차 A가 자동차 B의 속도를 측정한 상대속도 \vec v_{BA}는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\vec v_{BA} = 5~\mathrm{m/s}~(오른쪽 방향)

이번에는 반대로 빨강색 자동차 B에 탄 사람이 파랑색 자동차 A의 상대속도를 관찰한다면 얼마가 될까요?

네 맞습니다. 왼쪽으로 5~\mathrm{m/s}의 빠르기로 점점 멀어진다고 측정될 거에요.

이와 같이 상대속도는 관찰자와 물체의 역할이 바뀌면 빠르기는 동일하되 방향은 반대가 됩니다.

즉, 다음의 관계가 성립합니다.

\tag{2}
\vec v_{BA} = - \vec v_{AB}

2. 상대속도 공식과 벡터 해석

지금까지 속도와 상대속도에 대해 말씀드렸습니다.

한번 더 정리하면, 속도란 정지한 관찰자가 대상 물체의 빠르기와 방향을 측정한 값으로서 실제적인 값입니다. 이에 비해 상대속도란 정지 상태 또는 등속으로 움직이는 어느 관찰자가 대상 물체의 빠르기와 방향을 측정한 값으로 상대적인 값입니다.

따라서 관찰자가 정지상태라면 대상 물체의 상대속도와 실제속도는 동일합니다. 하지만 관찰자가 움직이는 상태라면 대상물체의 상대속도와 실제속도는 서로 다른 값이 됩니다.

예를 들어 자동차 A의 실제 속도를 \vec v_A, 자동차 B의 실제 속도를 \vec v_B라고 한다면 상대속도 \vec v_{BA}는 다음과 같이 정의됩니다.

\tag{3}
\vec v_{BA} = \vec v_B - \vec v_A

결국 (3)식에 따르면 관찰자가 정지상태여서 \vec v_A가 0이라면 상대속도 \vec v_{BA}와 물체의 속도 \vec v_B는 서로 같습니다. 하지만 \vec v_A가 0이 아니라면 \vec v_{BA}\vec v_B는 서로 다를 수 밖에 없습니다.

예를 들어 자동차 A\vec v_A = 30 ~\mathrm{m/s}, 자동차 B\vec v_B = 35 ~\mathrm{m/s}로 움직여도 상대속도 \vec v_{BA} = 5 ~\mathrm{m/s}를 만족하며, 자동차 A\vec v_A = 20 ~\mathrm{m/s}, 자동차 B\vec v_B = 25~ \mathrm{m/s}로 움직여도 상대속도 \vec v_{BA} = 5 ~\mathrm{m/s}를 만족하기 때문입니다.

결국 모든 물체 사이의 속도 관계를 완전히 이해하기 위해서는 전체를 설명할 수 있는 상대속도 공식이 필요합니다.

2-1. 상대속도 공식

아래 [그림 3]은 정지상태의 관찰자 O, 달려가는 파랑색 자동차 A, 그리고 달려가는 빨강색 자동차 B를 보여주고 있습니다.

[그림 3] 세 물체 사이의 상대 속도를 통해 모든 물체의 속도 관계를 이해할 수 있습니다.
[그림 3] 세 물체 사이의 상대 속도를 통해 모든 물체의 속도 관계를 이해할 수 있습니다.

그런데 정지상태의 관찰자에 대한 자동차 A의 상대속도가 \vec v_{AO} = 30~\mathrm{m/s}이고 , 자동차 A에 대한 자동차 B의 상대속도가 \vec v_{BA} = 5~\mathrm{m/s}로 주어져 있어요.

이때 관찰자 O가 정지해 있으므로 상대속도 \vec v_{AO}는 자동차 A의 실제 속도와 같음을 이해하셔야 합니다.

그렇다면 정지상태의 관찰자 O에 대한 자동차 B의 상대 속력 \vec v_{BO}는 얼마가 될까요?

이를 풀기 위해서는 다음의 상대속도 공식이 활용됩니다.

\tag{4}
\vec v_{BO} = \vec {v}_{B \color{red}A} + \vec {v}_{\color{red} {A} \color{black} O}

(4)식은 얼핏보면 상당히 복잡해 보이는데요. 뜯어보면 생각보다 단순합니다.

우리가 구하려고 하는 상대속도가 \vec v_{BO}로서 아래첨자가 BO로 주어져 있습니다. 그래서 (4)식 우변의 상대속도 관계의 아래첨자가 B부터 시작해서 O로 끝난다고 보시면 됩니다.

(4)식에 빨강색으로 표시한 것처럼 그 사이에 있는 기호는 서로 같아야 합니다. 이게 서로 다르면 안됩니다. 꼭 이것을 지켜주어야 해요.

정말 (4)식을 이용하면 세 물체 사이의 속도 관계를 모두 이해할 수 있을까요? [그림 3]의 관계를 토대로 \vec v_{BO}를 구해보겠습니다.

\tag{5}
\begin{align}
\vec v_{BO} &= \vec {v}_{B \color{red}A} + \vec {v}_{\color{red} {A} \color{black} O}\\
&=5~\mathrm{m/s} + 30~\mathrm{m/s}\\
&=35~\mathrm{m/s}
\end{align}

위와 같이 \vec v_{BO}=35~\mathrm{m/s}입니다. 이 값도 정지상태의 관찰자 O가 자동차 B의 상대 속도를 측정한 것이므로 실제 속도와 동일하다는 것을 이해하실 것입니다.

2-2. 벡터를 이용한 상대속도 해석

지금까지 상대속도를 이야기 하며 다양한 이야기를 했는데요. 모두 1차원상에서의 운동만을 다루었습니다.

이를 평면 운동이나 공간 운동으로 확장하기 위해서는 벡터의 합 관계를 이용하면 편리합니다. 그러니까 (4)식에 주어진 상대속도들이 모두 벡터이니 이를 벡터 화살표로 나타내어 연산하면 더욱 쉽다는 이야기 입니다.

즉, (5)식의 연산 관계를 벡터 화살표로 계산하면 다음 [그림 4]와 같습니다.

[그림 4] 상대속도 벡터의 합. 빨강색과 파랑색의 상대속도 벡터 화살표를 합하면 아래의 검정색 화살표가 됩니다.
[그림 4] 상대속도 벡터의 합. 빨강색과 파랑색의 상대속도 벡터 화살표를 합하면 아래의 검정색 화살표가 됩니다.

그렇다면 이번에는 [그림 3]에서 A가 관찰한 O의 상대속도 \vec v_{OA}를 구해볼까요? 일단 (4)식을 참고해서 수식을 만들면 됩니다.

그러면 다음의 관계가 되겠군요.

\tag{6}
\vec v_{OA} = \vec v_{O \color {red}B} + \vec v_{\color{red} B \color{black}A}

공식의 우변 아래첨자가 O로 시작해서 A로 끝나면 됩니다. 그리고 그 사이에 있는 것은 동일한 기호가 들어가도록 수식을 만들면 됩니다.

지금까지 도출한 구체적인 값들을 대입하여 풀면 아래와 같습니다. 이때 첨자의 순서가 바뀌면 (2)식에 따라 앞에 음수가 붙는 것을 기억하세요.

\tag{7}
\begin{align}
\vec v_{OA} &= \vec v_{O \color {red}B} + \vec v_{\color{red} B \color{black}A}\\
&=-\vec v_{BO} + \vec v_{\color{black} B \color{black}A}\\
&= -35~\mathrm{m/s} + 5~\mathrm{m/s}\\
&=-30~\mathrm{m/s}
\end{align}

즉 자동차 A에 있는 사람은 나무위에 앉아있는 사람이 뒤쪽으로 30 m/s의 빠르기로 멀어지는 것으로 보이게 됩니다. 물론 자동차 안에 있는 사람은 자기 자신이 움직이고 있는지를 모른다고 항상 생각해야 합니다.

이번에는 벡터를 이용해서 풀어볼게요.

[그림 5] 상대속도 벡터의 합. 빨강색과 파랑색의 상대속도 벡터 화살표를 합하면 아래의 검정색 화살표가 됩니다.
[그림 5] 상대속도 벡터의 합. 빨강색과 파랑색의 상대속도 벡터 화살표를 합하면 아래의 검정색 화살표가 됩니다.

(7)식과 동일한 결과가 얻어진 것을 알 수 있습니다.

그러면 조금 더 복잡한 평면운동에서의 상대속도를 생각해볼텐데요. 그것은 아래의 예제를 직접 풀면서 설명드리겠습니다.

3. 상대속도 예제

평면운동에서의 상대속도 예제입니다. 일단 문제 상황을 만들어볼게요.

이곳은 주변이 하얀색 눈으로 덮여있는 평지 지역입니다. 그래서 마찰력을 무시할 수 있는 곳이에요. 그런데 이곳에는 군부대의 본부가 있습니다. Jennie가 본부 건물안에 근무하고 있어요.

하루는 Tom에게 주변을 정찰해달라고 부탁했어요. 그래서 Tom은 눈썰매 자동차를 탔고 Jennie가 뒤에서 Tom의 눈썰매 자동차를 동쪽방향으로 힘껏 밀었답니다.

그래서 Tom의 눈썰매 자동차가 Jennie로부터 일정한 빠르기로 멀어지고 있어요. 건물앞에 있는 Jennie는 서둘러 Tom의 자동차 속도를 측정했습니다. 그 결과 Jennie가 바라본 Tom의 이동속도는 동쪽방향 \vec v_{TJ} = 13.0~\mathrm{m/s}로 측정되었어요.

물론 Tom은 자신이 타고 있는 눈썰매 자동차의 속도를 전혀 알지 못해요.

한참을 달려가던 Tom은 드디어 적군인 Kevin을 만났습니다. Tom은 Kevin 눈썰매 자동차의 속도를 측정했어요. 그 결과 Tom이 바라본 Kevin의 눈설매 자동차는 남북축을 기준으로 30~^{\circ} 방향인 동북쪽에서 남서쪽 방향으로 \vec v_{KT} = 26.0~\mathrm{m/s} 빠르기로 이동한다는 것을 알게 되었어요.

그래서 Tom은 이 상황을 본부에 있는 Jennie에게 무선으로 알렸습니다. 그렇다면 Jennie는 이 상황을 어떻게 해석해야 할까요? 과연 Kevin은 어느 방향으로 얼마의 속도로 이동하고 있는걸까요?

Jennie는 자신이 알고 있는 것과 Tom이 무선으로 알린 내용을 잘 정리해야 합니다. 그리고 상대속도 수식을 만들어야 해요.

Jennie 입장에서는 적군인 Kevin의 이동 속도가 궁금한 것이니 \vec v_{KJ}을 구하는 식을 만들면 됩니다.

\tag{q-1}
\vec v_{KJ} = \vec v_{KT} + \vec v_{TJ}

위 상대속도 식에 따라 문제를 풀면 되는데요. 쉽게 풀기 위해 벡터 화살표로 풀어보겠습니다.

[그림 6] 벡터를 이용한 상대속도 문제 풀이
[그림 6] 벡터를 이용한 상대속도 문제 풀이

[그림 6]의 위쪽 그림은 Jennie가 알고 있는 \vec v_{TJ} 벡터와 Tom으로부터 설명들은 \vec v_{KT}의 벡터들입니다. 그리고 아래쪽 삼각형은 그 두 벡터들의 합벡터 \vec v_{KJ}를 검은색 화살표로 나타낸 거에요.

그림과 같이 Jennie의 입장에서 Kevin의 실제 속도는 22.5 m/s이며 이동 방향은 남쪽 방향임을 알 수 있어요. 그래서 남쪽 방향으로 병사들을 보내야 해요.

그렇다고 Tom이 측정한 Kevin의 속도와 방향이 틀렸다고 생각하면 안돼요. Tom 입장에서는 자신이 얼마로 움직이는지 모르고 있는 상태에서 Kevin의 썰매 자동차 속도를 상대적으로 측정한 것 뿐이니까요.

지금까지 상대속도에 대해 말씀을 드렸습니다. 상대속도에 대해 어느정도 이해가 되었을 것이라고 생각해요. 이제는 주변에서 접할 수 있는 다양한 문제들을 많이 풀어보세요.

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