아인슈타인 가정 : 특수 상대성 이론

Last Updated on 2023-03-17 by BallPen

특수 상대성 이론의 출발점인 아인슈타인 가정을 알아보겠습니다.

아인슈타인 가정(Einstein’s postulates)은 상대성 원리와 광속 불변의 법칙을 말하며 특수 상대성 이론의 출발이 되는 중요한 가정들입니다.

간혹 ‘아인슈타인 가정’을 ‘아인슈타인 가설’로 부르기도 해요.

물론 아인슈타인 가정은 그 유명한 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)에 의해 제안되었는데요.

우리가 보통 살아가는 세상에서 상식적으로 이해하기 어려운 가정들이지만 상당히 흥미롭고 재밌어요. 또한 이 글을 통해 물체가 빛의 속력으로 이동할 수 없다는 속력 한계에 대해서도 알게 됩니다.

함께 시작해보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 아인슈타인 가정

아인슈타인은 특수 상대성 이론을 만들었습니다.

특수상대성 이론은 빛의 속력과 가깝게 상대 운동하는 관성기준계 사이에서 벌어지는 물리 현상을 다루는데요.

이때 관성기준계란 관성의 법칙을 포함한 뉴턴의 법칙이 성립하는 계를 말합니다. 계가 정지해 있거나 등속직선운동을 하면 관성기준계가 돼요.

아인슈타인은 특수상대성 이론을 만들면서 유명한 두 개의 가정을 합니다.

이 가정들은 관성기준계에서 물리 법칙은 서로 동일하게 나타난다는 물리 법칙의 불변성에 기초를 두고 있어요.

하나 하나 알아보겠습니다.

1-1. 첫 번째 아인슈타인 가정 : 상대성 원리

아인슈타인의 첫번째 가정입니다.

모든 관성 기준계에서 물리 법칙들은 서로 동일하다.

이 가정은 상대성 원리(principle of relativity)로 불리는데요. 등속으로 움직이는 계와 정지해 있는 계는 모두 관성계이므로 뉴턴 운동의 법칙은 서로 동일하게 나타난다는 의미입니다.

예를 들어 지면 위 정지 상태의 누군가가 사과를 수직 위로 던지면 바로 그 자리로 다시 떨어집니다. 이러한 현상은 등속으로 달리는 기차 안에서도 성립해요. 그곳에서도 사과를 수직 위로 던지면 바로 그 자리로 떨어집니다.

이와 같이 관성기준계에서 역학 법칙은 동일하게 나타나므로 본인이 정지해 있는지 아니면 등속으로 움직이고 있는지 알 수 있는 방법이 없어요. 이것을 관성기준계에서 물리 법칙의 불변성이라 합니다.

그런데 지금까지 설명드린 내용은 과거 갈릴레이의 상대성 이론으로 이미 정립된 개념이었어요.

그런데 아인슈타인이 특별히 이 개념을 다시 언급한 이유는 역학 법칙만을 설명하는 갈릴레이의 상대성 이론을 전자기학 법칙까지 확장하기 위해서였어요.

즉, 갈릴레이 상대성 이론에 따르면 관성기준계에서 뉴턴 운동의 법칙이 똑같이 성립하므로, 빛과 관련된 전자기 현상도 관성기준계에서 모두 동일하게 나타날 것이라고 아인슈타인이 가정한거에요.

예를 들어 패러데이 전자기 유도법칙을 생각해봐요.

코일을 정지시키고 자석을 상대운동하던, 아니면 자석을 정지시키고 코일을 상대 운동하던 패러데이 전자기 유도법칙에 의해 생성되는 유도전압은 모든 관성기준계에서 동일하게 나타납니다.

결국 빛과 관련된 전자기 법칙들도 관성기준계에서 서로 동일하게 성립한다고 가정했던거에요. 역학 법칙만을 다루던 갈릴레이의 상대성 이론을 더욱 일반화 한 개념으로 보면 됩니다.

1-2. 두 번째 아인슈타인 가정 : 광속 불변의 법칙

아인슈타인의 두번째 가정입니다.

진공중에서 빛의 속력은 모든 관성기준계에서 동일하며 광원의 운동과도 관련이 없다.

이 가정은 광속 불변의 법칙(Constancy of the velocity of light, 광속 불변의 원리)으로 불리는데요.

이 두번째의 가정은 앞서 언급한 것처럼 빛을 포함한 전자기 법칙들이 모든 관성기준계에서 동일하게 성립한다면, 빛의 속력도 광원의 운동과 무관하게 관성기준계에서 모든 방향에 대해 똑같아야 한다는 개념을 도입합니다.

모든 관성기준계에서 사과를 위로 던져 그대로 아래에서 받아낼 수 있듯이, 빛의 속력도 정지한 관성기준계나 등속으로 이동하는 관성기준계나 모두 동일해야 한다는 가정이에요.

그런데 사실 이 가정은 우리가 익히 알고 있는 상식과 부합하지 않아요.

우리의 상식에 따르면(전통적인 갈릴레이 변환 관계에 따르면) 20 m/s의 속력으로 달리는 버스 안에서 파리 한 마리가 버스가 달려가는 방향으로 2 m/s의 빠르기로 날아간다고 했을때, 버스 밖에 있는 정지한 사람은 그 파리의 속도를 22 m/s로 관측하게 돼죠.

이를 수식으로 전개하면 다음과 같습니다.

정지한 사람 S가 관찰한 파리 F의 상대 속도을 v_{FS}, 버스 B안에서 관찰한 파리 F의 상대 속도를 v_{FB}, 정지한 사람 S가 관찰한 버스 B의 상대 속도를 v_{BS}라고 했을 때 상대 속도 v_{FS}는 아래와 같이 구해요.

\tag{1}
\begin{align}
v_{FS} &= v_{FB} + v_{BS} \\
&=2~\mathrm{m/s} + 20~\mathrm{m/s}\\
&=22~\mathrm{m/s}
\end{align}

(1)식과 같이 계산하는 갈릴레이 변환은 우리 상식과 아주 잘 부합한니다.

그런데 아인슈타인 가정 두번째를 적용하면 갈릴레이 변환에 따른 이러한 상식이 성립하지 않아요.

갈릴레이 변환이 아인슈타인 가정을 만족시키지 못해요.

이에 대해 더욱 자세히 알아 보겠습니다.

[갈릴레이 변환과 아인슈타인 가정]

아래 [그림 1]을 보아 주세요.

일정한 빠르기로 날아가는 비행기가 있어요. 속도가 일정하므로 비행기안의 공간은 관성기준계에요. 또한 제니도 지구상에 정지해 있으므로 관성기준계입니다.

이때 제니(Jennie) J가 바라본 비행기(Flight) F의 속도 v_{FJ}는 0.2~ c로 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 날아가고 있어요.

여기서 c는 빛의 속력을 뜻하며 3.0 \times 10^{8}~\mathrm{m/s}의 빠르기를 갖습니다.

한편 날아가던 비행기 F가 앞쪽으로 레이저(laser) L을 발사했는데요. 비행기 F에서 바라본 이 레이저 L의 속도 v_{LF}는 빛의 속도인 c입니다.

이 경우 지면에 있는 제니 J가 바라보는 레이저 L의 속도 v_{LJ}는 갈릴레이 변환에 의해 다음과 같이 1.2~ c로 주어집니다.

\tag{2}
\begin{align}
v_{LJ} &= v_{LF} + v_{FJ} \\
&=1.0~c~ + 0.2~c\\
&=1.2~c
\end{align}

즉 발사된 레이저 빛의 속도는 비행기의 속도를 합한 속도가 된다는 것이죠.

그러나 이 결과는 아인슈타인의 두번째 가정에 어긋납니다. 그 이유는 빛의 속력은 모든 관성기준계에서 광원의 이동과 무관하게 항상 1.0~ c로 일정하게 관측되어야 한다고 가정했기 때문이에요.

즉, 두번째 가정에 따르면 비행기에서 발사한 레이저의 속도 v_{LF}는 1.0 ~c가 되어야 하고, 제니가 바라본 레이저의 속도 v_{LJ}도 1.0~ c가 되어야 해요.

결국 아인슈타인 가정을 성립시키기 위해서는 갈릴레이 변환은 적당하지 않아요.

그래서 아인슈타인 가정이 올바르게 성립하도록 나중에 로렌츠 변환 관계식이 만들어져요. 로렌츠 변환에 대해서는 나중에 다른 글에서 따로 설명드리겠습니다.

일단 이해하기 힘들겠으나, 이번 글에서는 특수 상대성 이론의 출발이 되는 아인슈타인 가정을 다루고 있으므로 이에 대해 집중하겠습니다.

2. 속력의 한계

아인슈타인 가정 두번째를 적용하면 우리가 달릴 수 있는 속력의 한계가 무엇인지 알 수 있어요.

아래의 [그림 2]를 보아 주세요.

이 그림은 [그림 1]과 비슷합니다.

다만, 아인슈타인 가정 두번째를 반영하여 관성기준계인 비행기에서 바라본 레이저의 속력 v_{LF}도 1.0 ~c이고, 관성기준계인 제니가 바라본 레이저의 속력 v_{LJ}도 1.0~ c로 표기하였어요.

갈릴레이 변환에 익숙한 우리에게는 이러한 상황이 많이 어색하겠지만 아인슈타인의 가정을 반영하면 [그림 2]가 성립되어야 해요.

일단 그렇다고 받아들여 보세요.

이러한 상황에서 만일 제니가 바라본 비행기의 속력 v_{FJ}가 1.0~ c라고 생각해보세요.

그러면 제니 입장에서 비행기의 속도와 비행기에서 발사한 레이저의 속도가 모두 1.0~ c이기 때문에 공간상의 동일한 지점을 비행기와 레이저가 동시에 통과하게 된다는 논리가 만들어 집니다.

그러나 비행기 입장에서는 발사한 레이저의 속도가 1.0~ c이기 때문에 공간상의 동일한 지점을 비행기와 레이저가 동시에 통과하는 것은 불가능하고 레이저가 먼저 통과되어야 합니다.

결국 모순적 상황이 만들어져 버립니다.

그래서 공간상의 동일한 지점을 레이저가 먼저 통과하고 나중에 비행기가 통과하기 위해서는 또 하나의 개념 정립이 필요합니다.

그게 무엇이냐면 비행기는 절대로 빛의 속력 c로 날아갈 수 없다는 거에요. 움직일 수 있는 속력의 한계가 존재한다는 의미입니다.

이것을 일반화된 문구로 표현하면 다음과 같습니다.

모든 관성기준계의 관측자에 대해 진공중에서의 빛의 속력인 \bf c로 움직이는 것은 불가능하다.

그래서 빛의 속도로 물체는 움직일 수 없습니다. 단지 빛의 속도에 가까워질 수 있을 뿐이죠.

지금까지 특수 상대성 이론의 출발이 된 아인슈타인의 가정 두가지를 알아보았습니다. 현재로서는 많이 이해하기 힘들겠지만 다양한 실험에 따르면 이러한 가정은 모두 옳다는 것이 밝혀지고 있습니다.

역시 아인슈타인은 천재가 맞습니다.

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