파동에너지

Last Updated on 2025-06-29 by BallPen

파동이 한 주기 동안 전달하는 에너지, 즉 평균 일률이 무엇에 의존하는지 알아봐요.

파동에너지, 즉 파동이 전달하는 에너지 식이 어떻게 표현되는지 유도해보고 그 의미를 알아보도록 해요.

결론부터 말씀드리면 조화진동하는 파동이 한주기 동안 전달하는 평균 파동에너지(또는 평균 일률) \(<E>\)는 다음 식으로 주어집니다. 평균을 취하는 이유는 한 주기 동안 파동에너지가 계속 변하기 때문이에요.

\begin{align}
\tag{D1}
<E> ={1 \over 2} m\omega_0^2 A^2
\end{align}

여기서 \(m\)은 조화진동하는 물체의 질량, \(\omega_0\)는 진동의 자연진동수, \(A\)는 진동 진폭을 뜻해요.

이제부터 위 (D1)식이 어떻게 유도되는지 알아보도록 해요.

1. 빗방울이 만드는 파동

아래 버튼을 클릭하면 동영상이 나옵니다. 이 동영상을 보시면 3분 5초부터 빗방울이 물에 떨어지는 영상을 볼 수 있는데요

빗방울 낙하 지점을 중심으로 원형의 파동이 주변으로 퍼져 나가는 것을 볼 수 있어요. 이 현상은 빗방울의 운동에너지가 파동에너지로 변환된 후 주변으로 전파되기 때문이에요.

다시 말해 에너지 보존의 관점에서 보면 빗방울의 운동에너지가 물의 위치에너지로 바뀌고, 이 위치에너지는 파동에너지로 변환되어 주변으로 에너지를 전달하는 원리입니다.

그렇다면 파동이 전달하는 한 주기 동안의 에너지는 어떻게 될까요?

2. 한주기 동안의 파동에너지 : 평균 일률

아래 [그림 1]은 용수철상수 \(k\)인 용수철에 질량 \(m\)인 물체가 위아래로 조화진동하는 모습을 나타낸 거에요. 그런데 이 진동이 오른쪽 사인꼴 모양 처럼 매질을 통해 주변으로 전파된다면 그것이 파동이에요.

즉, 진행파가 되는 거에요.

따라서 파동이 전달하는 에너지는 위아래로 진동하는 물체의 에너지와 같게 될 것임을 알 수 있어요. 왜냐면 진동하는 물체의 에너지가 주변으로 연속적으로 퍼쳐나가는 것이 파동이니까요.

그렇다면 한 주기 동안 파동이 전달하는 평균 에너지, 즉 평균 일률을 구해보도록 해요.

이를 위해 용수철에 매달린 물체가 계속 진동하는 동안 총에너지가 일정하게 유지된다고 가정하겠습니다. 즉, 진동자가 계속 진동하도록 외부에서 에너지가 계속 유입된다는 뜻이에요.

그러면 진동자의 총에너지는 일정하지만 매 시간 운동에너지와 위치에너지는 연속적으로 변화됩니다. 따라서 파동이 전달하는 에너지도 수직방향의 운동에너지와 위치에너지가 연속적으로 변해요.

따라서 한 주기 동안의 파동에너지 계산을 위해서는 진동자의 운동에너지 평균값과 위치에너지 평균값을 각각 구해보는 것이 중요해요. 그리고 그 두 에너지의 합이 한 주기동안 주변으로 전달하는 파동 에너지와 같을테니까요.

2-1. 한 주기 동안의 운동에너지 평균

[그림 1]처럼 조화진동하는 물체의 시간에 따른 변위 식은 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-1}
x(t) = A \sin (\omega_0 t + \phi_0)
\end{align}

여기서 \(A\)는 진폭이고, \(\omega_0\)는 용수철의 자연진동수, 그리고 \(\phi_0\)는 초기 위상입니다. 이때 \(\omega_0\)는 다음식으로 주어집니다.

\begin{align}
\tag{2-2}
\omega_0 = \sqrt{k \over m}
\end{align}

한편 주기함수의 평균값 식을 이용하면 운동에너지의 한 주기 \(T_0\)동안의 평균 \(<K>\)는 다음과 같이 구할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{2-3}
<K> &= {1 \over T_0} \int_0^{T_0} K dt\\
&={1 \over T_0} \int_0^{T_0} {1 \over 2} m v^2 dt
\end{align}

윗 식에서 속도 \(v\)는 (2-1)식을 시간으로 미분하면 구할 수 있어요. 그 결과는 아래 (2-4)식과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-4}
v(t) = \omega_0 A \cos (\omega_0 t + \phi_0)
\end{align}

(2-4)식을 (2-3)식에 대입하고 정리해 볼께요. 이때 계산의 편리를 위해 초기 위상 \(\phi_0\)는 0으로 처리하겠습니다.

\begin{align}
\tag{2-5}
<K> &={1 \over T_0} \int_0^{T_0} {1 \over 2} m \Big( \omega_0 A \cos (\omega_0 t + \phi_0) \Big)^2 dt\\
&= {1 \over 2} m \omega_0^2 A^2 {\color{blue}{{1 \over T_0} \int_0^{T_0} \cos^2 (\omega_0 t) dt}}
\end{align}

그리고 윗 식에서 파랑색으로 주어진 코사인 제곱 함수의 평균은 1/2입니다. 이를 반영하면 최종적으로 운동에너지의 평균값은 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-6}
<K> = {1 \over 4} m \omega_0^2 A^2
\end{align}

2-2. 한 주기 동안의 위치에너지 평균

이번에는 한 주기 동안의 위치에너지 평균값을 구해보겠습니다.

조화진동자의 위치에너지(탄성퍼텐셜에너지)는 다음 (2-7)식과 같아요. 이때 \(x\)에 (2-1)의 변위식을 대입하면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-7}
V(x) &= {1 \over 2} kx^2\\
&= {1 \over 2} k\big(A\sin(\omega_0 t + \phi_0) \big)^2\\
&={1 \over 2} kA^2 \sin^2(\omega_0 t)
\end{align}

위 식에서도 초기위상 \(\phi_0\)는 0으로 간주하였습니다. 위치에너지도 시간에 따라 주기적으로 변하니 평균을 구해보도록 해요.

\begin{align}
\tag{2-8}
<V> &= {1 \over T_0} \int_0^{T_0} Vdt\\
&={1 \over T_0} \int_0^{T_0} {1 \over 2} {\color {red}k}A^2 \sin^2 (\omega_0 t) dt\\
&={1 \over 2} {\color{red}{m \omega_0^2}} A^2 {\color{blue}{{1 \over T_0} \int_0^{T_0} \sin^2 (\omega_0 t) dt}}
\end{align}

위 식에서 빨강색 수식은 (2-2)식을 대입한 거에요. 그리고 파랑색으로 주어진 사인 제곱 함수의 평균은 1/2입니다. 이를 반영하면 위치에너지의 평균값은 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-9}
<V> = {1 \over 4} m\omega_0^2A^2
\end{align}

2-3. 한주기 동안의 운동에너지와 위치에너지 평균의 합

마지막으로 한주기 동안 파동이 전달하는 에너지의 평균적 크기를 구하기 위해 운동에너지 평균과 위치에너지 평균을 더해보도록 하겠습니다.

즉 (2-6)식과 (2-9)식을 합해보면 아래와 같아요.

\begin{align}
\tag{2-10}
<E>=<K>+<V>&={1 \over 4} m \omega_0^2 A^2 + {1 \over 4} m \omega_0^2 A^2\\
&={1 \over 2} m \omega_0^2 A^2
\end{align}

위 식처럼 한 주기 동안 파동에너지, 즉 파동이 전파하는 에너지 크기는 각진동수 \(\omega_0^2\)에 비례하고 진폭 \(A^2\)에 비례함을 알 수 있습니다.

한편 위 (2-10)식에서 \(m \omega_0^2\)은 용수철 상수 \(k\)와 같으므로 다음 식처럼 바꾸어 쓸 수 있어요.

\begin{align}
\tag{2-11}
<E> = {1 \over 2} kA^2
\end{align}

위 식은 진폭이 \(A\)인 용수철이 갖는 위치에너지와 동일하다는 것을 알 수 있어요. 결국 파동이 한주기 동안 전달하는 에너지, 즉 평균 일률은 조화진동자의 최대 위치에너지와 동일합니다.

3. 줄 위의 파동에너지

지금까지는 파동이 전달하는 에너지를 조화진동하는 물체의 진동으로 해석해서 한주기 동안 파동이 전달하는 에너지가 (2-10)식으로 주어짐을 설명드렸어요.

이번에는 조금 더 현실적인 상황으로 장력 \(F\)로 당겨진 줄(또는 당겨진 용수철) 위에서 횡파가 전파해 나갈 때 파동이 전달하는 에너지를 구해보겠습니다.

즉, 장력 \(F\)로 당겨진 줄이 있는데 여러분들이 한쪽 끝을 잡고 위 아래로 빠르게 움직이면 횡파가 형성되어 줄을 타고 전달해 가는 것을 상상할 수 있을 거에요.

이때 파동이 전달하는 에너지는 (2-10)식을 그대로 적용하면 됩니다.

다만, 질량이 일정한 조화진동자와 달리 줄의 경우에는 한 주기당 진동에 참여하는 질량이 시간에 따라 변하고 선을 따라 길게 분포하므로 선밀도와 한 주기당 질량 개념을 활용해 표현해야 합니다.

선밀도 \(\mu\)는 단위길이 \(L\)당 질량 \(m\)으로 다음과 같이 정의됩니다.

\begin{align}
\tag{3-1}
\mu = {m \over L}
\end{align}

한편 줄 위에서 파동의 전파 속력은 다음 식으로 주어져요.

\begin{align}
\tag{3-2}
v = {F \over \mu}
\end{align}

위 (3-2)식의 양변에 \(\sqrt{\mu}\)를 곱해보세요.

\begin{align}
\tag{3-3}
\sqrt{\mu} v = \sqrt{{F \over \mu}\times \mu} = {1 \over{\sqrt{\mu}}} \sqrt{\mu F}
\end{align}

그리고 정리하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{3-4}
\mu v = \sqrt{\mu F}
\end{align}

그리고 위 식의 좌변에 (3-1)식을 대입해 볼게요.

\begin{align}
\tag{3-5}
{m \over L} v = \sqrt{\mu F}
\end{align}

그리고 윗 식에서 \(L\)을 한 파장당 이동한 거리로 본다면 \(L=vT_0\) 관계가 성립됩니다. 여기서 \(v\)는 파동의 전파 속력, \(T_0\)는 파동의 한 주기입니다.

\begin{align}
\require{cancel}
\tag{3-6}
{m \over{{\cancel v}T_0}} {\cancel v} = \sqrt{\mu F}
\end{align}

결국 한 주기당 질량 \(m^{\prime}\)은 다음 식과 같이 주어집니다.

\begin{align}
\tag{3-7}
m^{\prime}={m \over T_0} = \sqrt{\mu F}
\end{align}

그리고 위 \(m^{\prime}\)을 (2-10)식의 질량 \(m\)에 대입하면 줄 위의 사인파가 한 주기 동안 전달하는 에너지, 즉 평균 일률은 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{3-8}
<E>=P_{\rm av} = {1 \over 2} \sqrt{\mu F} \omega_0^2 A^2
\end{align}

지금까지 한주기 동안 파동이 전달하는 파동에너지, 즉 평균 일률에 대해 말씀드렸어요. 이에 따르면 역학적 파동은 진동수가 2배가 되면 평균 일률은 4배이며, 진폭이 2배가 되어도 평균 일률은 4배 커집니다.

하지만 전자기파의 경우에는 달라요. 전자기파는 진폭의 제곱에 비례하지만 진동수와는 무관해요. 이 점을 꼭 기억하세요.