속박전하 예제 - ilovemyage

BallPen · 2025-01-14T22:17:43+09:00

속박전하 예제 하나를 풀어보겠습니다. 균일하게 편극된 구에 의한 전위와 전기장을 구하는 문제입니다. 편극된 구 내부의 전기장은 편극밀도와 반대방향을 갖는 상수벡터로 주어지며, 구 외부의 전기장은 전기쌍극자에 의한 전기장과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

Last Updated on 2025-01-15 by BallPen

속박전하에 의한 전압과 전기장을 구해 봐요.

속박전하 예제 하나를 풀어 봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents [hide]

1. 속박전하 예제
2. 편극된 구의 속박 전하 밀도
3. 편극된 구에 의한 전위
- 3-1. 구 내부의 전위
- 3-2. 구 외부의 전위
4. 편극된 구에 의한 전기장
- 4-1. 구 내부의 전기장
- 4-2. 구 외부의 전기장

이 글에서 사용된 그림은 키노트로 작성되었습니다. 그림파일이 필요한 분은 다운받아 사용하세요. bound_charges_example.key

1. 속박전하 예제

아래 그림과 같이 $\vec P = P \hat z$ 로 균일하게 편극된 반지름 $R$ 인 구에 의한 전위와 전기장을 구해 보세요.

2. 편극된 구의 속박 전하 밀도

속박전하에 대한 글에서 설명드렸듯이 편극밀도의 발산 $-\nabla \cdot \vec P$ 은 체적 속박 전하 밀도 $\rho_b$ 입니다.

\tag{1} \rho_b =- \nabla \cdot \vec P

그런데 문제에서 $\vec P$ 가 구 내부에서 균일하다고 하였으므로 편극밀도의 발산은 0이 될거에요. 왜냐면 상수벡터를 미분하면 0이 되기 때문이죠. 이는 결국 체적 속박 전하 밀도 $\rho_b = 0$ 임을 알 수 있어요.

반면에 표면 속박 전하 밀도는 다음 식과 같이 주어집니다.

\tag{2} \sigma_b = \vec P \cdot \hat n

그러므로 편극밀도 $\vec P$ 와 유전체 표면의 미소 면벡터 $\hat n$ 사이의 스칼라 곱에 따라 표면 속박 전하 밀도의 크기와 분포가 결정될 것임을 예상할 수 있어요.

3. 편극된 구에 의한 전위

문제에서 주어진 균일한 편극밀도 $\vec P$ 는 결국 표면 속박 전하 밀도 때문에 만들어진 것임을 알게 되었어요.

구의 중심을 원점으로 설정하고 그 중심에서 $r$ 만큼 떨어진 곳에서의 편극된 물체에 의한 전위는 다음과 같이 주어집니다.

\tag{3} V(\vec r) = {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int {{\vec P \cdot \hat r}\over{r^2}} d \tau^{\prime}

한편 편극밀도는 상수이므로 적분 기호 밖으로 빼내어 정리할게요.

\tag{4} V(\vec r) = \vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int {{\hat r}\over{r^2}} d \tau^{\prime}

윗 식의 $d \tau^{\prime}$ 에 구면좌표계에서의 미소 부피 요소를 대입해서 적분하면 되는데요.

이때 $r<R$ 인 구 내부에서의 전위와 $r \geq R$ 인 구 외부에서의 전위로 구분해서 풀어볼게요.

3-1. 구 내부의 전위

구 내부의 전위 $V_{in}$ 을 구하기 위해서는 다음과 같이 하면 됩니다. 이때 $r^{\prime}$ 의 적분 구간은 0에서 $r$ 까지로 하면 되죠.

\tag{5} \begin{align} V_{in} &= \vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int {{\hat r}\over{r^2}} d \tau^{\prime} \\[10pt] &=\vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \int_0^r {{\hat r}\over{r^2}} {r^{\prime}}^2 dr^{\prime} \sin \theta d\theta d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot {1\over{4 \pi \epsilon_0}} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \Big[ {{\hat r}\over{r^2} }{{{r^{\prime}}^3}\over{3}}\Big]_0^r \sin \theta d \theta d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} {{r \hat r}\over{3}} \sin \theta d\theta d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{4 \pi \epsilon_0}}\Big) \Big( {{r \hat r}\over{3}} \Big) \int_0^{2 \pi} \Big[ -\cos \theta\Big]_0^{\pi} d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{4 \pi \epsilon_0}}\Big) \Big( {{r \hat r}\over{3}} \Big)\int_0^{2\pi} 2 d\phi\\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{4 \pi \epsilon_0}}\Big) \Big( {{r \hat r}\over{3}} \Big)\Big(2\Big) \Big[\phi \Big]_0^{2\pi} \\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{{\cancel{4 \pi}} \epsilon_0}}\Big) \Big( {{r \hat r}\over{3}} \Big)\Big({\cancel{4 \pi}}\Big) \\[10pt] &={{\vec P \cdot \vec r}\over{3 \epsilon_0}}\\[10pt] &={{Pr \cos \theta}\over{3 \epsilon_0}} \end{align}

3-2. 구 외부의 전위

구 외부의 전위 $V_{out}$ 을 구하기 위해서는 다음과 같이 하면 됩니다. 다만 $r^{\prime}$ 의 적분 구간은 0에서 $R$ 까지로 제한되겠죠.

\tag{6} \begin{align} V_{out} &= \vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int {{\hat r}\over{r^2}} d \tau^{\prime} \\[10pt] &=\vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \int_0^R {{\hat r}\over{r^2}} {r^{\prime}}^2 dr^{\prime} \sin \theta d\theta d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot {1\over{4 \pi \epsilon_0}} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \Big[ {{\hat r}\over{r^2} }{{{r^{\prime}}^3}\over{3}}\Big]_0^R \sin \theta d \theta d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot {1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} {{R^3 \hat r}\over{3r^2}} \sin \theta d\theta d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{4 \pi \epsilon_0}}\Big) \Big( {{R^3 \hat r}\over{3r^2}} \Big) \int_0^{2 \pi} \Big[ -\cos \theta\Big]_0^{\pi} d \phi\\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{4 \pi \epsilon_0}}\Big) \Big( {{R^3 \hat r}\over{3r^2}} \Big)\int_0^{2\pi} 2 d\phi\\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{4 \pi \epsilon_0}}\Big) \Big( {{R^3 \hat r}\over{3r^2}} \Big)\Big(2\Big) \Big[\phi \Big]_0^{2\pi} \\[10pt] &=\vec P \cdot \Big( {1 \over{{\cancel{4 \pi}} \epsilon_0}}\Big) \Big( {{R^3 \hat r}\over{3r^2}} \Big)\Big({\cancel{4 \pi}}\Big) \\[10pt] &={{\vec P \cdot R^3 \hat r}\over{3 \epsilon_0 r^2}}\\[10pt] &={{PR^3 \cos \theta}\over{3 \epsilon_0 r^2}} \end{align}

4. 편극된 구에 의한 전기장

그럼 이번에는 편극된 구가 만드는 전기장을 구해 봐요.

위에서 구한 전위 $V_{in}$ 과 $V_{out}$ 에 기울기 연산을 함으로써 구 안과 밖의 전기장을 구할 수 있어요.

4-1. 구 내부의 전기장

구 내부의 전위 $V_{in}$ 을 나타내는 (5)식에 구면좌표계에서의 기울기 연산을 한 후 마이너스 부호를 붙여주면 됩니다.

\tag{7} \begin{align} \vec E_{in} &= - \nabla V_{in} \\[10pt] &=-\nabla\Big( {{Pr \cos \theta}\over{3 \epsilon_0}}\Big)\\[10pt] &=-\Big( {{\partial}\over{\partial r}} \hat r + {1 \over r} {{\partial}\over{\partial \theta}} \hat \theta\Big)\Big( {{Pr \cos \theta}\over{3 \epsilon_0}}\Big)\\[10pt] &=-{{P \cos \theta}\over{3 \epsilon_0}}\hat r +{{P \sin \theta}\over{3 \epsilon_0}} \hat \theta\\[10pt] &=-{{P}\over{3 \epsilon_0}}{\color{blue}(\cos \theta \hat r - \sin \theta \hat \theta)} \end{align}

이때 윗 식에서 파랑색 부분의 벡터가 나오게 되는데요. 이 벡터는 [그림 1]에서 $z$ 방향의 단위벡터 $\hat z$ 와 같습니다.

이를 반영하면 (7)식의 마지막 줄은 다음과 같아요.

\tag{8} \vec E_{in} = - {{P}\over{3 \epsilon_0}}\hat z

결국 균일하게 편극된 구 내부의 전기장 $\vec E_{in}$ 은 편극밀도 $P \hat z$ 와 반대방향을 갖는 상수 벡터로 주어짐을 알 수 있습니다.

4-2. 구 외부의 전기장

이번에는 구 외부의 전기장을 구해 봐요. (6)식의 $V_{out}$ 을 활용하면 됩니다.

\tag{9} \begin{align} \vec E_{out} &= - \nabla V_{out} \\[10pt] &=-\nabla\Big( {{PR^3 \cos \theta}\over{3 \epsilon_0 r^2}}\Big)\\[10pt] &=-\Big( {{\partial}\over{\partial r}} \hat r + {1 \over r} {{\partial}\over{\partial \theta}} \hat \theta\Big)\Big( {{PR^3 \cos \theta}\over{3 \epsilon_0 r^2}}\Big)\\[10pt] &={{2PR^3 \cos \theta}\over{3 \epsilon_0 r^3}}\hat r +{{PR^3 \sin \theta}\over{3 \epsilon_0 r^3}} \hat \theta\\[10pt] \end{align}

한편 윗 식에서 편극밀도의 크기 $P$ 는 단위부피당 그 부피에 있는 총 쌍극자모멘트의 합으로 정의되므로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\tag{10} P = {{p}\over{{4}\over{3}}\pi R^3}

그리고 (10)식을 (9)식에 대입하세요. 그리고 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{11} \begin{align} \vec E_{out} &={{2PR^3 \cos \theta}\over{3 \epsilon_0 r^3}}\hat r +{{PR^3 \sin \theta}\over{3 \epsilon_0 r^3}} \hat \theta\\[10pt] &= {1 \over{4 \pi \epsilon_0 r^3}} (2 p \cos \theta \hat r + p \sin \theta \hat \theta) \end{align}

위 (11)식이 구 외부의 전기장을 나타내는 식입니다.

그런데 이 식의 물리적 의미를 더 살펴보기 위해 살짝만 식의 형태를 바꾸어 볼게요.

이를 위해 구면좌표계의 단위벡터 $\hat r$ 과 $\hat \theta$ 을 아래와 같이 대입해서 정리해 보세요. 그러면 다음과 같습니다.

\tag{12} \begin{align} \vec E_{out} &= {1 \over{4 \pi \epsilon_0 r^3}} (2 p \cos \theta \hat r + p \sin \theta \hat \theta)\\[10pt] &={1 \over{4 \pi \epsilon_0} r^3} \Big[2p\cos \theta (\sin \theta \cos \phi \hat x +\sin \theta \sin \phi \hat y + \cos \theta \hat z)\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~+p \sin \theta (\cos \theta \cos \phi \hat x + \cos \theta \sin \phi \hat y - \sin \theta \hat z)\Big]\\[10pt] &={{1}\over{4 \pi \epsilon_0}r^3}\Big[3 p \cos \theta (\sin \theta \cos \phi \hat x + \sin \theta \sin \phi \hat y )+p (2 \cos^2 \theta - \sin ^2 \theta)\hat z \Big]\\[10pt] &={1 \over{4 \pi \epsilon_0}r^3} \Big[ 3 p \cos \theta (\sin \theta \cos \phi \hat x + \sin \theta \sin \phi \hat y +{\color{red}{\cos \theta \hat z}}) {\color{red}{-3p \cos^2 \theta \hat z}}\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~+p (2 \cos^2 \theta - \sin ^2 \theta)\hat z \Big]\\[10pt] &={1\over{4 \pi \epsilon_0}r^3} \Big[ 3p \cos \theta \hat r - 3p\cos^2 \theta \hat z + 2p \cos^2 \theta \hat z- p \sin^2 \theta \hat z \Big]\\[10pt] &={1 \over{4 \pi \epsilon_0}r^3} \Big[ 3p \cos \theta \hat r - p (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \hat z \Big]\\[10pt] &={1 \over{4 \pi \epsilon_0}r^3} \Big[3 {\color{blue}p \cos \theta} \hat r- p \hat z \Big] \end{align}

위 식에서 빨강색 부분은 식을 정리하기 위해 동일한 양을 더해주고 빼준 것입니다. 또한 파랑색 부분은 $p\cos \theta$ 은 $\vec p \cdot \hat r$ 으로 바꾸어 표현할 수 있어요.

그래서 (12)식의 마지막 줄은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

\tag{13} \begin{align} \vec E_{out}={1 \over{4 \pi \epsilon_0}r^3}\Big[3(\vec p \cdot \hat r) \hat r - \vec p\Big] \end{align}

어떤가요? 어디서 보았던 것처럼 익숙한 식인가요?

바로 (13)식은 전기쌍극자가 만드는 전기장과 식의 모양이 같다는 것을 알 수 있어요.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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