이계 미분 곱셈 규칙

이계 미분 곱셈 규칙 : 벡터 미분 연산자

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Last Updated on 2024-04-28 by BallPen

벡터 미분 연산자를 이용한 이계 미분의 몇가지 곱셈 규칙을 알아봐요.

벡터 미분 연산자(또는 델연산자)를 활용한 이계 미분 곱셈 규칙 몇가지를 알아봅니다.

이 글을 통해 다음 곱셈규칙이 어떻게 성립하는지를 알 수 있어요.

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2∇×(∇f)=0∇⋅(∇×v⃗)=0∇×(∇×v⃗)=∇(∇⋅v⃗)−∇2v⃗(D1)\tag{D1} \begin{align} &\nabla^2 f = {{\partial^2 f}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 f}\over{\partial y^2}} + {{\partial^2 f}\over{\partial z^2}}\\[10pt] &\nabla \times (\nabla f) =0\\[10pt] &\nabla \cdot (\nabla \times \vec v) = 0\\[10pt] &\nabla \times(\nabla \times \vec v) = \nabla(\nabla \cdot \vec v) - \nabla^2 \vec v \end{align}

하나씩 알아봐요.

1. 라플라시안(Laplacian)

어떤 스칼라함수 ff에 대한 기울기의 발산(divergence of gradient)을 라플라시안이라고 합니다.

기호로 표현하면 ∇⋅(∇f)\nabla \cdot (\nabla f)가 될텐데요. 통상적으로 간단하게 ∇2f\nabla^2 f로 표현합니다.

벡터 미분 연산자 ∇\nabla가 두번 사용되므로 이계 미분 곱셈규칙에 해당하죠.

구체적으로 라플라시안을 전개하면 다음과 같습니다.

∇2f=∇⋅(∇f)=(∂∂xx^+∂∂yy^+∂∂zz^)⋅(∂f∂xx^+∂f∂yy^+∂f∂zz^)=∂2f∂x2(x^⋅x^)+∂2f∂x∂y(x^⋅y^)+∂2f∂x∂z(x^⋅z^)       +∂2f∂y∂x(y^⋅x^)+∂2f∂y2(y^⋅y^)+∂2f∂y∂z(y^⋅z^)       +∂2f∂z∂x(z^⋅x^)+∂2f∂z∂y(z^⋅y^)+∂2f∂z2(z^⋅z^)=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2(1-1)\tag{1-1} \begin{align} \nabla ^2 f &= \nabla \cdot(\nabla f) \\[10pt] &=\Big( {{\partial}\over{\partial x}} \hat x + {{\partial}\over{\partial y}} \hat y + {{\partial}\over{\partial z}} \hat z \Big) \cdot \Big( {{\partial f}\over{\partial x}} \hat x + {{\partial f}\over{\partial y}} \hat y + {{\partial f}\over{\partial z}} \hat z \Big) \\[10pt] &={{\partial^2f}\over{\partial x^2}} {\color{blue}(\hat x \cdot \hat x)} + {{\partial^2 f}\over{\partial x \partial y}}{\color {red}(\hat x \cdot \hat y)} + {{\partial^2 f}\over{\partial x \partial z}}{\color{red}(\hat x \cdot \hat z)} \\[10pt] &~~~~~~~+{{\partial^2 f}\over{\partial y \partial x}}{\color{red}(\hat y \cdot \hat x)} + {{\partial^2 f}\over{\partial y^2 }}{\color{blue}{(\hat y \cdot \hat y)}} + {{\partial^2 f}\over{\partial y \partial z}}{\color{red}(\hat y \cdot \hat z)} \\[10pt] &~~~~~~~+ {{\partial^2 f}\over{\partial z \partial x}}{\color{red}(\hat z \cdot \hat x)} + {{\partial^2 f}\over{\partial z \partial y}} {\color{red}(\hat z \cdot \hat y)}+ {{\partial^2 f}\over{\partial z^2}}{\color {blue} (\hat z \cdot \hat z)} \\[10pt] &={{\partial^2 f}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2 f}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2 f}\over{\partial z^2}} \end{align}

윗 식의 세번째 줄에 스칼라곱의 규칙을 적용하면 마지막 줄이 됩니다. 평행한 단위벡터 사이의 스칼라곱(파랑색 부분)은 1이되고, 수직한 단위벡터 사이의 스칼라곱(빨강색)은 0이 됩니다.

결국 어떤 스칼라함수에 대한 라플라시안은 다음과 같이 정의됩니다.

∇2f=∇⋅(∇f)=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2(1-2)\tag{1-2} \begin{align} \nabla ^2 f &= \nabla \cdot(\nabla f) ={{\partial^2 f}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2 f}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2 f}\over{\partial z^2}} \end{align}

2. 기울기의 회전(Curl of a gradient)

어떤 스칼라함수 ff에 대한 기울기의 회전(Curl of a gradient)은 항상 0이 되는데요.

이를 기호로 표현하면 ∇×(∇f)\nabla \times (\nabla f)가 됩니다. 이를 전개해 볼게요. 정말 0이 되는지 확인해봐요.

∇×(∇f)=∇×(∂f∂xx^+∂f∂yy^+∂f∂zz^)=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂z∂f∂x∂f∂y∂f∂z∣=(∂2f∂y∂z−∂2f∂y∂z)x^+(∂2f∂z∂x−∂2f∂z∂x)y^         +(∂2f∂y∂x−∂2f∂y∂x)z^=0(2-1)\tag{2-1} \begin{align} \nabla \times (\nabla f) &= \nabla \times \Big({{\partial f}\over{\partial x}}\hat x + {{\partial f}\over{\partial y}}\hat y + {{\partial f}\over{\partial z}}\hat z \Big)\\[10pt] &= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z\\[5pt] {{\partial}\over{\partial x}} & {{\partial}\over{\partial y}} & {{\partial}\over{\partial z}}\\[5pt] {{\partial f}\over{\partial x}}&{{\partial f}\over{\partial y}}&{{\partial f}\over{\partial z}}\\[5pt] \end{vmatrix}\\[10pt] &= \Big( {{\partial^2 f}\over{\partial y \partial z}} - {{\partial^2 f}\over{\partial y \partial z}} \Big) \hat x + \Big( {{\partial^2 f}\over{\partial z \partial x}} - {{\partial^2 f}\over{\partial z \partial x}} \Big) \hat y\\[10pt] &~~~~~~~~~+\Big( {{\partial^2 f}\over{\partial y \partial x}} - {{\partial^2 f}\over{\partial y \partial x}} \Big) \hat z\\[10pt] &=0 \end{align}

윗 식의 첫번째 줄을 행렬식의 형태로 표현하면 두번째 줄이 되며, 벡터곱의 연산규칙을 적용하면 세번째 줄로 전개됩니다. 총 3개의 항으로 분해가 되는데요. 각 괄호안에 있는 수식들이 모두 0이되는 것을 알 수 있어요.

따라서 어떤 스칼라 함수에 대한 기울기의 회전은 항상 0이 됩니다.

∇×(∇f)=0(2-2)\tag{2-2} \nabla \times (\nabla f) = 0

3. 회전의 발산(Divergence of a curl)

어떤 벡터함수 v⃗\vec v에 대한 회전의 발산(Divergence of a curl)도 항상 0이 됩니다.

이를 기호로 표현하면 ∇⋅(∇×v⃗)\nabla \cdot (\nabla \times \vec v)가 되는데요. 이를 전개해 볼게요. 이것도 정말 0이 되는지 알아봐요.

∇⋅(∇×v⃗)=∇⋅∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz∣=∇⋅[(∂vz∂y−∂vy∂z)x^+(∂vx∂z−∂vz∂x)y^+(∂vy∂x−∂vx∂y)z^]=(∂∂xx^+∂∂yy^+∂∂zz^)          ⋅[(∂vz∂y−∂vy∂z)x^+(∂vx∂z−∂vz∂x)y^+(∂vy∂x−∂vx∂y)x^]=∂∂x(∂vz∂y−∂vy∂z)+∂∂y(∂vx∂z−∂vz∂x)+∂∂z(∂vy∂x−∂vx∂y)=0(3-1)\tag{3-1} \begin{align} \nabla \cdot (\nabla \times \vec v) &= \nabla \cdot \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z\\ {{\partial}\over{\partial x}} &{{\partial}\over{\partial y}} &{{\partial}\over{\partial z}}\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}\\[10pt] &=\nabla \cdot \Big[\Big( {{\partial v_z}\over{\partial y}} - {{\partial v_y}\over{\partial z}}\Big) \hat x + \Big( {{\partial v_x}\over{\partial z}} - {{\partial v_z}\over{\partial x}}\Big) \hat y +\Big( {{\partial v_y}\over{\partial x}} - {{\partial v_x}\over{\partial y}}\Big) \hat z \Big] \\[10pt] &=\Big({{\partial}\over{\partial x}} \hat x + {{\partial}\over{\partial y}} \hat y + {{\partial}\over{\partial z}}\hat z \Big) \\[10pt] &~~~~~~~~~~\cdot \Big[\Big( {{\partial v_z}\over{\partial y}} - {{\partial v_y}\over{\partial z}}\Big) \hat x + \Big( {{\partial v_x}\over{\partial z}} - {{\partial v_z}\over{\partial x}}\Big) \hat y +\Big( {{\partial v_y}\over{\partial x}} - {{\partial v_x}\over{\partial y}}\Big) \hat x \Big] \\[10pt] &={{\partial}\over{\partial x}}\Big( {{\partial v_z}\over{\partial y}} - {{\partial v_y}\over{\partial z}}\Big) + {{\partial}\over{\partial y}} \Big( {{\partial v_x}\over{\partial z}} - {{\partial v_z}\over{\partial x}} \Big) + {{\partial}\over{\partial z}} \Big( {{\partial v_y}\over{\partial x}} - {{\partial v_x}\over{\partial y}}\Big)\\[10pt] &=0 \end{align}

위 식의 세번째 줄에 스칼라곱이 들어가 있으므로 전개과정에서 평행한 단위벡터 사이의 스칼라곱은 1이고, 수직한 단위벡터 사이의 스칼라곱은 0이 됩니다.

결국 네번째 줄을 전개해보면 0이 됨을 알 수 있어요. 그래서 어떤 벡터함수에 대한 회전의 발산은 언제든지 0이 됩니다.

∇⋅(∇×v⃗)=0(3-2)\tag{3-2} \nabla \cdot (\nabla \times \vec v) = 0

4. 회전의 회전(Curl of a curl)

어떤 벡터 함수 v⃗\vec v에 대한 회전의 회전을 구해볼께요. 이때 ∇×v⃗\nabla \times \vec v는 (3-1)식의 두번째 줄에 전개해 놓은 것이 있으니 그것을 가져올게요.

∇×(∇×v⃗)=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂z∂vz∂y−∂vy∂z∂vx∂z−∂vz∂x∂vy∂x−∂vx∂y∣=∂2vy∂x∂yx^+∂2vz∂x∂zx^+∂2vz∂y∂zy^+∂2vx∂x∂yy^+∂2vx∂x∂zz^+∂2vy∂y∂zz^      +∂2vx∂x2x^+∂2vy∂y2y^+∂2vz∂z2z^−(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)(vxx^+vyy^+vzz^)=(∂∂xx^+∂∂yy^+∂∂zz^)(∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z)−∇2v⃗=∇(∇⋅v⃗)−∇2v⃗(4-1)\tag{4-1} \begin{align} \nabla \times (\nabla \times \vec v )&= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z\\[10pt] {{\partial}\over{\partial x}} & {{\partial}\over{\partial y}} & {{\partial}\over{\partial z}}\\[10pt] {{\partial v_z}\over{\partial y}} - {{\partial v_y}\over{\partial z}} & {{\partial v_x}\over{\partial z}} - {{\partial v_z}\over{\partial x}} & {{\partial v_y}\over{\partial x}} - {{\partial v_x}\over{\partial y}} \end{vmatrix}\\[10pt] &={{\partial^2 v_y}\over{\partial x \partial y}} \hat x + {{\partial^2 v_z}\over{\partial x \partial z}} \hat x + {{\partial^2 v_z}\over{\partial y \partial z}}\hat y + {{\partial^2 v_x}\over{\partial x \partial y}}\hat y + {{\partial^2 v_x}\over{\partial x \partial z}} \hat z + {{\partial^2 v_y}\over{\partial y \partial z}}\hat z\\[10pt] &~~~~~~{\color{blue}+{{\partial^2 v_x}\over{\partial x^2}}\hat x + {{\partial^2 v_y }\over{\partial y^2}}\hat y + {{\partial^2 v_z}\over{\partial z^2}}\hat z } {\color{red}- \Big({{\partial^2}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2}\over{\partial y^2}} + {{\partial^2}\over{\partial z^2}}\Big)(v_x \hat x + v_y \hat y + v_z \hat z)}\\[10pt] &=\Big({{\partial}\over{\partial x}} \hat x + {{\partial}\over{\partial y}}\hat y + {{\partial}\over{\partial z}} \hat z \Big) \Big({{\partial v_x}\over{\partial x}} + {{\partial v_y}\over{\partial y}} + {{\partial v_z}\over{\partial z}}\Big) - \nabla^2 \vec v\\[10pt] &=\nabla (\nabla \cdot \vec v) - \nabla^2 \vec v \end{align}

전개 과정이 어렵진 않은데 조금 복잡해요. 위 식에서 빨강색 부분이 −∇2v⃗- \nabla^2 \vec v가 됩니다. 식을 이렇게 표현하기 위해 파랑색으로 표현된 항들의 추가가 필요합니다.

꼭 연필잡고 한번만 전개해 보세요.

결국 어떤 벡터함수에 대한 회전의 회전은 다음과 같습니다.

∇×(∇×v⃗)=∇(∇⋅v⃗)−∇2v⃗(4-2)\tag{4-2} \nabla \times(\nabla \times \vec v) = \nabla(\nabla \cdot \vec v) - \nabla^2 \vec v
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