패러데이 법칙

Last Updated on 2025-09-09 by BallPen

패러데이 법칙과 유도전기장에 대해 알아 봐요.

패러데이 법칙(Faraday’s law)이란 패러데이(Michael Faraday)가 발견한 전자기유도법칙으로 시간에 따라 변하는 자기장선속(magnetic flux)이 기전력을 생성한다는 법칙입니다.

이 법칙의 일반형은 다음과 같아요.

\begin{align}
\oint_c \vec E \cdot d \vec l = – {{d \Phi_B}\over{dt}}
\end{align}

위 식에서 적분기호 밑의 \(c\)는 closed의 머리글자로 닫힌 경로를 뜻합니다. \(\Phi_B\)는 자기장 선속을 의미하고 이 자기장 선속이 시간에 따라 변하면 유도전기장 \(\vec E\)가 생성됨을 의미해요. 그리고 생성된 유도전기장을 닫힌 경로에 대해 선적분하면 기전력이 얻어지죠.

한편 윗 식에 스토크스 정리를 적용하면 전기장의 회전을 구할 수 있습니다.

\begin{align*}
\nabla \times \vec E = - {{\partial \vec B}\over{\partial t}}
\end{align*}

이번 글에서는 위 법칙에 대한 구체적 개념, 예제, 그리고 점전하에 의한 전기장과 유도전기장 사이의 차이를 다루겠습니다.

1. (복습) 정지 전하에 의한 전기장

점점하가 만드는 전기장의 회전에 대한 이전 글에서 다음의 결론을 얻은 적이 있어요.

점전하가 만드는 전기장 내 임의 지점 \(a\)에서 \(b\)까지 선적분하면 두 지점 사이의 전위차 \(\Delta V\)가 얻어집니다. 식으로 쓰면 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{1-1}
-\int_a^b \vec E \cdot d \vec l &= V(b)-V(a)\\
&=\Delta V
\end{align}

이때 점전하로부터 무한대 만큼 떨어져 전압이 0이 되는 지점을 참조점 \(o\)로 지정하면 임의 지점 \(r\)에서의 전압은 다음과 같이 정의됩니다.

\begin{align}
\tag{1-2}
-\int_o^r \vec E \cdot d \vec l &= V(r)-0\\
&=V(r)
\end{align}

그런데 어떤 임의 지점을 출발하여 다시 최초의 지점으로 돌아오는 닫혀진 경로에 대해 (1-1)식을 적용하면 당연히 0이 될 거에요. 왜냐면 같은 지점에서의 전위차는 당연히 0이 되어야 하기 때문이죠. 이 관계를 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{1-3}
\oint_c \vec E \cdot d \vec l = 0
\end{align}

또한 위 (1-3)식에 스토크스의 정리를 적용하면 다음 관계가 성립함을 알 수 있었어요.

\begin{align}
\tag{1-4}
\nabla \times \vec E = 0, ~~~~~~\vec E = – \nabla V
\end{align}

위 결과들은 점전하가 만드는 전기장이 보존장임을 뜻해요.

2. 패러데이 법칙

그럼 이제부터 이글의 목적인 패러데이 법칙 개념에 대해 알아 봐요. 패러데이 법칙은 시간에 따라 변하는 자기장선속이 기전력 \(\epsilon\)을 만들어낸다는 법칙이에요.

그렇다면 먼저 자기장선속이 무엇인지부터 보도록 해요.

2-1. 자기장선속

예를 들어, [그림 1]처럼 면적이 \(A\)이고 \(N\)번 감긴 코일을 관통하는 자기장 \(B\)가 있다고 생각해봐요. 이때 자기장 \(B\)와 코일이 만드는 면적 \(A\)의 곱을 자기장선속 \(\Phi_B\)라고 불러요.

\begin{align}
\tag{2-1}
\Phi_B = \vec B \cdot \vec A
\end{align}

자기장선속의 단위는 Wb로 쓰고 웨버(Weber)라고 읽어요.

자기장선속은 코일이 만드는 면을 관통하여 자기력선이 몇개 지나가느냐의 척도에요. 따라서 (2-1)식에 따라 자기장이 강해지거나 면적이 증가하면 자기장 선속은 늘어납니다.

그리고 위 (2-1)식의 자기장선속을 더욱 일반적으로 표현하면 다음과 같이 적분으로 나타낼 수 있어요.

\begin{align}
\tag{2-2}
\Phi_B = \oint_A \vec B \cdot d\vec a
\end{align}

윗 식에서 적분기호 밑의 \(A\)는 자기장이 통과하는 코일 안쪽의 면적을 뜻합니다.

2-2. 패러데이 법칙

자기장 선속 \(\Phi_B = \vec B \cdot \vec A\)가 시간에 따라 변하면 코일에 기전력 \(\epsilon\)이 생성되고 그 기전력은 전압계로 측정이 가능합니다. 이것을 패러데이 전자기유도 법칙이라고 하죠.

이때 자기장 선속이 변하기 위해서는 \(B\)가 변하던, \(A\)가 변하던, 아니면 \(B\)와 \(A\)가 모두 변하던 아무튼 두 양의 곱의 크기가 변하기만 하면 됩니다.

패러데이 법칙을 더욱 상세히 이해하고 싶다면 아래 버튼을 눌러 관련 동영상을 보시기를 추천합니다. 실험 동영상인데요. 패러데이 법칙에 대한 개념을 이해하는데 도움이 될거에요.

지금까지 말씀드린 패러데이 법칙을 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

\begin{align}
\tag{2-3}
\epsilon &= – N {{d \Phi_B}\over{dt}}\\[5pt]
&=-N{{d }\over{dt}}(\vec B \cdot \vec A)\\[5pt]
&=-N{{d}\over{dt}}\oint_A \vec B \cdot d \vec a
\end{align}

윗 식에서 우변에 마이너스 부호가 붙은 이유는 렌츠의 법칙(Lenz’s law) 때문이에요.

3. 패러데이 법칙 일반형

이제 패러데이 법칙 개념을 이해하셨을 거에요. 지금부터는 위 (2-3)식의 의미를 더 구체적으로 알아 봐요.

3-1. 자기장 선속의 변화가 유도전기장을 생성

[그림 1]에서 사각형 코일을 관통하는 자기장 선속이 시간에 따라 변하면 코일에 기전력이 유도된다고 말씀드렸어요. 그러면 그 기전력 때문에 코일에 전류가 흐르게 되죠.

그런데 잘 생각해보면 전류가 흐른다는 것은 도선 내에 전기장이 형성되어 있음을 뜻해요. 그래야 전기장 방향과 반대방향으로 전자가 이동하며 전류가 흐르게 되니까요.

그러면 (2-3)식처럼 변하는 자기장선속이 기전력을 유도한다고 표현해도 되지만, 변하는 자기장선속이 전기장을 유도하는 것으로 공식을 바꾸어 표현해도 될 거에요.

이 개념을 더 구체적으로 이해하기 위해 아래 [그림 2]를 참고하세요.

균일한 자기장이 화면 밖에서 화면 속을 향하고 있어요. 그리고 이 자기장 내에 감긴수 \(N=1\)이고 반지름 \(r\)인 검정색 원형 도선이 놓여 있습니다.

이때 자기장이 시간에 따라 점점 강해진다고 하면 원형 도선을 관통하는 자기장선속도 시간에 따라 점점 증가해요. 왜냐면 원형 도선의 면적 \(A\)는 일정할지라도 이 면적을 관통하는 자기장 \(B\)가 점점 강해지므로 이 둘의 곱인 자기장 선속 \(\Phi_B\)도 점점 강해질테니까요.

그러면 그림과 같이 자기장과 수직한 방향으로 유도전기장 \(\vec E\)가 생성된다고 보자는 거에요. 즉 기전력 대신에 유도전기장의 관점에서 해석을 하고자 하는 것입니다.

이때 유도전기장의 방향은 그림과 같이 도선의 접선 방향을 향합니다. 그리고 이 유도전기장 때문에 원형 도선에 기전력 \(\epsilon\)이 나타나고, 그 기전력 때문에 코일에 전류가 흐르게 되는 논리인거죠.

이 관계를 종합적으로 식으로 쓰기 위해 (2-3)식의 패러데이 법칙과, 전위차와 전기장에 대한 (1-1)식을 결합하면 다음과 같이 표현할 수 있어요. 이때 선적분의 경로가 코일이므로 (1-1)식처럼 열린 경로가 아닌 닫힌 경로를 가지게 된다는 것을 꼭 유념하세요.

\begin{align}
\tag{3-1}
\epsilon = \oint_c \vec E \cdot d \vec l = – N{{d\Phi_B}\over{dt}}
\end{align}

3-2. 패러데이 법칙의 일반형

그렇다면 [그림 2]에 표기된 유도전기장은 꼭 도선이 있어야 생성되는 것인지 궁금할 수 있어요. 정답은 도선이 없어도 유도전기장은 존재합니다. 왜냐면 유도전기장은 시간에 따라 변하는 자기장선속 때문에 생기기 때문이에요.

그러니까 유도전기장은 도선의 유무와 관계없이 생성되는데 단지 그 공간안에 도선이 놓여지면 전압이 유도되어 전압계로 측정할 수 있게 되는 것 뿐이에요.

따라서 도선이 없는 일반적인 경우로 확장하면 더이상 코일에서의 기전력에 대한 개념은 불필요합니다. 단지 자기장 선속의 변화가 유도전기장을 생성한다는 개념만 있으면 되는 것이죠.

따라서 (3-1)식에서 기전력 \(\epsilon\)에 대한 개념은 제외하고, 도선의 감은 수를 \(N=1\)로 가정했으므로 이를 반영하면 다음 (3-2)식과 같이 표현할 수 있어요. 이 식을 패러데이 법칙의 일반형이라고 불러요.

\begin{align}
\tag{3-2}
\oint_c \vec E \cdot d \vec l = – {{d\Phi_B}\over{dt}}
\end{align}

또한 위 식에 적분형태의 자기장선속 공식인 (2-2)식을 적용하면 더 일반적인 형태로 표현할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{3-3}
\oint_c \vec E \cdot d \vec l = – {{d}\over{dt}} \int_A \vec B \cdot d \vec a
\end{align}

4. 점전하에 의한 전기장과 유도전기장의 차이

4-1. 보존장이냐 비보존장이냐?

이쯤되면 점전하에 의한 전기장을 닫힌 경로에 대해 선적분한 (1-3)식에서는 그 결과값이 0인데, 유도전기장을 닫힌 경로에 대해 선적분한 (3-3)식에서는 그 결과값이 0이 아님을 알 수 있어요.

두 공식의 좌변은 같은데 왜 이러한 차이가 생기는 걸까요? 그 이유는 보존장이나 비보존장이냐의 차이로 설명할 수 있어요.

점전하에 의한 전기장은 보존장이에요. 따라서 전기장을 선적분 했을 때 그 경로에는 무관하고 처음과 나중위치에만 의존하는 전위차가 구해져요. 따라서 처음위치와 나중위치가 같은 닫힌 경로에서 전위차는 0이 되는 것이었죠.

그러므로 점전하에 의한 전기장은 보존장이고 (1-4)식과 같이 전기장의 회전이 0이라는 결론을 도출했던 거에요.

이와 달리 유도전기장은 비보존장입니다. 왜냐면 (3-3)식처럼 닫힌 경로를 통한 선적분이 0이 아니기 때문이에요. 만일 이것이 옳다면 유도전기장의 회전 \(\nabla \times \vec E\)도 0이 되면 안됩니다.

이를 확인하기 위해 유도전기장의 회전을 구해보도록 해요.

4-2. 유도전기장의 회전

우선 (3-3)식이 저 위에 있으니 보기가 불편하잖아요. 그래서 아래 쪽에 (4-1)식으로 다시 적을게요.

\begin{align}
\tag{4-1}
\oint_c \vec E \cdot d \vec l = – {{d}\over{dt}} \int_A \vec B \cdot d \vec a
\end{align}

그리고 윗식의 우변에서 면적 \(A\)가 시간에 무관하므로 미분기호를 적분기호 안쪽으로 옮길 수 있어요. 그러면 윗 식은 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{4-2}
\oint_c \vec E \cdot d \vec l = – \int_A {{\partial \vec B}\over{\partial t}} \cdot d \vec a
\end{align}

이번에는 윗 식의 좌변에 스토크스 정리를 적용해 보세요. 그러면 아래와 같이 바꿀 수 있어요.

\begin{align}
\tag{4-2}
\oint_A (\nabla \times \vec E) \cdot d \vec a = – \int_A {{\partial \vec B}\over{\partial t}} \cdot d \vec a
\end{align}

결국 윗 식의 좌변과 우변을 서로 비교하면 다음과 같이 유도전기장의 회전을 구할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{4-3}
\nabla \times \vec E = – {{\partial \vec B }\over{\partial t}}
\end{align}

분명히 유도전기장의 회전은 0이 아님을 알 수 있어요. 이 말은 유도전기장은 비보존장임을 뜻해요.

그럴지라도 점전하가 만드는 전기장이 대전입자에 전기력을 작용하듯이 유도전기장도 대전입자에 전기력을 작용하는 성질 등은 동일하게 나타납니다.

5. 예제 : 유도전기장의 크기 구하기

아래 [그림 3]은 단위길이당 감긴수가 \(n\)이고 반지름이 \(R\)인 솔레노이드에 교류전류 \(I\)가 흐르고 있는 모습이에요. 이때 전류는 \(I=I_{max} \cos \omega t\)로 주어지며, \(\omega\)는 교류전원의 각진동수입니다.
솔레노이드 중심축으로부터 반지름 \(r>R\)인 솔레노이드 바깥 지점과 \(r<R\)인 솔레노이드 안쪽 지점에서의 유도전기장 크기를 각각 구하세요.

[솔레노이드 바깥 지점]

이 문제를 풀기 위해서는 (3-3)식을 적용해 \(E\)의 크기를 구하면 됩니다. 아울러 솔레노이드에 전류 \(I\)가 흐를 때 솔레노이드 내부에서의 자기장은 \(B=\mu_0 nI\)로 주어짐을 알고 계실거에요.

그러면 (3-3)식의 좌변과 우변을 각각 풀어 보도록 해요. 그리고 그 결과를 서로 같게 놓은 후 \(E\)를 구해보도록 해요.

먼저 좌변을 구하면 아래와 같습니다.

\begin{align}
\tag{5-1}
\require{cancel}
\int_c \vec E \cdot d \vec l = E (2 \pi r)
\end{align}

이번에는 우변을 구하도록 해요.

\begin{align}
\tag{5-2}
-{{d \Phi_B}\over{dt}} &= – {{d}\over{dt}} \int_A \vec B \cdot d \vec a\\[8pt]
&=-{{d}\over{dt}} (\mu_0 n I \times \pi R^2)\\[8pt]
&=-{{d}\over{dt}} (\mu_0 n I_{max} \cos \omega t \pi R^2)\\[8pt]
&=- \mu_0 nI_{max}\pi R^2 {{d}\over{dt}}(\cos \omega t)\\[8pt]
&=\mu_0 nI_{max}\pi R^2 \omega \sin \omega t
\end{align}

그리고 (5-1)식와 (5-2)식의 우변을 서로 같다고 놓고 유도전기장의 크기 \(E\)를 구하면 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{5-3}
\require{cancel}
E &= {{\mu_0 nI_{max}{\cancel \pi} R^2 \omega \sin \omega t}\over{2 {\cancel \pi} r}}\\[8pt]
&={{\mu_0 nI_{max} R^2 \omega \sin \omega t}\over{2r}}
\end{align}

솔레노이드 밖에서 유도전기장의 크기는 \(1/r\)로 감소하고 사인꼴로 변한다는 것을 알 수 있어요.

[솔레노이드 안쪽 지점]

이번에도 (3-3)식의 좌변과 우변을 각각 풀어 봅니다. 먼저 좌변을 구하면 아래와 같습니다.

\begin{align}
\tag{5-4}
\require{cancel}
\int_c \vec E \cdot d \vec l = E (2 \pi r)
\end{align}

그리고 우변을 구하면 아래와 같아요.

\begin{align}
\tag{5-5}
-{{d \Phi_B}\over{dt}} &= – {{d}\over{dt}} \int_A \vec B \cdot d \vec a\\[8pt]
&=-{{d}\over{dt}} (\mu_0 n I \times \pi r^2)\\[8pt]
&=-{{d}\over{dt}} (\mu_0 n I_{max} \cos \omega t \pi r^2)\\[8pt]
&=- \mu_0 nI_{max}\pi r^2 {{d}\over{dt}}(\cos \omega t)\\[8pt]
&=\mu_0 nI_{max}\pi r^2 \omega \sin \omega t
\end{align}

그리고 (5-4)식과 (5-5)식의 우변을 서로 같다고 놓고 유도전기장의 크기 \(E\)를 구합니다.

\begin{align}
\tag{5-6}
\require{cancel}
E &= {{\mu_0 nI_{max}{\cancel \pi} r^{\cancel 2} \omega \sin \omega t}\over{2 {\cancel \pi} {\cancel r}}}\\[8pt]
&={{\mu_0 nI_{max} r \omega \sin \omega t}\over{2}}
\end{align}

솔레노이드 안에서 유도전기장의 크기는 \(r\)에 비례하여 증가합니다. 또한 시간에 대해 사인꼴로 변한다는 것을 알 수 있어요.

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