Last Updated on 2024-03-03 by BallPen
상수 계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 풀이 방법을 알아보겠습니다.
제차 이계 상미분 방정식 중 상수계수를 갖는 경우의 풀이 방법을 소개합니다.
지난 글에서는 제차 이계 상미분 방정식의 한 해를 알 때 다른 해를 구하는 방법을 알아봤어요. 이것을 ‘계수 낮추기‘ 법이라고 했어요.
이번 글에서는 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 해를 온전히 구하는 방법을 다룹니다.
상수 계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 기본꼴은 다음 (D1)식과 같아요. 여기서 상수 계수란 각 항의 계수 즉 아래 식에서 a, b, c가 모두 상수라는 뜻이에요. 제차는 우변이 0인 것을 말하고, 이계는 식에서 미분의 최대 횟수가 두번이잖아요. 그래서 이계에요. 상미분은 아래 식이 편미분이 아니라는 뜻이에요.
\tag{D1}
a y^{\prime\prime} + by^{\prime}+cy =0이 상미분 방정식은 풀이 과정에서 등장하는 보조방정식(auxillary equation)을 통해 m이 실근, 중근, 허근을 갖느냐에 따라 아래와 같이 서로 다른 유형의 일반해를 갖습니다.
\tag{D2}
\begin{align}
&y = c_1 e^{{m_1}x} + c_2 e^{m_2x}\\[10pt]
&y = c_1 e^{mx} + c_2 x e^{mx}\\[10pt]
&y = e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)
\end{align}윗 식에서 c_1과 c_2는 상수이고, \alpha와 \beta는 켤레복소수로 주어지는 허근 \alpha \pm i \beta에서 나온 것입니다.
상당히 재미있는 주제에요. 노트에 정리하면서 읽어보시면 도움이 될거에요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
Contents
1. 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 풀이 방법
1-1. 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 기본꼴
상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 기본꼴은 다음과 같습니다.
\tag{1-1}
a{{d^2 y}\over{dx^2}} + b {{dy}\over{dx}}+cy =0미분기호를 이용하면 아래와 같이 간결하게 표현할 수 있어요.
\tag{1-2}
ay^{\prime \prime} + by^{\prime} + cy =01-2. 해의 기본 모습과 보조방정식
(1-2)식을 보면 y를 한번 미분한 것과 두번 미분한 것의 합 ay^{\prime \prime} + by^{\prime}이 자기 자신에 상수가 곱해진 -cy와 같다는 것을 알 수 있어요.
이러한 조건을 만족하는 함수는 아래 (1-3)식에 주어진 지수함수에요.
\tag{1-3}
y = e^{mx}그렇다고 (1-3)식이 완벽한 해라고 생각하면 안됩니다. 그 이유는 이계 상미분 방정식은 두개의 해를 가져야 하기 때문이에요.
결국 우리가 구할 것은 (1-3)식의 m인데요. 이 m이 어떻게 주어지느냐에 따라 두개의 해가 결정됩니다.
더 구체적으로 알아보기 위해 우선 (1-3)식을 미분하여 (1-2)식에 대입해 봐요.
\tag{1-4}
\begin{align}
&a(m^2 e^{mx}) + b(me^{mx}) + c(e^{mx}) =0 \\
\end{align}
그리고 다음과 같이 정리합니다.
\tag{1-5}
\begin{align}
({\color{blue}am^2 + bm +c})e^{mx} =0
\end{align}(1-5)식의 우변이 0이므로 좌변도 0이 되어야 해요. 이때 좌변에 있는 e^{mx}는 우리가 설정한 해의 기본꼴이므로 0이 아닙니다. 결국 좌변이 0이 되기 위해서는 파랑색 수식이 0이 되어야 해요.
그래서 파랑색 부분만 다시 쓰면 아래 (1-6)식이 됩니다. 그래서 이 이차방정식을 풀면 우리가 구하고자 하는 m을 구할 수 있게 돼요. 이 식을 보조방정식 또는 특성방정식(auxiliary equation or characteristic equation)이라고 불러요.
\tag{1-6}
\color{blue}am^2 + bm +c =0
m을 구하기 위해 근의 공식을 적용해봐요.
\tag{1-7}
m = {{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}\over{2a}}여기서 판별식 b^2 -4ac의 크기에 따라 m은 서로 다른 두 개의 실근, 중근, 켤레복소수 관계를 갖는 두개의 허근을 갖게 되요. 따라서 m이 어떠한 해를 갖느냐에 따라 우리가 설정한 미분방정식 해의 기본꼴 y=e^{mx}의 구체적인 모양이 결정됩니다.
각각의 경우를 알아봐요.
1-2-1. 보조방정식이 실근을 갖는 경우의 일반해
(1-7)식에서 판별식 b^2 -4ac가 0보다 큰 경우에요. 그러면 m는 두개의 실근을 갖게 되는데요. 하나를 m_1, 다른 하나를 m_2라고 해봐요.
그러면 해는 (1-3)식에 따라 다음과 같이 두개로 표현할 수 있어요.
\tag{1-8}
y_1 = e^{m_1x},~~~~~~~y_2 = e^{m_2x}따라서 (1-2)식에 주어진 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 일반해는 중첩과 선형성의 원리를 적용하여 y=c_1y_1 + c_2y_2로 쓸 수 있어요. 여기에 (1-8)식을 각각 대입하면 일반해는 다음과 같습니다.
\tag{1-9}
\begin{align}
y &= c_1e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2x}
\end{align}1-2-2. 보조방정식이 중근을 갖는 경우의 일반해
이번에는 (1-7)식에서 판별식 b^2 -4ac가 0이 되는 경우에요. 그러면 m={-{b \over {2a}}}로 중근을 갖게 되요.
그러면 미분방정식의 해는 (1-3)식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있어요.
\tag{1-10}
y_1 = e^{mx}그런데 쓰고 났더니 미분 방정식의 해가 하나뿐이에요. 혹시 두번째 해도 첫번째 해와 같은 y_2 = e^{mx}가 아닌가 하고 생각할 수도 있는데요. 그러면 두개의 해가 1차 독립이 아닌 1차 종속이 되므로 그러한 y_2는 해가 될 수 없습니다.
그럼 어떻게 하냐면, 지난 글에서 이계 미분방정식의 한 해를 알 때 1차 독립인 다른 해를 구하는 계수 낮추기 법이 있었잖아요. 그 방법을 적용해서 두번째 해를 구합니다.
방법을 알았으니 이제부터 두번째 해를 구해봐요.
계수 낮추기 법을 적용하기 위해 먼저 (1-2)식의 미분방정식을 다음과 같이 바꾸겠습니다.
\tag{1-11}
y^{\prime \prime} + {b \over a} y^{\prime} + {c \over a} y =0그리고 윗식에서 y^{\prime}의 계수인 {b \over a}를 p로 치환할께요. 그러면 공식에 따라 두번째 해 y_2는 다음과 같습니다.
\tag{1-12}
\begin{align}
y_2 &= y_1\int{{e^{-\int p dx}}\over{y_1^2}} dx\\[10pt]
&=e^{mx} \int {{e^{-\int{b \over a}dx}}\over{e^{2mx}}}dx \\[10pt]
\end{align}여기서 y_1은 (1-10)식의 첫번째 해를 대입한 거에요. 한편 윗 식에 m이 있는데요. 이 값은 (1-7)식에서 판별식 b^2 -4ac가 0이므로 m={-{b \over {2a}}}가 된다고 말씀드렸어요.
따라서 2m={-{b \over a}}가 됩니다. 이 관계를 (1-12)식의 적분식 안에 있는 2m에 대입하고 정리하면 다음이 됩니다.
\tag{1-13}
\begin{align}
y_2 &= e^{mx} \int {{\cancel{e^{-{{b}\over{a}}x}}}\over{\cancel{e^{-{{b}\over{a}}x}}}}dx\\[10pt]
&=x e^{mx}
\end{align}결국 보조방정식이 중근을 갖는 경우 미분방정식의 두 해는 (1-10)식과 (1-13)식으로 구해집니다.
\tag{1-14}
y_1 = e^{m x},~~~~~~~y_2 = xe^{mx}따라서 (1-2)식에 주어진 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 일반해는 중첩과 선형성의 원리를 적용하여 다음과 같이 주어집니다.
\tag{1-15}
\begin{align}
y &= c_1e^{m x} + c_2 xe^{mx}
\end{align}1-2-3. 보조방정식이 허근을 갖는 경우의 일반해
이번에는 (1-7)식에서 판별식 b^2 -4ac가 0보다 작은 경우에요. 그러면 m은 켤레 복소수 관계를 갖는 두개의 허근이 나옵니다.
이때 두 허근을 m_1 = \alpha + i \beta, m_2=\alpha - i \beta로 두겠습니다.
그러면 주어진 미분방정식의 해는 (1-3)식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있어요.
\tag{1-16}
\begin{align}
y_1 = e^{(\alpha + i \beta )x},~~~~~~~y_2 = e^{(\alpha - i \beta)x}
\end{align}따라서 (1-2)식에 주어진 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 일반해는 다음과 같습니다.
\tag{1-17}
\begin{align}
y &= c_1 e^{(\alpha + i \beta)x} + c_2e^{(\alpha - i \beta)x}\\[10pt]
\end{align}그런데 여기서 중요한게 하나 있어요. 위에 있는 (1-17)식은 실수(real number)가 되어야 해요.
그 이유는 비제차 이계 상미분방정식이 등장하는 대표적 사례가 단순조화진동인데요. 이 경우 (1-17)식의 y는 진동하는 물체의 변위에 대응합니다. 그런데 변위가 허수가 되면 안되겠죠. 반드시 실수가 되어야 현실세계의 진동을 설명할 수 있어요.
그런데 (1-17)식에는 허수 i가 포함되어 있어서 이를 소거해야 해요. 일단 (1-17)식이 실수가 되어야 한다는 것을 기억하시고 오일러 공식을 통해 (1-17)식을 전개해 볼게요.
\tag{1-18}
\begin{align}
y &= c_1 e^{\alpha x} e^{i\beta x} + c_2 e^{\alpha x} e^{-i\beta x}\\[10pt]
&=e^{\alpha x}({\color{red}c_1} e^{i\beta x} + {\color{red}c_2} e^{-i\beta x})\\[10pt]
&=e^{\alpha x}\Big({\color{red} {1 \over 2}e^{i k}}e^{i \beta x} + {\color{red}{1 \over 2}e^{-ik}}e^{-i\beta x}\Big)\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \Big({1 \over 2}\Big) \Big(e^{i(\beta x + k)} +e^{-i(\beta x+k)}\Big)\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \Big( {1 \over 2} \Big) \Big[ \cos(\beta x + k )+\cancel {i\sin(\beta x + k)} +\cos(\beta x + k )-{\cancel {i\sin(\beta x+k)}}\Big]\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \Big( {1 \over 2}\Big) [2\cos(\beta x+k)]\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \cos(\beta x + k)\\[10pt]
&=e^{\alpha x}(\cos \beta x \cos k - \sin\beta x \sin k)\\[10pt]
&=e^{\alpha x}({c_1} ^\prime \cos \beta x + {c_2}^{\prime} \sin \beta x)
\end{align}전개 과정에서 c_1과 c_2는 임의의 상수이므로 각각을 {1 \over 2}e^{ik}와 {1 \over 2}e^{-ik}로 대입했습니다. 이때 k도 임의의 상수에요.
그리고 마지막 줄에서 {c_1}^{\prime}과 {c_2}^{\prime}이 있는데요. 이것도 \cos k와 \sin k에 대응하는 임의의 상수일 뿐입니다. 그래서 각각을 c_1과 c_2로 다시 표기하면 다음과 같이 실수의 일반해를 구할 수 있어요.
\tag{1-19}
y = e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)2. 예제
상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 예제 몇개를 풀어보겠습니다.
2-1. 예제1
다음의 상미분방정식을 풀어보세요.
\tag{2-1}
\bold {y^{\prime \prime} - y^{\prime} -2y = 0}(SOL) 그럼 함께 풀어볼까요? 이 미분 방정식은 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식이므로 해의 기본 꼴은 다음과 같아요.
\tag{2-2}
y = e^{mx}결국 m만 구하면 됩니다. (2-2)식을 (2-1)식에 대입하고 정리해 보세요.
\tag{2-3}
\begin{align}
m^2 e^{mx} - me^{mx}-2e^{mx} = 0\\[10pt]
(m^2 -m -2)e^{mx}=0
\end{align}(2-3)식이 성립되기 위해서는 괄호안에 있는 식이 0이 되어야 하죠.
\tag{2-4}
m^2 -m -2 =0이 보조방정식을 풀명 m을 구할 수 있어요. 근의 공식을 적용할게요.
\tag{2-4}
\begin{align}
m &= {{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times(-2)}}\over{2}}\\[10pt]
&={{1 \pm3}\over{2}}
\end{align}결국 m은 2 또는 -1입니다. 따라서 (2-2)식에 m을 대입해주면 주어진 미분방정식의 해는 다음과 같습니다.
\tag{2-5}
y_1 = e^{2x},~~~~~y_2 = e^{-x}결국 일반해는 다음과 같아요.
\tag{2-6}
\begin{align}
y &= c_1 y_1 + c_2 y_2\\
&=c_1 e^{2x} + c_2 e^{-x}
\end{align}2-2. 예제2
다음의 상미분방정식을 풀어보세요.
\tag{2-7}
\bold{y^{\prime \prime} - 4 y^{\prime} + 4y = 0}(SOL) 이 미분방정식은 기본적으로 위 예제1의 (2-2)와 (2-3)식의 풀이과정을 똑같이 적용하면 됩니다. 그러면 다음의 보조방정식이 얻어져요.
\tag{2-8}
m^2 - 4m +4 =0이제 m을 구해봐요.
\tag{2-9}
\begin{align}
m &= {{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\times1 \times4}}\over{2}}\\[10pt]
&=2
\end{align}m=2로 중근을 갖는군요. 이 경우 일반해는 (1-15)식에 따라 다음과 같이 주어지므로 m에 2를 대입합니다.
\tag{2-10}
\begin{align}
y &= c_1e^{m x} + c_2 xe^{mx}\\[10pt]
&=c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}
\end{align}
2-3. 예제3
다음의 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분방정식을 풀어보세요.
\tag{2-11}
\bold{y^{\prime \prime} + y^{\prime} + y =0}(SOL) 위 미분방정식의 보조방정식은 다음과 같이 주어지겠죠.
\tag{2-12}
m^2 + m + 1 = 0근의 공식으로 m을 구해보세요.
\tag{2-13}
\begin{align}
m &= {{-1 \pm\sqrt{1^2 - 4\times1\times1}}\over{2}}\\[10pt]
&={{-1 \pm i\sqrt3}\over{2}}
\end{align}보조방정식을 풀었더니 m이 허근을 갖습니다. 따라서 (2-13)식을 \alpha \pm i \beta의 형태로 본다면 \alpha = -{1 \over 2}, \beta = {\sqrt{3} \over 2}이 됩니다.
결국 보조방정식이 허근을 갖는 경우 미분방정식의 일반해는 (1-19)식을 이용해 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\tag{2-14}
\begin{align}
y &= e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)\\[10pt]
&=e^{-{1 \over 2}x} \Big[c_1 \cos \Big({{\sqrt3}\over{2}} x \Big)+c_2 \sin \Big( {{\sqrt 3}\over{2}}x \Big) \Big]
\end{align}
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