Last Updated on 2024-03-03 by BallPen
상수 계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 풀이 방법을 알아보겠습니다.
제차 이계 상미분 방정식 중 상수계수를 갖는 경우의 풀이 방법을 소개합니다.
지난 글에서는 제차 이계 상미분 방정식의 한 해를 알 때 다른 해를 구하는 방법을 알아봤어요. 이것을 ‘계수 낮추기 ‘ 법이라고 했어요.
이번 글에서는 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 해를 온전히 구하는 방법을 다룹니다.
상수 계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 기본꼴은 다음 (D1)식과 같아요. 여기서 상수 계수란 각 항의 계수 즉 아래 식에서 a a a b b b c c c
a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 (D1) \tag{D1}
a y^{\prime\prime} + by^{\prime}+cy =0 a y ′′ + b y ′ + cy = 0 ( D1 ) 이 상미분 방정식은 풀이 과정에서 등장하는 보조방정식(auxillary equation)을 통해 m m m 일반해 를 갖습니다.
y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x y = c 1 e m x + c 2 x e m x y = e α x ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) (D2) \tag{D2}
\begin{align}
&y = c_1 e^{{m_1}x} + c_2 e^{m_2x}\\[10pt]
&y = c_1 e^{mx} + c_2 x e^{mx}\\[10pt]
&y = e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)
\end{align} y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x y = c 1 e m x + c 2 x e m x y = e αx ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) ( D2 ) 윗 식에서 c 1 c_1 c 1 c 2 c_2 c 2 α \alpha α β \beta β α ± i β \alpha \pm i \beta α ± i β
상당히 재미있는 주제에요. 노트에 정리하면서 읽어보시면 도움이 될거에요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
1. 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 풀이 방법 1-1. 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 기본꼴 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 기본꼴은 다음과 같습니다.
a d 2 y d x 2 + b d y d x + c y = 0 (1-1) \tag{1-1}
a{{d^2 y}\over{dx^2}} + b {{dy}\over{dx}}+cy =0 a d x 2 d 2 y + b d x d y + cy = 0 ( 1-1 ) 미분기호를 이용하면 아래와 같이 간결하게 표현할 수 있어요.
a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 (1-2) \tag{1-2}
ay^{\prime \prime} + by^{\prime} + cy =0 a y ′′ + b y ′ + cy = 0 ( 1-2 ) 1-2. 해의 기본 모습과 보조방정식 (1-2)식을 보면 y y y a y ′ ′ + b y ′ ay^{\prime \prime} + by^{\prime} a y ′′ + b y ′ − c y -cy − cy
이러한 조건을 만족하는 함수는 아래 (1-3)식에 주어진 지수함수 에요.
y = e m x (1-3) \tag{1-3}
y = e^{mx} y = e m x ( 1-3 ) 그렇다고 (1-3)식이 완벽한 해라고 생각하면 안됩니다. 그 이유는 이계 상미분 방정식은 두개의 해를 가져야 하기 때문이에요.
결국 우리가 구할 것은 (1-3)식의 m m m m m m
더 구체적으로 알아보기 위해 우선 (1-3)식을 미분하여 (1-2)식에 대입해 봐요.
a ( m 2 e m x ) + b ( m e m x ) + c ( e m x ) = 0 (1-4) \tag{1-4}
\begin{align}
&a(m^2 e^{mx}) + b(me^{mx}) + c(e^{mx}) =0 \\
\end{align}
a ( m 2 e m x ) + b ( m e m x ) + c ( e m x ) = 0 ( 1-4 ) 그리고 다음과 같이 정리합니다.
( a m 2 + b m + c ) e m x = 0 (1-5) \tag{1-5}
\begin{align}
({\color{blue}am^2 + bm +c})e^{mx} =0
\end{align} ( a m 2 + bm + c ) e m x = 0 ( 1-5 ) (1-5)식의 우변이 0이므로 좌변도 0이 되어야 해요. 이때 좌변에 있는 e m x e^{mx} e m x
그래서 파랑색 부분만 다시 쓰면 아래 (1-6)식이 됩니다. 그래서 이 이차방정식 을 풀면 우리가 구하고자 하는 m m m
a m 2 + b m + c = 0 (1-6) \tag{1-6}
\color{blue}am^2 + bm +c =0
a m 2 + bm + c = 0 ( 1-6 ) m m m 근의 공식 을 적용해봐요.
m = − b ± b 2 − 4 a c 2 a (1-7) \tag{1-7}
m = {{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}\over{2a}} m = 2 a − b ± b 2 − 4 a c ( 1-7 ) 여기서 판별식 b 2 − 4 a c b^2 -4ac b 2 − 4 a c m m m m m m y = e m x y=e^{mx} y = e m x
각각의 경우를 알아봐요.
1-2-1. 보조방정식이 실근을 갖는 경우의 일반해 (1-7)식에서 판별식 b 2 − 4 a c b^2 -4ac b 2 − 4 a c m m m m 1 m_1 m 1 m 2 m_2 m 2
그러면 해는 (1-3)식에 따라 다음과 같이 두개로 표현할 수 있어요.
y 1 = e m 1 x , y 2 = e m 2 x (1-8) \tag{1-8}
y_1 = e^{m_1x},~~~~~~~y_2 = e^{m_2x} y 1 = e m 1 x , y 2 = e m 2 x ( 1-8 ) 따라서 (1-2)식에 주어진 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 일반해는 중첩과 선형성의 원리 를 적용하여 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 y=c_1y_1 + c_2y_2 y = c 1 y 1 + c 2 y 2
y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x (1-9) \tag{1-9}
\begin{align}
y &= c_1e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2x}
\end{align} y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x ( 1-9 ) 1-2-2. 보조방정식이 중근을 갖는 경우의 일반해 이번에는 (1-7)식에서 판별식 b 2 − 4 a c b^2 -4ac b 2 − 4 a c m = − b 2 a m={-{b \over {2a}}} m = − 2 a b
그러면 미분방정식의 해는 (1-3)식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있어요.
y 1 = e m x (1-10) \tag{1-10}
y_1 = e^{mx} y 1 = e m x ( 1-10 ) 그런데 쓰고 났더니 미분 방정식의 해가 하나뿐이에요. 혹시 두번째 해도 첫번째 해와 같은 y 2 = e m x y_2 = e^{mx} y 2 = e m x 1차 독립 이 아닌 1차 종속이 되므로 그러한 y 2 y_2 y 2
그럼 어떻게 하냐면, 지난 글에서 이계 미분방정식의 한 해를 알 때 1차 독립인 다른 해를 구하는 계수 낮추기 법이 있었잖아요. 그 방법을 적용해서 두번째 해를 구합니다.
방법을 알았으니 이제부터 두번째 해를 구해봐요.
계수 낮추기 법을 적용하기 위해 먼저 (1-2)식의 미분방정식을 다음과 같이 바꾸겠습니다.
y ′ ′ + b a y ′ + c a y = 0 (1-11) \tag{1-11}
y^{\prime \prime} + {b \over a} y^{\prime} + {c \over a} y =0 y ′′ + a b y ′ + a c y = 0 ( 1-11 ) 그리고 윗식에서 y ′ y^{\prime} y ′ b a {b \over a} a b p p p y 2 y_2 y 2
y 2 = y 1 ∫ e − ∫ p d x y 1 2 d x = e m x ∫ e − ∫ b a d x e 2 m x d x (1-12) \tag{1-12}
\begin{align}
y_2 &= y_1\int{{e^{-\int p dx}}\over{y_1^2}} dx\\[10pt]
&=e^{mx} \int {{e^{-\int{b \over a}dx}}\over{e^{2mx}}}dx \\[10pt]
\end{align} y 2 = y 1 ∫ y 1 2 e − ∫ p d x d x = e m x ∫ e 2 m x e − ∫ a b d x d x ( 1-12 ) 여기서 y 1 y_1 y 1 m m m b 2 − 4 a c b^2 -4ac b 2 − 4 a c m = − b 2 a m={-{b \over {2a}}} m = − 2 a b
따라서 2 m = − b a 2m={-{b \over a}} 2 m = − a b 2 m 2m 2 m
y 2 = e m x ∫ e − b a x e − b a x d x = x e m x (1-13) \tag{1-13}
\begin{align}
y_2 &= e^{mx} \int {{\cancel{e^{-{{b}\over{a}}x}}}\over{\cancel{e^{-{{b}\over{a}}x}}}}dx\\[10pt]
&=x e^{mx}
\end{align} y 2 = e m x ∫ e − a b x e − a b x d x = x e m x ( 1-13 ) 결국 보조방정식이 중근을 갖는 경우 미분방정식의 두 해는 (1-10)식과 (1-13)식으로 구해집니다.
y 1 = e m x , y 2 = x e m x (1-14) \tag{1-14}
y_1 = e^{m x},~~~~~~~y_2 = xe^{mx} y 1 = e m x , y 2 = x e m x ( 1-14 ) 따라서 (1-2)식에 주어진 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 일반해는 중첩과 선형성의 원리를 적용하여 다음과 같이 주어집니다.
y = c 1 e m x + c 2 x e m x (1-15) \tag{1-15}
\begin{align}
y &= c_1e^{m x} + c_2 xe^{mx}
\end{align} y = c 1 e m x + c 2 x e m x ( 1-15 ) 1-2-3. 보조방정식이 허근을 갖는 경우의 일반해 이번에는 (1-7)식에서 판별식 b 2 − 4 a c b^2 -4ac b 2 − 4 a c m m m
이때 두 허근을 m 1 = α + i β m_1 = \alpha + i \beta m 1 = α + i β m 2 = α − i β m_2=\alpha - i \beta m 2 = α − i β
그러면 주어진 미분방정식의 해는 (1-3)식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있어요.
y 1 = e ( α + i β ) x , y 2 = e ( α − i β ) x (1-16) \tag{1-16}
\begin{align}
y_1 = e^{(\alpha + i \beta )x},~~~~~~~y_2 = e^{(\alpha - i \beta)x}
\end{align} y 1 = e ( α + i β ) x , y 2 = e ( α − i β ) x ( 1-16 ) 따라서 (1-2)식에 주어진 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식의 일반해는 다음과 같습니다.
y = c 1 e ( α + i β ) x + c 2 e ( α − i β ) x (1-17) \tag{1-17}
\begin{align}
y &= c_1 e^{(\alpha + i \beta)x} + c_2e^{(\alpha - i \beta)x}\\[10pt]
\end{align} y = c 1 e ( α + i β ) x + c 2 e ( α − i β ) x ( 1-17 ) 그런데 여기서 중요한게 하나 있어요. 위에 있는 (1-17)식은 실수(real number) 가 되어야 해요.
그 이유는 비제차 이계 상미분방정식이 등장하는 대표적 사례가 단순조화진동인데요. 이 경우 (1-17)식의 y y y
그런데 (1-17)식에는 허수 i i i 오일러 공식 을 통해 (1-17)식을 전개해 볼게요.
y = c 1 e α x e i β x + c 2 e α x e − i β x = e α x ( c 1 e i β x + c 2 e − i β x ) = e α x ( 1 2 e i k e i β x + 1 2 e − i k e − i β x ) = e α x ( 1 2 ) ( e i ( β x + k ) + e − i ( β x + k ) ) = e α x ( 1 2 ) [ cos ( β x + k ) + i sin ( β x + k ) + cos ( β x + k ) − i sin ( β x + k ) ] = e α x ( 1 2 ) [ 2 cos ( β x + k ) ] = e α x cos ( β x + k ) = e α x ( cos β x cos k − sin β x sin k ) = e α x ( c 1 ′ cos β x + c 2 ′ sin β x ) (1-18) \tag{1-18}
\begin{align}
y &= c_1 e^{\alpha x} e^{i\beta x} + c_2 e^{\alpha x} e^{-i\beta x}\\[10pt]
&=e^{\alpha x}({\color{red}c_1} e^{i\beta x} + {\color{red}c_2} e^{-i\beta x})\\[10pt]
&=e^{\alpha x}\Big({\color{red} {1 \over 2}e^{i k}}e^{i \beta x} + {\color{red}{1 \over 2}e^{-ik}}e^{-i\beta x}\Big)\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \Big({1 \over 2}\Big) \Big(e^{i(\beta x + k)} +e^{-i(\beta x+k)}\Big)\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \Big( {1 \over 2} \Big) \Big[ \cos(\beta x + k )+\cancel {i\sin(\beta x + k)} +\cos(\beta x + k )-{\cancel {i\sin(\beta x+k)}}\Big]\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \Big( {1 \over 2}\Big) [2\cos(\beta x+k)]\\[10pt]
&=e^{\alpha x} \cos(\beta x + k)\\[10pt]
&=e^{\alpha x}(\cos \beta x \cos k - \sin\beta x \sin k)\\[10pt]
&=e^{\alpha x}({c_1} ^\prime \cos \beta x + {c_2}^{\prime} \sin \beta x)
\end{align} y = c 1 e αx e i β x + c 2 e αx e − i β x = e αx ( c 1 e i β x + c 2 e − i β x ) = e αx ( 2 1 e ik e i β x + 2 1 e − ik e − i β x ) = e αx ( 2 1 ) ( e i ( β x + k ) + e − i ( β x + k ) ) = e αx ( 2 1 ) [ cos ( β x + k ) + i sin ( β x + k ) + cos ( β x + k ) − i sin ( β x + k ) ] = e αx ( 2 1 ) [ 2 cos ( β x + k )] = e αx cos ( β x + k ) = e αx ( cos β x cos k − sin β x sin k ) = e αx ( c 1 ′ cos β x + c 2 ′ sin β x ) ( 1-18 ) 전개 과정에서 c 1 c_1 c 1 c 2 c_2 c 2 1 2 e i k {1 \over 2}e^{ik} 2 1 e ik 1 2 e − i k {1 \over 2}e^{-ik} 2 1 e − ik k k k
그리고 마지막 줄에서 c 1 ′ {c_1}^{\prime} c 1 ′ c 2 ′ {c_2}^{\prime} c 2 ′ cos k \cos k cos k sin k \sin k sin k c 1 c_1 c 1 c 2 c_2 c 2
y = e α x ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) (1-19) \tag{1-19}
y = e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x) y = e αx ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) ( 1-19 )
2. 예제 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식 예제 몇개를 풀어보겠습니다.
2-1. 예제1 다음의 상미분방정식을 풀어보세요.
y ′ ′ − y ′ − 2 y = 0 (2-1) \tag{2-1}
\bold {y^{\prime \prime} - y^{\prime} -2y = 0} y ′′ − y ′ − 2y = 0 ( 2-1 ) (SOL) 그럼 함께 풀어볼까요? 이 미분 방정식은 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분 방정식이므로 해의 기본 꼴은 다음과 같아요.
y = e m x (2-2) \tag{2-2}
y = e^{mx} y = e m x ( 2-2 ) 결국 m m m
m 2 e m x − m e m x − 2 e m x = 0 ( m 2 − m − 2 ) e m x = 0 (2-3) \tag{2-3}
\begin{align}
m^2 e^{mx} - me^{mx}-2e^{mx} = 0\\[10pt]
(m^2 -m -2)e^{mx}=0
\end{align} m 2 e m x − m e m x − 2 e m x = 0 ( m 2 − m − 2 ) e m x = 0 ( 2-3 ) (2-3)식이 성립되기 위해서는 괄호안에 있는 식이 0이 되어야 하죠.
m 2 − m − 2 = 0 (2-4) \tag{2-4}
m^2 -m -2 =0 m 2 − m − 2 = 0 ( 2-4 ) 이 보조방정식을 풀명 m m m
m = 1 ± ( − 1 ) 2 − 4 × 1 × ( − 2 ) 2 = 1 ± 3 2 (2-4) \tag{2-4}
\begin{align}
m &= {{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times(-2)}}\over{2}}\\[10pt]
&={{1 \pm3}\over{2}}
\end{align} m = 2 1 ± ( − 1 ) 2 − 4 × 1 × ( − 2 ) = 2 1 ± 3 ( 2-4 ) 결국 m m m m m m
y 1 = e 2 x , y 2 = e − x (2-5) \tag{2-5}
y_1 = e^{2x},~~~~~y_2 = e^{-x} y 1 = e 2 x , y 2 = e − x ( 2-5 ) 결국 일반해는 다음과 같아요.
y = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 e 2 x + c 2 e − x (2-6) \tag{2-6}
\begin{align}
y &= c_1 y_1 + c_2 y_2\\
&=c_1 e^{2x} + c_2 e^{-x}
\end{align} y = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 e 2 x + c 2 e − x ( 2-6 ) 2-2. 예제2 다음의 상미분방정식을 풀어보세요.
y ′ ′ − 4 y ′ + 4 y = 0 (2-7) \tag{2-7}
\bold{y^{\prime \prime} - 4 y^{\prime} + 4y = 0} y ′′ − 4 y ′ + 4y = 0 ( 2-7 ) (SOL) 이 미분방정식은 기본적으로 위 예제1의 (2-2)와 (2-3)식의 풀이과정을 똑같이 적용하면 됩니다. 그러면 다음의 보조방정식이 얻어져요.
m 2 − 4 m + 4 = 0 (2-8) \tag{2-8}
m^2 - 4m +4 =0 m 2 − 4 m + 4 = 0 ( 2-8 ) 이제 m m m
m = 4 ± ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 4 2 = 2 (2-9) \tag{2-9}
\begin{align}
m &= {{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\times1 \times4}}\over{2}}\\[10pt]
&=2
\end{align} m = 2 4 ± ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 4 = 2 ( 2-9 ) m = 2 m=2 m = 2 m m m
y = c 1 e m x + c 2 x e m x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x (2-10) \tag{2-10}
\begin{align}
y &= c_1e^{m x} + c_2 xe^{mx}\\[10pt]
&=c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}
\end{align}
y = c 1 e m x + c 2 x e m x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x ( 2-10 ) 2-3. 예제3 다음의 상수계수를 갖는 제차 이계 상미분방정식을 풀어보세요.
y ′ ′ + y ′ + y = 0 (2-11) \tag{2-11}
\bold{y^{\prime \prime} + y^{\prime} + y =0} y ′′ + y ′ + y = 0 ( 2-11 ) (SOL) 위 미분방정식의 보조방정식은 다음과 같이 주어지겠죠.
m 2 + m + 1 = 0 (2-12) \tag{2-12}
m^2 + m + 1 = 0 m 2 + m + 1 = 0 ( 2-12 ) 근의 공식으로 m m m
m = − 1 ± 1 2 − 4 × 1 × 1 2 = − 1 ± i 3 2 (2-13) \tag{2-13}
\begin{align}
m &= {{-1 \pm\sqrt{1^2 - 4\times1\times1}}\over{2}}\\[10pt]
&={{-1 \pm i\sqrt3}\over{2}}
\end{align} m = 2 − 1 ± 1 2 − 4 × 1 × 1 = 2 − 1 ± i 3 ( 2-13 ) 보조방정식을 풀었더니 m m m α ± i β \alpha \pm i \beta α ± i β α = − 1 2 \alpha = -{1 \over 2} α = − 2 1 β = 3 2 \beta = {\sqrt{3} \over 2} β = 2 3
결국 보조방정식이 허근을 갖는 경우 미분방정식의 일반해는 (1-19)식을 이용해 다음과 같이 구할 수 있습니다.
y = e α x ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) = e − 1 2 x [ c 1 cos ( 3 2 x ) + c 2 sin ( 3 2 x ) ] (2-14) \tag{2-14}
\begin{align}
y &= e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)\\[10pt]
&=e^{-{1 \over 2}x} \Big[c_1 \cos \Big({{\sqrt3}\over{2}} x \Big)+c_2 \sin \Big( {{\sqrt 3}\over{2}}x \Big) \Big]
\end{align} y = e αx ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) = e − 2 1 x [ c 1 cos ( 2 3 x ) + c 2 sin ( 2 3 x ) ] ( 2-14 )
흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
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