한편 윗 식의 가장 마지막줄 빨강색 부분을 하나의 덩어리로 보면 전기장의 발산 공식인 ∫V(∇⋅E)dτ=∮sE⋅da가 성립함을 알 수 있어요.
그 관계를 적용하면 다음과 같아질 거에요.
W=2ϵ0(∮sVE⋅da+∫VE2dτ)(2-4)
윗 식과 같이 연속전하분포에 저장된 에너지는 두개의 항으로 구성되는데요. 첫번째 항은 면적분으로 주어지고 두번째 항은 부피적분으로 주어져요.
2-1. 연속 전하 분포가 포함된 무한대 공간의 에너지
(2-4)식의 개념을 확대하기 위해 연속전하분포가 무한대 공간의 어느 한 지점에 있다고 했을 때 그 무한대 공간 안에 저장된 에너지를 생각해봐요.
이렇게 생각하는 이유는 어느 한 지점에 연속전하분포를 만들기 위해서는 무한대에 있는 전하를 끊임없이 이동시켜야 하고, 이 과정에서 투입된 일이 연속전하분포에 저장된 에너지가 됩니다. 이를 반대로 생각하면 연속전하분포에 저장된 총 에너지를 구하기 위해서는 적분 공간을 무한대까지 확대해야 무한대로부터 전하를 이동시킬 때 투입된 일과 같아지는거에요.
그런데 공간을 무한대로 확장하면 (2-4)식의 면적적분 항은 0이 됩니다. 왜냐면 VE를 하나의 어떤 벡터량으로 본다면 면적적분은 그 벡터량의 선속에 해당합니다. 마치 가우스 법칙처럼 생각해보자는 거에요.
[그림 1] 연속전하분포로부터 무한대만큼 떨어진 곳의 VE는 0으로 근사할 수 있습니다.
그런데 r이 유한한 곳에서는 전위 V와 전기장 E의 곱 VE는 유한한 크기를 갖는 벡터가 될거에요. 그런데 [그림 1]과 같이 r이 무한대가 되면 V는 r1에 비례하고, E의 크기는 r21에 비례하므로 r이 커질수록 VE는 점점 작아져 무한대인 곳에서는 0이 될 것을 짐작할 수 있어요.
따라서 무한대인 곳에서 [그림 1]에 나타낸 미소 구면 da를 통과하는 VE의 선속은 0으로 볼 수 있고, 이를 확장해서 전체 구면의 선속을 생각하더라도 0이 되는 거에요.
반면에 (2-4)식의 부피적분은 0이 아닌데요. 이 경우에도 물론 무한대인 곳에서의 전기장의 크기 E는 0으로 볼수 있지만, [그림 1]의 부피 안에는 전기장이 0이 아니기 때문이에요.
따라서 연속 전하 분포를 포함한 무한대 공간(즉, all space)에 저장된 에너지는 다음과 같습니다.
W=2ϵ0∫allspaceE2dτ(2-5)
여기서 중요한 것은 공간안에 전기장 E가 존재한다면 에너지 W가 존재한다는 거에요. 그래서 “에너지는 전기장의 형태로 저장된다”라고 말합니다.
2-2. 연속 전하 분포가 포함되지 않은 공간에서의 에너지
이번에는 연속전하분포가 포함되지 않은 공간에서의 에너지를 구해 봐요. 물론 이 공간 안에 전하는 없지만 전기장이 있는 경우를 생각해 봐요.
이에 대한 대표적 예가 평행판 축전기에 저장된 에너지를 구해보는 거에요.
[평행판 축전기에 저장된 에너지 공식 #1]
아래 그림은 평행판 축전기의 모습을 나타냅니다.
[그림 2] 평행판 축전기에 저장된 에너지는 연속전하 분포의 에너지 개념으로 구할 수 있습니다. 단 가우스 곡면 안에 연속 전하가 없는 경우에 해당하죠.
판의 면적은 A이고, 판 사이의 거리는 d에요. 그리고 판에 저장된 면전하밀도는 σ입니다.
그림에 표기한 파랑색 선처럼 두 판사이 공간에 저장된 에너지를 구해 볼께요. 중요한 것은 저 공간안에 연속전하가 없다는 거에요. 단지 전기장만 있을 뿐이죠.
그럼 저 위에 있는 (2-4)식을 아래에 다시 쓸게요.
W=2ϵ0(∮sVE⋅da+∫VE2dτ)(2-6)
이때 면적분은 위에서 말씀 드렸듯이 닫혀진 면을 통과하는 VE의 선속을 뜻해요. 가우스 법칙에서 말씀드렸듯이 닫혀진 가우스 면 안에 전하가 없으면 선속은 0이 됩니다.
왜냐면 들어오는 선속과 나가는 선속이 같기 때문이에요. 결국 이번에도 (2-6)식의 첫번째 항은 0이 됩니다. 그러면 남게되는 것은 이번에도 부피적분 뿐이에요.
W=2ϵ0∫VE2dτ(2-7)
이때 평행판 면적 A에 비해 두 판사이의 거리 d가 아주 작다면 무한 평행판 사이의 전기장으로 근사할 수 있어요. 그러면 두 판사이의 전기장 크기는 ϵ0σ로 상수가 됩니다.
그러면 전기장 크기 E는 (2-7)식에서 적분기호 밖으로 나갈수 있게 되고 전체 공간 V는 판의 면적 A와 그 사이의 거리 d의 곱으로 주어집니다.
이것을 식으로 표현하면 다음과 같아요. 이때 V는 전압이 아니라 평행판 사이의 공간이 차지하는 부피를 뜻하는 것임을 주지하세요.