등온 과정 (isothermal process)

Last Updated on 2022-07-10 by BallPen

열역학적 과정 중 등온 과정에 대한 이야기 입니다.

등온 과정 (isothermal process)은 지난 글에서 설명드린 등적 과정과 함께 대표적인 열역학적 과정 중의 하나입니다.

이번에도 기체의 분자 운동을 생각하면서 등온 과정을 이해해봐요.

시작하겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 열역학 주요 개념 복습

등온 과정을 말씀드리기 전에 열량 Q, 내부에너지 변화 \Delta U, 일 W, 압력 P에 대해 잠시 복습하겠습니다.

이 내용이 잘 이해가 안가시면 이전 글을 꼭 읽어봐 주세요.

첫째, 열량 Q는 뜨거운 물체에서 차가운 물체로 전달되는 에너지를 말합니다. 뜨거운 불꽃이 차가운 냄비를 가열하게 되는 이유는 불꽃에서 냄비로 열량이 전달되기 때문이에요.

둘째, 내부에너지 변화 \Delta U는 계의 온도 변화에 비례하며, 이것은 곧 계 내에 있는 기체 분자의 운동에너지와도 비례함을 뜻합니다.

\tag{1}
\color{blue}\Delta U \propto \Delta T \propto \Delta KE

셋째, 일 W는 계의 부피 변화량에 비례합니다. 계의 부피가 증가하는 것은 계가 일을 하는 것이고 부피가 감소하는 것은 일을 받는 것입니다.

\tag{2}
\color{blue}W=P \Delta V

넷째, 압력 P는 계의 단위 부피당 기체 분자의 운동에너지를 말합니다. 그러므로 기체 분자의 운동에너지가 일정하더라도 계의 부피가 감소하면 압력은 증가합니다. 반대로 계의 부피가 일정하게 유지되더라도 기체 분자의 운동에너지가 증가할 때에도 압력은 증가합니다.

\tag{3}
\color{blue}P \propto {T \over V} \propto {KE \over V}

2. 등온 과정

등온 과정은 기체 분자가 들어 있는 가상적인 계에 열량 Q가 유입될 때 온도가 일정하게 유지되는 상태에서의 열역학적 과정을 말합니다.

열량이 들어가더라도 계 내의 온도가 일정하게 유지된다는 것을 가정하고 있으므로 이를 등온 과정이라 부릅니다.

등온 과정이 일어나는 동안의 기체 분자 운동, 열역학 제1법칙, PV 도표가 어떻게 달라지는지 순서대로 알아보겠습니다.

2-1. 등온 과정에서의 분자 운동

[그림 1]에 외부와 열적으로 단열된 실린더가 있어요. 이때 단열되어 있다는 것은 실린더 벽을 통해 열의 누출이나 유입이 일어나지 않는다는 것을 말합니다.

이 실린더 안에 있는 기체 분자 온도는 T_1이에요. 이때 분자 온도는 (3)식과 같이 분자의 운동에너지 KE에 대응합니다.

아울러 온도 T_1일 때 피스톤은 [그림 1]에 표기한대로 A위치에 있는 것으로 상상해 보세요.

[그림 1] 등온 과정. 차가운 온도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">T_1</span>의 기체 분자가 들어 있는 실린더가 뜨거운 온도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">T_2</span>의 열저장체와 열적으로 접촉되어 있습니다.
[그림 1] 등온 과정. 차가운 온도 T_1의 기체 분자가 들어 있는 실린더가 뜨거운 온도 T_2의 열저장체와 열적으로 접촉되어 있습니다.

그런데 이 실린더가 [그림 1]과 같이 온도가 T_2인 뜨거운 열저장체와 열적으로 접촉되었어요. 그러면 뜨거운 열저장체에서 차가운 실린더로 열량 Q가 전달될 거에요.

그러면 무슨 일이 일어날까요?

우리는 등온 과정을 가정하고 있으므로 열량 Q가 실린더로 전달되더라도 분자 온도 T_1이 유지되는 상태를 고려해야 합니다.

[그림 1]의 \textcircled{1}번을 보면 온도 T_1을 갖는 기체분자의 운동에너지 KE_1의 크기를 화살표로 표시한 것을 볼 수 있어요. 이 기체 분자는 온도 T_2인 뜨거운 열저장체와 충돌하여 열량 Q를 흡수하게 됩니다.

이를 통해 온도 T_1의 운동에너지를 갖던 기체분자는 열량 Q 만큼 운동에너지가 커져, 결국 온도 T_2인 운동에너지를 갖게 되요. 이것을 표현한 것이 \textcircled{2}번이에요.

열저장체와의 충돌로 열량 Q 만큼 더 큰 운동에너지를 갖게 된 기체분자는 수직 상방으로 그대로 이동하여 이번에는 실린더의 피스톤과 충돌하게 됩니다. 그러면 기체분자의 운동량이 피스톤으로 전달되어 피스톤이 위쪽으로 밀려 올라가게 됩니다.

이것을 그림으로 나타낸 것이 [그림 1]의 \textcircled{3}이에요. 그림에는 하나의 기체분자만 그렸습니다만 수많은 기체분자들이 피스톤과 충돌하여 피스톤을 최초 A위치에서 B위치로 이동시키게 되요.

이것이 뜻하는 것은 뜨거운 열저장체로부터 흡수된 열량이 기체분자의 운동에너지를 크게 만들고, 기체분자가 피스톤과 충돌함으로써 피스톤이 일을 하게 되는 것으로 이해할 수 있어요.

즉, 열저장체로부터 흡수한 열량Q가 피스톤이 일 W를 하는데 모두 사용하게 되는 것입니다.

마지막으로 피스톤과 충돌한 기체 분자는 자신의 운동에너지를 Q만큼 잃게 되어 온도 T_1의 운동에너지를 갖는 기체분자로 되돌아 갑니다.

이것이 [그림 1]의 \textcircled{4}번 기체 분자에요. 그리고 이 분자는 다시 열저장체와 충돌함으로써 순환이 이루어지게 됩니다.

2-2. 등온 과정에서의 열역학 제1법칙

열역학 제1법칙은 \Delta U = Q-W로 주어집니다.

등온 과정은 열량 Q가 계로 유입되는 동안 계의 온도가 일정하게 유지되는 열역학적 과정이므로 내부에너지 변화량 \Delta U가 0입니다. 계의 온도가 변하지 않으므로 \Delta U가 0인 거에요.

그러므로 등온 과정에서의 열역학 제1법칙은 다음과 같이 표현됩니다.

\tag{4}
W=Q

한편 등온과정은 온도가 일정하게 유지되는 과정이므로 열저장체로부터 열량이 유입되더라도 피스톤 내 기체분자의 운동에너지가 변하면 안되요.

그런데 [그림 1]을 보면 온도 T_1의 기체분자가 존재하고 열저장체와 충돌한 온도 T_2인 기체분자도 존재해요.

그러면 모든 분자의 평균 온도를 구했을 때 T_1보다 크게 되어 등온 과정이 성립하지 않는 것으로 볼 수도 있어요.

그런데 여기서 하나 더 생각할게 있어요.

온도 T_1의 기체분자도 피스톤과 충돌할 수 있잖아요. 이 과정에서 온도 T_1의 기체 분자도 피스톤을 위쪽으로 밀어 올릴 수 있어요. 그러면 충돌한 기체 분자의 온도는 이번에는 T_1보다 작아지게 될 거에요.

따라서 실린더 안에 있는 기체분자는 대부분 온도 T_1인 상태에 있고, T_1보다 높은 온도의 기체 분자, T_1보다 낮은 온도의 기체분자가 혼합되어 전체 평균이 T_1으로 유지된다고 이해하시면 좋겠습니다.

2-3. 등온 과정에서의 PV 도표

이전 글에서 설명드린 것처럼 PV 도표(또는 PV 다이어그램)를 이용하면 압력, 부피, 온도의 상태변수를 하나의 점으로 표현할 수 있어요.

아래 [그림 2]는 등온 과정이 일어나는 동안 PV 도표가 어떻게 달라지는가를 보여주고 있습니다.

[그림 2] 등온 과정에 대한 PV 도표. <span class="katex-eq" data-katex-display="false">A</span>점이 등온선을 따라 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">B</span>점으로 이동합니다.
[그림 2] 등온 과정에 대한 PV 도표. A점이 등온선을 따라 B점으로 이동합니다.

[그림 2]와 같이 A 상태에서 온도가 일정한 등온선을 따라 B상태로로 이동하는 것이 등온 과정입니다.

이 과정에서 기체분자가 들어있는 계의 부피, 즉 실린더 부피는 V_A에서 V_B로 커지게 됩니다. 그 이유는 앞서 설명드린 바와 같이 뜨거운 열저장체로부터 흡수한 열량을 모두 그대로 피스톤을 밀어 올리는데 사용하기 때문입니다.

또한 등온 과정에서 계의 압력도 변하게 되는데요. 그림에는 표기하지 않았습니다만 A점에서의 압력을 P_A, B점에서의 압력을 P_B라고 했을 때 압력이 감소하는 것을 알 수 있습니다.

등온 과정이므로 피스톤 안에 있는 기체분자의 온도와 운동에너지가 일정하게 유지되어 압력이 변하지 않을 것처럼 생각되기도 해요. 그러나 개념 복습에서 설명드린 것처럼 압력이란 단위부피당 기체 분자의 평균 운동에너지입니다.

즉 기체분자들의 평균 운동에너지는 변하지 않더라도 계의 부피가 증가하면 단위부피당 운동에너지, 즉 압력은 감소하게 됩니다.

3. 등온 과정에서 한 일의 크기

위에서 설명드렸듯이 등온 과정에서는 계가 전달받은 열량 Q만큼 계가 일 W을 하게 됩니다. 그렇다면 계가 한 일의 크기는 어떻게 구할 수 있을까요?

(2)식을 활용하면 됩니다. 또한 한 일은 [그림 2]의 PV 도표에서 A점과 B점을 있는 곡선 아래의 면적을 구하는 것과 같습니다.

한편 압력이 부피에 의존하여 변하므로 일을 구하기 위해서는 적분을 해주어야 하고요. 아울러 이상기체상태방정식에 따르면 압력은 다음 (5)식과 같이 주어집니다.

\tag{5}
P = {{nRT}\over{V}}

그럼 이제 계가 한 일의 크기를 구해 보겠습니다.

\tag{6}
\begin{align}
W &= \int_{V_A}^{V_B}PdV\\
&=\int_{V_A}^{V_B}{{nRT}\over{V}} dV\\
&=nRT \int_{V_A}^{V_B}{{1}\over{V}}dV\\
&=nRT\Big[ \ln V \Big]_{V_A}^{V_B}\\
&=nRT\Big(\ln{V_B} - \ln{V_A}\Big)\\
&=nRT\ln{{V_B}\over{V_A}}
\end{align}

이렇게 해서 (6)식을 통해 등온 과정에서 계가 한 일의 크기를 구할 수 있습니다. 위키백과의 등온과정에서도 관련 내용을 확인하실 수 있어요.

지금까지 등온 과정에 대해 말씀드렸습니다. 다음 글에서는 단열 과정에 대해 설명드리겠습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
[Total: 1 Average: 5]

2 thoughts on “등온 과정 (isothermal process)”

Leave a Comment