면 벡터 (area vector) 개념

Last Updated on 2023-12-10 by BallPen

면 벡터(area vector)는 전기장 선속이나 자기장 선속 등을 계산할 때 많이 나오는데요. 과연 면 벡터가 무엇인지 그 개념을 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

‘면 벡터’란 면적의 크기에 방향을 부여하여 만든 벡터입니다. 그래서 면적 벡터, 또는 면에 수직한 법선 벡터로서 면 법선 벡터(surface normal vector)라고 불리기도 해요.

여기서 벡터(vector)란 크기와 방향을 갖는 양이죠.

아래 [그림 5]를 보면 둥그런 면이 있고 사각형 면이 있는데요. 면의 모양은 어떻게 생겼든 상관없습니다. 중요한 것은 평평한 면이 있다는 것이고 그 면의 면적이 크기 A로 존재한다는 거에요.

[그림 1] 면적의 크기 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">A</span>를 가지면서 면에 수직한 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\hat n</span>방향을 향하는 면 벡터 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec A</span>
[그림 1] 면적의 크기 A를 가지면서 면에 수직한 \hat n방향을 향하는 면 벡터 \vec A

그런데 이 면의 면적 크기 A에 방향을 부여한 것이 면 벡터 \vec A가 된다는 것입니다

그러면 면적에 방향을 어떻게 부여했는지가 궁금할거에요. 바로 면에 수직한 방향으로 약속되었습니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{1}
\vec A = A \hat n

여기서 A는 면적의 크기이고, \hat n은 면에 수직한 방향의 단위벡터에요.

만일 [그림 1]에서 \vec A의 방향이 직각좌표계\hat z와 같다면 (1)식을 \vec A = A \hat z라고 써도 좋아요.

요약하면 면 벡터의 크기는 면적이 되고 방향은 그 면에 수직해요.

[그림 1]과 같이 열린 곡면으로 존재하는 면을 열린 면이라고 합니다. 반대로 구, 타원, 육면체 등과 같이 닫힌 곡면이 만드는 면을 닫힌 면이라고 하는데요.

우선 열린 면에서의 면 벡터의 방향을 알아보겠습니다.

앞에서 설명드린 것처럼 면 벡터의 방향은 면에 수직한 방향으로 설정하게 되는데요.

이에 따르면 [그림 1]의 열린 면에서는 면 벡터의 방향이 그림에 그려진 방향도 있을 수 있지만 그 반대 방향도 생각할 수 있어요. 그러니 어느 쪽 방향을 기준으로 설정해야 하는지가 궁금할거에요.

정답은 여러분들 편한대로 방향을 결정하면 되는데요. 통상적으로는 면의 위쪽을 기준으로 잡습니다. 만일 면이 아래 [그림 2]와 같다면 면의 오른쪽 방향을 면 벡터의 방향으로 설정합니다.

[그림 2] 면의 오른쪽 방향을 통상 면 벡터의 방향으로 설정합니다.
[그림 2] 면의 오른쪽 방향을 통상 면 벡터의 방향으로 설정합니다.

이번에는 3차원의 닫힌 면을 생각해 볼게요? 아래 [그림 3]은 각 면의 면적이 A인 정육면체에 대해 각 면에서의 면 벡터를 나타냅니다.

[그림 3] 정육면체에서 면 벡터의 방향은 중심에서 밖으로 나가는 방향을 통상적으로 사용합니다.
[그림 3] 정육면체에서 면 벡터의 방향은 중심에서 밖으로 나가는 방향을 통상적으로 사용합니다.

면 벡터의 방향이 육면체의 중심에서 나가는 방향으로 설정되어 있는데요. 그 이유는 통상적으로 닫힌 면의 경우에 면 벡터는 중심에서 나가는 방향을 기준으로 하기 때문입니다.

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