점전하 분포의 에너지

Last Updated on 2024-07-10 by BallPen

점전하 분포의 에너지 계산 방법을 소개합니다.

결론부터 말씀드리면 한 개의 전하 q를 전위차 V를 극복하며 이동시키기 위해 필요한 일 W는 다음과 같이 주어집니다.

\begin{align*}
W = qV
\end{align*}

그리고 여러개의 전하 q_i를 순차적으로 하나씩 이동시킬 때 필요한 일, 또는 그로 인해 생성된 점전하 분포에 저장된 전체 에너지는 다음과 같습니다.

\begin{align*}
W = {1 \over 2} \sum_{i=1}^{n} q_iV(r_i)
\end{align*}

여기서 재미있는 것은 위 두 식의 형태가 같아야 할 것 같은데 서로 다르다는 거에요. 과연 위 두 식은 어떻게 도출되었는지 지금부터 구체적으로 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

이 글에 사용된 그림파일은 아래에서 다운받을 수 있어요. 맥 키노트로 작성되었습니다.

맥 키노트 파일: point_charge_distribution.key

아래 [그림 1]은 점전하 qa점에서 b점까지 이동시키는 상황을 나타내고 있습니다. 이때 a점에서의 전위를 V_a, b점에서의 전위를 V_b라고 할께요.

여기서 V_aV_b는 그림에 그려진 전하 q_1, ~q_2, \cdots,~q_i에 의해 만들어진 해당 위치에서의 전위입니다.

[그림 1] 위치 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">a</span>에서 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">b</span>까지 전하 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">q</span>를 이동시키기 위해서는 일을 해주어야 합니다.
[그림 1] 위치 a에서 b까지 전하 q를 이동시키기 위해서는 일을 해주어야 합니다.

[그림 1]에 그려진 모든 전하들이 양전하라고 생각할 경우 전하 qb점까지 이동시키기 위해서는 척력으로 나타나는 전기력 \vec F_e =q \vec E을 이겨내야만 해요.

이때 우리가 가해주는 힘은 전기력과 반대방향이어야 하므로 음의 부호를 붙여 다음과 같이 표기할 수 있어요.

\tag{1-1}
\vec F = -q \vec E

이때 우리가 가해준 힘 \vec F가 한 일(work)을 식으로 표현하면 아래와 같습니다. 그리고 (1-1)식을 대입하면 다음과 같아요.

\tag{1-2}
\begin{align}
W &= \int_a^b \vec F \cdot d \vec l \\[10pt]
&= {\color{blue}-}q {\color{blue}\int_a^b \vec E \cdot d \vec l} \\[10pt]
&=q\Big[ V(b) - V(a)\Big]\\[10pt]
\end{align}

위에서 파랑색 수식은 두 지점 사이의 전위차 V(b)-V(a)를 의미합니다.

결과적으로 a점에서 b점까지 전하를 이동시키기 위해 필요한 일(또는 점전하 분포에 추가되는 에너지) W는, 이동되는 전하의 전하량과 두 지점 사이의 전위차를 곱하면 된다는 것을 알 수 있어요.

이때 만일 V(a)를 전위가 0인 무한대 지점이라고 하면, 즉 무한대로부터 b점까지 전하를 이동시킨다면 (1-2)식은 다음과 같이 간단하게 표현될 수 있습니다.

\tag{1-3}
W=qV

여기서 Vb점에서의 전위로 보시면 됩니다. 바로 (1-3)식 만큼의 일을 해주어야 무한대로부터 전하를 이동시킬 수 있고, 반대로 점전하 군은 동일한 만큼의 에너지가 저장됩니다.

지금까지는 하나의 전하를 전위차를 거슬러 이동시킬 때 필요한 일의 크기를 알아봤어요.

그런데 만일 아무것도 없는 진공 공간에 무한대만큼 떨어진 곳에 있는 전하들을 하나 하나 이동시켜 점전하들이 모여있는 분포를 만든다면 이때 필요한 전체 일은 얼마일까요?

바꾸어 말하면 이러한 과정을 통해 만들어진 점전하 분포에 저장된 총 에너지는 얼마일까요?

[그림 2]는 전위가 0인 무한대로부터 전하들을 하나씩 이동시켜 점전하 분포를 만드는 그림입니다.

[그림 2] 무한대로부터 전하 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">q_1</span>을 이동시키고, 그 다음에 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">q_2</span>를 이동시키고, 그 다음에 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">q_3</span>를 이동시켜 점전하 분포를 만들었어요. 이를 위해서는 각 전하에 일을 해주어야 하며, 해준 전체 일은 점전하 분포의 에너지 형태로 저장됩니다.
[그림 2] 무한대로부터 전하 q_1을 이동시키고, 그 다음에 q_2를 이동시키고, 그 다음에 q_3를 이동시켜 점전하 분포를 만들었어요. 이를 위해서는 각 전하에 일을 해주어야 하며, 해준 전체 일은 점전하 분포의 에너지 형태로 저장됩니다.

즉, 무한대에 있던 전하 q_1을 원점으로부터 \vec r_1인 곳으로 이동시켜 놓았어요. 다음으로 무한대에 있던 전하 q_2를 이동시켜 \vec r_2인 곳에 두었고요.

같은 방식으로 전하 q_3도 원점으로부터 \vec r_3인 곳에 두었어요.

그러면 전하들은 그림과 같이 점전하 분포를 이루게 됩니다.

그런데 만일 이러한 전하들의 부호가 모두 같다면 척력이 작용하여 서로 멀어지는 방향으로 운동에너지가 나타날 거에요. 이 말은 점전하 분포가 에너지를 저장하고 있다는 뜻입니다. 그렇다면 이 에너지는 어디에서 왔을까요?

네 맞아요 우리가 무한대로부터 전하를 하나씩 이동시키기 위해 한 일이 그 에너지의 원천이에요.

결국 점전한 분포의 에너지 계산을 위해서는 전하들을 하나씩 하나씩 이동하는데 필요한 일을 모두 구한 후에 합하면 되는거에요.

그럼 이제부터 시작해 볼께요.

전위가 0인 무한대에 있는 첫번째 전하 q_1\vec r_1 위치로 이동시키는데 한 일은 0입니다.

왜냐면 \vec r_1 주변에 어떠한 전하도 없으므로 (1-3)식에서 V=0이기 때문이에요

\tag{2-1}
\begin{align}
W_1 &= q_1 V \\[10pt]
&= 0
\end{align}

이번에는 전위가 0인 무한대에 있는 두번째 전하 q_2\vec r_2 위치로 이동시키는데 한 일은 구해 봐요.

중요한 것은 \vec r_2 위치에 전위가 있느냐 하는 것인데요. 전위가 있습니다. 왜냐면 첫번째 전하가 이미 존재하기 때문이에요.

그러면 \vec r_2 위치에서 첫번째 전하에 의해 만들어진 전위를 V_1이라고 할께요. 그러면 두번째 전하를 이동시키는데 필요한 일은 다음과 같아요.

\tag{2-2}
\begin{align}
W_2 &= q_2 V_1\\[10pt]
&=q_2 \Big({1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{{q_1}\over{r_{12}}} \Big)
\end{align}

여기서 r_{12}는 그림에서와 같이 전하 q_1q_2사이에 떨어진 거리를 의미합니다.

이번에는 전위가 0인 무한대에 있는 세번째 전하 q_3\vec r_3 위치로 이동시키는데 필요한 일은 구해 봐요.

이를 위해서는 q_3가 놓여질 위치에서의 전위를 구해야 하는데요. 이미 전하 q_1q_2가 존재하므로 이 전하들에 의해 \vec r_3 위치에 만들어지는 전위 V_1V_2를 합하면 됩니다.

결국 세번째 전하를 이동시키는데 필요한 일은 다음과 같아요.

\tag{2-3}
\begin{align}
W_3 &= q_3 (V_1 + V_2)\\[10pt]
&=q_3 \Big({1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{{q_1}\over{r_{13}}} + {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{{q_2}\over{r_{23}}} \Big)
\end{align}

이렇게 해서 세 전하에 일을 하여 모두 이동시켰어요. 이를 통해 만들어진 점전하 분포의 에너지는 앞서 말했듯이 전하를 이동시키는데 투입된 일의 크기와 같아요.

즉 (2-1), (2-2), (2-3)식의 일을 모두 합하면 됩니다.

\tag{2-4}
\begin{align}
W &= \sum_{i=1}^{3} W_i \\[10pt]
&={1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big( {{q_1 q_2}\over{r_{12}}} + {{q_1 q_3}\over{r_{13}}} + {{q_2 q_3}\over{r_{23}}} \Big)
\end{align}

만일 전하가 n개인 경우로 확대하여 일반화한다면 (2-4)식은 다음과 같아요.

\tag{2-5}
\begin{align}
W &= {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1(j>i)}^n {{q_i q_j}\over{r_{ij}}}\\[10pt]
&= {\color{red}{1 \over 2}} \sum_{i=1}^{n} q_i {\color{blue}\Big( {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \sum_{j=1(j \ne i)}^n {{q_j}\over{r_{ij}}} \Big)}
\end{align}

위 식에서 첫번째 줄은 (2-4)식의 결과를 있는 그대로 표현한 것이고, 두번째 줄은 첫번째 줄의 표현을 약간 다르게 표현한거에요.

두번째 줄의 파랑색 부분에서 표기한 것처럼 j \ne i이어야 하므로 j = i 인 경우는 제외됩니다. 그 이유는 r_{11}, r_{22}, r_{33}의 경우는 (2-4)식과 같이 존재하지 않기 때문이에요.

그리고 두번째 줄에서 빨강색 1 \over 2이 들어간 이유는, 시그마를 전개해보면 r_{12}뿐만 아니라 r_{21}과 같이 동일한 조건이 두번씩 중복해서 카운트 되기 때문에 절반만 고려하기 위해 들어간 거에요(예제 참고).

또한 (2-5)식에서 파랑색 부분은 전위에 해당하므로 이를 V(r_i)로 치환하면 결국 점전하 분포의 에너지는 다음과 같습니다.

\tag{2-6}
\begin{align}
W = {1 \over 2} \sum_{i=1}^n q_i V(r_i)
\end{align}

그런데 (2-6)식만을 보아서는 어떻게 문제를 풀어야 할지 난감할 거에요. 그래서 이에 대한 예제를 다루어보겠습니다.

아래 [그림 3]은 세 개의 전하들이 모여 점전하 분포를 이루고 있어요. 이 점전하 분포에 저장된 에너지를 구해보세요.

[그림 3] 세 개의 전하로 구성된 점전하 분포의 에너지 값을 구해보세요.
[그림 3] 세 개의 전하로 구성된 점전하 분포의 에너지 값을 구해보세요.

점전하 분포에 저장된 에너지, 즉 점전하 분포의 에너지 계산을 위해서는 (2-6)식을 그대로 사용하면 됩니다. 조금 복잡해 보이더라도 하나씩 전개해 볼게요.

\tag{ex1}
\begin{align}
W &= {1 \over 2} \sum_{i=1}^3 q_i V(r_i)\\[10pt]
&= {1 \over 2} \Big[q_1V(r_1) + q_2V(r_2) + q_3 V(r_3)\Big]

\end{align}

이때 V({r_1})에서 가능한 조합은 (2-5)식의 파랑색 수식 부분에 따라 r_{12}r_{13}입니다. 물론 r_{11}은 허용되지 않는다고 했어요.

그러므로 V(r_1)은 다음과 같아요.

\tag{ex2}
\begin{align}
V(r_1) &= {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big({{q_2}\over{r_{12}}}+{{q_3}\over{r_{13}}} \Big)\\[10pt]
\end{align}

같은 방법으로 V({r_2})에서 가능한 조합은 r_{21}r_{23}입니다.

그러므로 V({r_2})는 다음과 같아요.

\tag{ex3}
\begin{align}
V(r_2) &= {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big({{q_1}\over{r_{21}}}+{{q_3}\over{r_{23}}} \Big)\\[10pt]
\end{align}

같은 방식으로 V({r_3})는 다음과 같아요.

\tag{ex4}
\begin{align}
V(r_3) &= {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big({{q_1}\over{r_{31}}}+{{q_2}\over{r_{32}}} \Big)\\[10pt]
\end{align}

이제 (ex2), (ex3), (ex4)식을 모두 (ex1)식에 대입하고 정리해보세요. 그러면 다음과 같아요.

\tag{ex5}
\begin{align}
W &= {1 \over 2} \Big[ \big(2 \times{1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{q_1 q_2}\over{r_{12}}} \big)+ \big(2 \times{1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{q_1 q_3}\over{r_{13}}} \big) + \big(2 \times{1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{q_2 q_3}\over{r_{23}}} \big)\Big]\\[10pt]
&={1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big( {{q_1 q_2}\over{r_{12}}} + {{q_1 q_3}\over{r_{13}}} + {{q_2 q_3}\over{r_{23}}} \Big)
\end{align}

위식에서 대괄호 안 숫자 2는, 예를 들어 r_{12}r_{21}이나 동일한 조건이기 때문에 들어간거에요. 물론 r_{13}r_{31}도 동일한 조건이기 때문에 2배 된것입니다.

전개한 결과가 어떤가요? (2-4)식과 동일하다는 것을 알 수 있어요.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
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