질량 중심 (center of mass)

Last Updated on 2023-09-01 by BallPen

입자계의 질량 중심을 구하는 방법을 알아봅니다.

질량 중심(center of mass)이란 입자들이 갖는 질량들의 중심점을 말하는데요. 이 질량 중심에 입자계의 전체 질량이 모여 있는 것으로 간주하면 입자계의 역학 현상을 단순하게 다룰 수 있어요.

이번 글에서는 입자계의 질량 중심 좌표를 구하는 방법을 설명드립니다.

결론부터 말씀드리면 i번째 입자의 질량을 m_i, 기준점으로부터의 위치를 \vec{r}_i라고 할 때, 질량 중심 위치 \vec{r}_{cm}은 다음 식으로 구할 수 있어요.

\tag{D1}
\begin{align}
\vec{r}_{cm} = {{\sum{m_i}{\vec{r}_i}}\over{\sum m_i}}
\end{align}

아래 [그림 1]은 두 아이의 질량 중심이 시소 받침 위에 있게 되어 시소가 균형을 이룬 모습이에요.

[그림 1] 질량 중심에 받침이 있으면 시소가 균형을 이루게 됩니다.(flickr 사진인용: Seongbin Im)
[그림 1] 질량 중심에 받침이 있으면 시소가 균형을 이루게 됩니다.(flickr 사진인용: Seongbin Im)

또한 [그림 2]는 어떤 선수가 수영장으로 다이빙하는 모습인데요. 몸통, 팔, 다리 등 상당히 크고 복잡해 보이는 운동입니다만, 선수의 질량중심에 모든 질량이 모여있다고 생각하면 질량중심 점의 포물선 운동으로 단순화 할 수 있답니다.

[그림 2] 다이빙 선수의 질량중심 점에 몸의 모든 질량이 모여있다고 생각하세요. 그리고 그 점만을 우리가 관찰할 수 있다면 매끈한 포물선 운동이 될 뿐입니다. (flicker 사진인용: Chuck Grimmett)
[그림 2] 다이빙 선수의 질량중심 점에 몸의 모든 질량이 모여있다고 생각하세요. 그리고 그 점만을 우리가 관찰할 수 있다면 매끈한 포물선 운동이 될 뿐입니다. (flicker 사진인용: Chuck Grimmett)

이제부터 (D1)식이 어떻게 만들어지고 활용되는지 설명드립니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 1차원 입자계의 질량 중심

입자계란 질량을 가진 입자들로 구성된 계를 말하는데요. 이때 입자들 간의 상대적 위치가 고정되어 모양이나 크기가 변형되지 않는 물체를 말합니다.

예를 들어, 아래 [그림 3]을 보면 질량 m_1, 질량 m_2가 1차원 상에 놓여져 있어요. 이때 두 물체가 질량을 무시할 수 있는 어떤 단단한 막대로 서로 연결되어 있다고 가정하면 그것이 바로 입자계 입니다.

그럼 이제부터 두 물체 사이의 질량 중심 cm(center of mass)을 구하는 방법을 설명드립니다.

[그림 3]에서 두 물체는 원점으로부터 x_1x_2만큼 떨어져 있어요. 그리고 그 두 물체 사이에 질량중심이 있다고 가정하고 그 위치를 cm으로 표기하였습니다. 이때 질량 중심 cm은 원점으로부터 x_{cm}만큼 떨어져 있어요.

[그림 3] 두 입자가 1차원 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x</span>축 상에 상대적 위치가 고정된 채로 놓여 있습니다. 그림에서 cm은 질량 중심 위치를 나타냅니다.
[그림 3] 두 입자가 1차원 x축 상에 상대적 위치가 고정된 채로 놓여 있습니다. 그림에서 cm은 질량 중심 위치를 나타냅니다.

한편 환산질량을 설명할 때 다음의 관계가 성립함을 설명드린 적이 있어요. 보다 자세한 내용은 환산질량 부분을 참고하시기 바랍니다.

\tag{1}
m_1 \bar{r}_1 + m_2 \bar{r}_2 = 0

여기서 m_1, m_2는 두 물체의 질량이고, \bar{r}_1\bar{r}_2는 질량중심 cm점으로부터 물체가 있는 곳까지의 위치벡터입니다.

그러므로 \bar{r}_1\bar{r}_2 벡터는 서로 반대 방향을 향합니다. 그래야 좌변이 0이 될 수 있어요.

그래서 (1)식이 성립하기 위해서는 좌변에 있는 두 항의 크기가 서로 같아야 합니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2}
\begin{align}
m_1 |\bar{r}_1| &= m_2 |\bar{r}_2|\\
\end{align}

(2)식을 [그림 3]의 상황에 맞게 변형하고 x_{cm}을 구하면 다음과 같아요.

\tag{3}
\begin{align}
m_1 (x_{cm} - x_1) &= m_2 (x_2 - x_{cm})\\
(m_1 + m_2)x_{cm} &= m_1 x_1 + m_2 x_2\\[10pt]
x_{cm} & = {{m_1x_1 + m_2 x_2}\over{m_1 + m_2}}
\end{align}

(3)식의 결과를 yz축까지 일반화하면 다음 관계가 성립합니다.

\tag{4}
\begin{align}
x축의~질량~중심: ~~~x_{cm} = {{\sum{m_i x_i}}\over{\sum {m_i}}}\\[10pt]
y축의~질량~중심: ~~~y_{cm} = {{\sum{m_i y_i}}\over{\sum {m_i}}}\\[10pt]
z축의~질량~중심: ~~~z_{cm} = {{\sum{m_i z_i}}\over{\sum {m_i}}}\\[10pt]

\end{align}

1-1. 예제

x축 상에 질량 2.00 kg, 5.00 kg, 4.00 kg인 세 물체가 0.300 m 씩 사이에 두고 질량이 없는 막대로 연결되어 있다. 세 물체의 질량 중심은 어느 위치에 있는가? 단 질량 2.00 kg인 물체가 원점에 놓여 있다고 가정한다.

이 문제는 [그림 2]의 상황과 거의 동일합니다. 다만 원점에 2.00 kg의 물체가 놓여 있으므로 [그림 2]에서 x_1 = 0.000으로 하면 됩니다.

(4)식을 적용합니다.

\tag{eq1}
\begin{align}
x_{cm} &= {{\sum m_i x_i}\over{\sum m_i}}\\[10pt]
&={{m_1x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}\over{m_1 + m_2 + m_3}}\\[10pt]
&={{(2.00~\mathrm{kg} \times 0.000~\mathrm{m})+(5.00~\mathrm{kg}\times0.300~\mathrm{m})+(4.00~\mathrm{kg \times0.600~\mathrm{m}})}\over{2.00 ~\mathrm {kg}}+5.00~\mathrm{kg}+4.00~\mathrm{kg}}\\[10pt]
&={{3.90~\mathrm{kg \cdot m}}\over{11.0~\mathrm{kg}}}\\[10pt]
&=0.355~\mathrm {m}
\end{align}

원점으로부터 0.355 m 인 곳에 질량중심이 있습니다. 그러므로 이 위치에 삼각 받침대를 두면 어느 쪽으로도 기울어지지 않고 균형을 잡고 있게 됩니다.

2. 2차원 입자계의 질량 중심

입자들이 xy평면상에 존재하는 경우 그 질량 중심 좌표를 구하기 위해서는 (4)식을 활용하면 됩니다. 하나의 예시를 통해 설명드리겠습니다.

아래 [그림 4]를 보면 xy평면상에 세개의 물체가 있습니다. 각각의 질량이 m, 2m, 4m이고 떨어진 거리가 그림에 표기되어 있어요.

[그림 4] 입자들이 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">xy</span> 평면상에 놓여 있습니다. 이 경우에도 각 입자들은 질량을 무시할 수 있는 막대로 서로 연결되어 있다고 생각해야 합니다.
[그림 4] 입자들이 xy 평면상에 놓여 있습니다. 이 경우에도 각 입자들은 질량을 무시할 수 있는 막대로 서로 연결되어 있다고 생각해야 합니다.

이 세 물체가 만드는 질량 중심의 좌표 (x_{cm}, y_{cm})을 구해보겠습니다.

우선 x_{cm}을 구하면 다음과 같아요.(아래 수식에서 이택릭체 m은 질량이고, 직립체 \mathrm{m}은 길이의 단위를 의미합니다)

\tag{5}
\begin{align}
x_{cm} &= {{\sum {m_i x_i}}\over{\sum m_i}}\\[10pt]
&={{(m \times0.30~\mathrm{m}) + (2m \times 0.60 ~\mathrm{m}) + (4m \times 0.60 ~\mathrm{m})}\over{m+2m+4m}}\\[10pt]
&={{3.90\cancel m ~\mathrm{m}}\over{7 \cancel m}}\\[10pt]
&=0.56~\mathrm{m}
\end{align}

즉 원점으로부터 x축 방향으로 0.56 m 떨어진 곳에 질량 중심이 있습니다. 이번에는 y_{cm}을 구하면 다음과 같아요.

\tag{6}
\begin{align}
y_{cm} &= {{\sum {m_i y_i}}\over{\sum m_i}}\\[10pt]
&={{(m \times0.00~\mathrm{m}) + (2m \times 0.00 ~\mathrm{m}) + (4m \times 0.45 ~\mathrm{m})}\over{m+2m+4m}}\\[10pt]
&={{1.80\cancel m ~\mathrm{m}}\over{7 \cancel m}}\\[10pt]
&=0.26~\mathrm{m}
\end{align}

즉 원점으로부터 y축 방향으로 0.26 m 떨어진 곳에 질량 중심이 있어요.

따라서 질량중심의 좌표와 위치 벡터 \vec{r}_{cm}은 다음과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{7}
\begin{align}
&(x_{cm}, y_{cm}) = (0.56~\mathrm{m}, 0.26~\mathrm{m})\\[10pt]
&\vec{r}_{cm} = 0.56 \hat{i }+0.26 \hat{j}
\end{align}

3. 입자계의 질량중심과 선운동량

3-1. 입자계의 질량 중심

지금까지의 내용을 3차원으로 확장하겠습니다.

[그림 5] 입자계의 질량 중심
[그림 5] 입자계의 질량 중심

[그림 5]의 3차원 공간에서 입자계가 만드는 질량 중심의 위치벡터는 (4)식을 활용하여 다음과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{8}
\begin{align}
\vec{r}_{cm} &= {{\sum m_i x_i}\over{\sum m_i}} \hat i + {{\sum m_i y_i}\over{\sum m_i}} \hat j+ {{\sum m_i z_i}\over{\sum m_i}} \hat k\\[10pt]
&={{\sum m_i \vec{r}_i}\over{\sum m_i}}
\end{align}

여기서 \vec{r}_i = x_i \hat i + y_{i} \hat j + z_{i} \hat k의 관계가 활용되었습니다.

3-2. 입자계의 운동량

어느 입자계가 속도 v로 움직일 때 그 입자계의 총운동량 \vec{P}은 각 입자가 갖는 운동량 \vec{p}_i의 벡터합으로 주어집니다.

\tag{9}
\begin{align}
\vec P = \sum \vec p_i = \sum m_i \vec v_i 
\end{align}

한편 (8)식에 주어진 위치벡터 \vec{r}_{cm}을 시간으로 미분하여 질량중심의 속도 \vec {v}_{cm}으로 바꾸면 다음과 같아요.

\tag{10}
\begin{align}
\vec{v}_{cm} &= {{d\vec{r}_{cm}}\over{dt}} \\[10pt]
&={{d}\over{dt}}\big( {{\sum m_i \vec r_i}\over{\sum m_i}}\big)\\[10pt]
&={{\sum m_i \vec v_i}\over{\sum m_i}}\\[10pt]
&={{\vec P}\over{\sum m_i}}
\end{align}

(10)식의 마지막 줄을 입자계의 총운동량 \vec P로 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{11}
\vec {P} = (\sum m_i) \vec v_{cm}

이에 따르면 입자계의 총 운동량은 입자계 전체의 질량이 질량 중심에 모여 있다고 했을 때, 그 질량 중심 점이 갖는 운동량과 동일함을 의미합니다.

이번에는 (11)식을 시간으로 한번 더 미분해봐요. 그러면 입자계 전체에 작용하는 외력 \vec F를 구할 수 있어요.

\tag{12}
\begin{align}
\vec F = {{d \vec P}\over{dt}} = {{d}\over{dt}} \Big[\Big(\sum m_i \Big)\vec v_{cm}\Big] = \Big(\sum m_i \Big) \vec a_{cm}
\end{align}

이에 따르면 입자계 전체의 질량이 질량 중심에 모여 있다고 했을 때, 그 질량 중심에 외력 \vec F가 모두 작용하여 가속도 a_{cm}을 만들어 내는 것과 동일함을 의미합니다.

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