내적 – 벡터끼리 곱하여 스칼라가 되는 계산법

Last Updated on 2023-01-01 by BallPen

벡터끼리 곱하는 한 방법으로 내적이 있습니다. 내적을 하면 그 결과 값은 스칼라가 됩니다.

벡터와 벡터를 곱하는 방법에는 내적 및 외적이 있습니다.

그중에서 내적은 벡터끼리 곱하면 그 결과가 스칼라가 나오는 계산법인데요. 그래서 내적을 다른 말로 ‘스칼라곱‘이라고도 부릅니다.

이번 글은 내적, 즉 스칼라곱의 기하학적 의미, 계산 방법, 활용 사례를 알아봅니다. 혹시 벡터의 덧셈 및 벡터의 뺄셈 등의 내용이 궁금하면 이전 글을 참조해 주세요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 곱셈을 하는 방법의 종류

1-1. 실수와 실수의 곱 (스칼라와 스칼라의 곱)

일반적으로 두 숫자 $c_1=23.0$과 $c_2 = 21.5$를 곱한다고 하면 아래 (1)식과 같이 스칼라끼리 곱하는 방법이 있습니다.

가장 보편적인 계산 방법이죠. 이때 곱해지는 두 숫자 사이에는 (1)식의 첫번째 줄과 같이 곱셈기호를 생략해도 되고, 가운데 점을 찍어도 되고, $\times$기호를 사용해도 됩니다.

그런데 물리량에는 스칼라량만 있는 것이 아니고 크기와 방향을 갖는 벡터량도 있습니다. 그렇다면 벡터량의 곱은 어떻게 표현할 수 있을까요.

벡터가 곱해지는 경우에는 총 3가지가 있습니다. 하나씩 알아보죠.

1-2. 벡터의 실수배 (벡터와 스칼라의 곱)

첫번째는 벡터에 스칼라인 실수를 곱하는 것입니다. 벡터 $\vec A = 2.32 \vec x + 3.11 \vec y$에 스칼라 $c=7.10$이 곱해지는 경우 아래 (2)식과 같이 계산하면 됩니다.

이때 곱해지는 스칼라와 벡터 사이에는 (2)식의 첫번째 줄과 같이 곱셈기호를 생략해도 되고, 가운데 점을 찍어도 되고, $\times$기호를 사용해도 됩니다.

아울러 벡터에 스칼라를 곱하면 벡터 방향은 그대로 유지되나 크기는 스칼라의 배수만큼 더 커지게 됩니다. 아래 [그림 1]과 같이요.

1-3. 내적 (벡터와 벡터의 곱, 결과는 스칼라)

두번째는 벡터와 벡터를 곱하는 내적입니다. 이것이 이번 글의 내용이므로 구체적 의미와 방법은 아래에 계속 기술하겠습니다.

1-4. 외적 (벡터와 벡터의 곱, 결과는 벡터)

마지막으로 벡터와 벡터를 곱하는 외적이 있습니다. 이에 대해서는 다른 글로 다루겠습니다.

이제부터 내적에 대해 구체적으로 알아봐요.

2. 내적

2-1. 기하학적 의미

위에서 말씀드렸듯이 내적이란 벡터와 벡터를 곱하는 방법의 한 종류입니다.

내적은 한 벡터에 다른 벡터를 투영한 후 그 크기를 곱하게 됩니다. 말이 상당히 어려워 보이지만 아래의 그림 [2]를 보시면 이해하기 쉽습니다.

벡터 $\vec A$와 $\vec B$가 있는데요. 두 벡터가 사이각 $\theta$를 이루고 있다고 생각해봐요.

이때 벡터 $\vec A$를 벡터 $\vec B$에 투영한 것이 빨강색 화살표가 되는데요. 투영이라 함은 벡터 $\vec B$의 화살 위쪽에 조명이 있을 때 이 조명에 의해 벡터 $\vec A$의 그림자가 벡터 $\vec B$에 만들어지는 것을 말합니다.

그렇다면 투영된 빨강색 화살표의 크기는 $A \cos \theta$가 될 것입니다. 이 값을 벡터 $\vec B$의 크기와 곱하는 방법이 내적이에요.

수식으로 표현하면 아래 (3)식과 같습니다.

여기서 굳이 벡터끼리의 곱 연산을 (3)식과 같이 해야하는 이유가 궁금할 수 있어요. 그것은 자연계에서 벌어지는 여러 현상이 (3)식의 내적 계산 방법을 적용하면 명확히 설명되기 때문이에요.

당장은 낮설 수 있지만 나중에 아래쪽 활용 사례를 보면 이해할 수 있습니다.

아울러 (3)식에 따르면 $\vec A$와 $\vec B$를 곱할 때 가운데 점 $\cdot$을 찍었어요. 그 가운데 점을 내적 기호 라고 합니다.

두 벡터를 내적하고자 한다면 내적 기호를 반드시 붙여주어야 해요. 곱셈이니까 가운데 점을 빼거나 $\times$로 바꾸어도 될거라고 생각하면 절대 안됩니다. 완전히 다른 계산을 하거나 계산을 못하게 되 버려요.

또한 (3)식에서와 같이 두 벡터의 내적은 스칼라가 됩니다. 왜냐면 $A$와 $B$는 두 벡터의 크기이고 $\cos \theta$도 크기만 있는 양이기 때문입니다.

그래서 두 벡터를 내적하면 결과가 스칼라가 된다고 말하는 것입니다.

2-2. 수학적 계산 방법

성분법으로 표기된 두 벡터를 수학적으로 내적하는 방법입니다. 기본적으로 (3)식의 내적의 정의를 그대로 사용하니 어렵지 않아요.

벡터 $\vec A = A_x \hat x + A_y \hat y$와 벡터 $\vec B = B_x \hat x + B_y \hat y$를 내적해보겠습니다.

(4)식에서 두번째 줄의 괄호는 단위벡터끼리의 내적이므로 (3)식의 정의를 적용한 것이 세번째 줄이 되겠습니다.

이때 각 단위벡터의 크기는 1이고, 동일 방향의 단위벡터끼리 내적하면 사이각이 0도 이므로 $\cos 0^\circ = 1$이 되고 수직한 단위벡터끼리 내적하면 사이각이 90도이므로 $\cos 90^\circ = 0$이 된 것입니다.

또한 (4)식의 마지막 줄에서와 같이 두 벡터를 내적한다는 의미는 두 벡터의 동일방향의 크기 성분끼리 곱하고 모두 더하여 단일의 스칼라 값이 도출되는 것으로 이해하시면 됩니다.

3. 내적 예제 풀이

(예제) 벡터 $\vec {A} = 1 \hat{x} + 1 \hat{y} + 1 \hat{z}$와 $\vec {B} = 1 \hat{x} + 1 \hat{y} + 0 \hat{z}$가 있다. 이때 두 벡터 사이의 각도는 $35.26 ^\circ$이다. 이 두 벡터에 대한 (3)식과 (4)식을 이용한 내적의 결과가 같음을 보여라.

(풀이) (3)식과 (4)식을 이용해 각각의 내적 값을 구하고 비교합니다.

우선 (3)식을 이용해 내적하기 위해서는 두 벡터의 크기인 $A$와 $B$를 구해야 합니다.(참고로 벡터 크기 기호는 $|\vec{A}|$와 $|\vec{B}|$의 형태로도 표기하기도 합니다.)

(3)식의 내적 정의를 그대로 사용하면 그 결과 값은 아래 (7)식과 같이 2.00이 나옵니다.

이번에는 (4)식을 기반으로 내적을 하면 아래 (8)식과 같습니다.

이상과 같이 (3)과 (4)식을 이용한 내적은 (7)과 (8)식의 결과와 같이 서로 동일합니다.

4. 내적의 성질

4-1. 교환법칙 성립

내적은 아래의 (9)식과 같이 교환법칙이 성립합니다. 즉 두 벡터의 곱의 순서를 바꾸어도 결과는 동일합니다.

그 이유는 아래 (9)식의 좌변이 $AB \cos \theta$인 것이나 우변이 $BA \cos \theta$인 것이나 수학적으로 같기 때문입니다.

4-2. 분배법칙 성립

다음의 내적에 대한 분배법칙도 성립합니다.

4-3. 스칼라와의 결합법칙 성립

$k$를 스칼라인 실수값이라고 했을 때 내적과의 결합법칙이 성립합니다.

4-3. 두 벡터가 수직하면 내적한 값은 0

두 벡터를 내적한 결과 값이 0이 나오면 두 벡터는 서로 수직합니다. 그 이유는 두 벡터의 사이각이 $90^\circ$이므로 (3)식에서 $\cos 90^\circ$는 0이 되기 때문입니다.

4-4. 두 벡터가 평행하면 내적한 값은 최대

두 벡터를 내적한 결과 값이 최대가 되기 위해서는 두 벡터가 평행해야 합니다. 그 이유는 두 벡터의 사이각이 $0^\circ$가 되면 (3)식에서 $\cos 0^\circ$는 1이 되기 때문입니다.

5. 내적의 활용 사례 (내적을 하는 이유)

5-1. 힘이 한 일

두 벡터를 내적해야 하는 대표적 용도는 힘이 한 일을 구할 때 입니다.

아래 [그림 3]과 같이 마찰이 없는 바닥에 물체가 놓여 있습니다. 이 물체에 일정한 힘 $\vec F$가 작용하여 물체를 변위 $\vec d$만큼 움직였다고 생각해보세요.

이때 힘 $\vec F$가 물체에 한 일 $W$는 물리학에서 다음과 같이 정의합니다.

여기서 $F$는 힘 벡터 $\vec F$의 크기이고 $d$는 변위 벡터 $\vec d$의 크기입니다.

그렇다면 (12)식은 힘벡터와 변위벡터가 주어진 어느 경우에나 성립할까요? 그렇지 않습니다.

위에 있는 [그림 4]는 힘 벡터와 변위벡터가 [그림 3]과 같이 서로 평행하지 않습니다. 그림과 같이 힘 벡터 $\vec F$은 변위 벡터 $\vec d$의 방향과 $\theta$만큼 어긋나 있습니다.

그러면 물체를 $d$만큼 이동시키는데 한 힘은 $\vec F$의 수평성분이 담당합니다. 이 힘의 크기는 [그림 4]에 표기한바와 같이 $F \cos \theta$로 주어집니다.

결국 이 경우 물체에 한 일 $W$는 다음과 같이 주어집니다.

이러한 결과는 힘 $\vec F$가 물체에 가해져 물체가 변위 $\vec d$만큼 이동했을 때 힘이 한 일은 (12)식처럼 주어질때도 있고 (13)식처럼 주어질 때도 있다는 것을 말합니다.

이 차이는 두 벡터 사이의 사이각 때문에 생기는 것으로 두 벡터가 평행하면 (12)식처럼, 두 벡터가 평행하지 않으면 (13)식처럼 표현해야 하는 것이죠.

5-2. 내적을 이용한 힘이 한 일의 표현

이렇게 되면 힘이 한 일을 구할 때 변위와의 사이각 유무에 따라 공식이 다른 것으로 생각할 수 있는데요. 그렇지는 않습니다. 왜냐면 (12)식과 (13)식을 아우르는 단일의 표현식이 있어요. 그것은 바로 아래 (14)식처럼 내적을 이용해 표현하면 됩니다.

(14)식과 같이 힘이 한 일을 내적으로 표현하면 $\vec F$와 $\vec d$의 사이각이 평행하면 $\cos 0^\circ = 1$이 되어 (12)식으로 귀결됩니다. 또한 두 벡터의 사이각 $\theta$가 존재하면 (13)식으로 귀결되는 것이죠.

정리하면 어느 물체에 힘이 한 일에 대한 아주 일반적이고 간결한 식은 내적을 이용하여 표현한 (14)식이 되겠습니다.

의외로 내적을 사용해야 하는 경우가 물리학에서 많답니다.