운동에너지 : 병진운동에너지와 회전운동에너지

BallPen · 2023-10-10T19:37:45+09:00

운동에너지(kinetic energy)는 질량을 갖는 물체가 움직이고 있으면 갖게 되는 에너지입니다. 운동에너지는 질량중심의 이동에 의한 병진운동에너지와 회전에 의한 회전운동에너지로 구분할 수 있는데요, 그 두개의 합이 전체 운동에너지가 됩니다.

Last Updated on 2023-10-10 by BallPen

입자계의 운동에너지가 병진운동에너지와 회전운동에너지로 표현되는 원리를 알아보겠습니다.

운동에너지(kinetic energy)란 질량을 갖는 물체가 움직이면 갖게 되는 에너지입니다. 반대로 말하면 멈추어 있는 물체는 운동에너지가 없어요.

운동에너지는 물체의 질량을 $m$ , 물체의 속력을 $v$ 라고 할 때 다음 식으로 주어집니다.

\tag{D1} T={1 \over 2} mv^2

이 (D1)식은 위치와 연관된 힘이 행한 일로부터 유도할 수 있는데요.

(D1)식을 조금만 바꾸면 운동에너지는 질량중심의 병진운동에너지(translational kinetic energy)와 회전운동에너지(rotational kinetic energy)로 분해될 수 있어요.

이번 글에서는 이에 대해 구체적으로 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 운동에너지
2. 입자계의 운동에너지
- 2-1. 병진운동하는 입자계의 운동에너지
- 2-2. 병진과 회전운동이 결합된 입자계의 운동에너지
  - [병진운동에너지와 회전운동에너지 유도]
3. 운동에너지 예제
- 3-1 회전하는 막대의 전체운동에너지
- 3-2. 회전하는 막대의 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합

1. 운동에너지

아래 [그림 1]은 빗면위에서 질량 $m$ 인 한 물체(또는 입자)가 속력 $v$ 로 미끄러져 내려가는 순간의 모습을 나타냅니다.

[그림 1] 빗면을 미끄러져 내려가는 물체. 물체는 운동에너지 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">T</span>를 갖게 됩니다. — [그림 1] 빗면을 미끄러져 내려가는 물체. 물체는 운동에너지 $T$ 를 갖게 됩니다.

이때 물체가 갖는 운동에너지는 (D1)식으로 주어져요. (D1)식을 아래에 (1)식으로 다시 쓸게요.

\tag{1} T={1 \over 2} mv^2

그렇다면 이번에는 물체가 하나가 아니라 4개가 연결되어 함께 빗면을 미끄러져 내려간다면 전체 운동에너지는 어떻게 될까요? 이와 같이 입자들이 모여 큰 물체를 구성하는 계를 입자계라고 부릅니다.

즉 입자계가 갖는 전체 운동에너지는 어떻게 될까요?

2. 입자계의 운동에너지

2-1. 병진운동하는 입자계의 운동에너지

아래 [그림 2]는 질량 ${m_1}, {m_2}, {m_3}, {m_4}$ 인 조각들이 서로 묶인채로 빗면을 속력 $v$ 로 내려가는 모습을 나타냅니다.

[그림 2] 입자계가 빗면을 내려가는 모습. 각 입자의 운동에너지 값을 합하면 전체 운동에너지가 됩니다.

이러한 입자계의 전체 운동에너지는 각 입자 요소가 갖는 운동에너지를 모두 합하면 구할 수 있어요.

\tag{2} \begin{align} T &= {1 \over 2} m_1 {v_1} ^2 + {1 \over 2} m_2 {v_2} ^2 + {1 \over 2} m_3 {v_3} ^2 + {1 \over 2} m_4 {v_4} ^2 \end{align}

(2)식에서 속력을 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 로 구분하였습니다만 [그림 2]의 조건에서는 모두 동일한 $v$ 가 되겠죠.

(2)식이 일반적인 형태이니 이를 정리하면 아래 (3)식처럼 쓸 수 있을거에요.

\tag{3} T = \sum {1 \over 2} m_i v_i^2

여기서 $m_i$ 는 입자의 질량이고, $v_i$ 는 입자의 속력입니다. (3)식이 바로 병진운동하는 입자계의 전체 운동에너지가 되겠습니다.

여기서 병진(translation)이라는 뜻은 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리를 이동시키는 것으로 평행이동의 개념과 같습니다.

2-2. 병진과 회전운동이 결합된 입자계의 운동에너지

[그림 1]과 [그림 2]는 모두 빗면 위에서 물체가 미끄러져 물체의 질량중심이 옆으로 이동하는 병진운동만을 다루고 있습니다.

그런데 잘 생각해보면 질량 $m$ 을 갖는 물체가 속력 $v$ 로 이동하는 조건은 병진운동 뿐만 아니라 회전운동도 있다는 것을 짐작할 수 있어요.

왜냐면 회전운동은 회전축을 중심으로 주변에 있는 입자들이 회전하는 것이므로 질량과 속력이 모두 존재해요. 따라서 회전운동도 운동에너지를 갖게 됩니다.

이러한 상황을 조금만 더 알아봐요.

아래 [그림 3]은 물체가 자전하면서 공전하는 상황을 나타내는데요. 공전은 물체의 질량중심이 옆으로 이동하는 병진운동에 해당하고 자전은 질량중심을 회전축으로 하는 회전운동에 해당해요.

질량중심은 그림에서 cm으로 표기하였습니다.

따라서 [그림 3]의 물체는 병진운동과 회전운동이 결합된 운동입니다.

[그림 3] 물체가 자전하면서 공전하는 모습. 즉 병진운동과 회전운동이 결합된 운동입니다. 물체속에 있는 육면체는 물체를 구성하는 입자들중 하나의 입자요소를 나타냅니다.

이 경우에 물체가 갖는 전체 운동에너지는 어떻게 구할 수 있을까요? 네 맞아요 (3)식과 같이 물체를 구성하는 각 입자요소가 갖는 운동에너지의 합으로 구하면 되겠죠.

\tag{4} T = \sum {1 \over 2} m_i v_i^2

여기서 $m_i$ 와 $v_i$ 는 물체를 구성하는 각 입자요소의 질량과 속력을 의미합니다.

[병진운동에너지와 회전운동에너지 유도]

그런데 (4)식을 질량중심 개념을 활용하여 식의 모양을 변형시켜 볼까요? 이것을 왜 하냐면 (4)식 속에 숨어 있는 물리적 의미를 명확하게 드러내고 싶기 때문이에요.

우선 [그림 3]에 있는 육면체 입자요소의 위치벡터 $\vec r_i$ 는 다음과 같이 벡터의 덧셈으로 표현할 수 있어요.

\tag{5} \vec r_i = \vec r_{cm} + \bar r_i

여기서 $\vec r_{cm}$ 은 질량중심의 위치벡터이고, $\bar r_i$ 는 질량중심에서 입자요소까지의 위치벡터입니다.

한편 (5)식의 위치벡터를 시간으로 미분하면 속도벡터가 됩니다.

\tag{6} \vec v_i = \vec v_{cm} + \bar v_i

그럼 이제 (6)식을 물체의 전체 운동에너지 식인 (4)식에 대입하고 정리해 보겠습니다.

\tag{7} \begin{align} T&=\sum {1 \over 2} m_i v_i^2\\ &=\sum{1 \over 2} m_i (\vec v_i \cdot \vec v_i)\\ &=\sum{1 \over 2} m_i \big[(\vec v_{cm} + \bar v_i) \cdot (\vec v_{cm} + \bar v_i)\big]\\ &=\sum {1 \over 2} m_i (\vec v_{cm} \cdot \vec v_{cm}) + \sum {1 \over \cancel 2} m_i \times \cancel2(\vec v_{cm} \cdot \bar v_i) + \sum{1 \over 2} m_i(\bar v_i \cdot \bar v_i)\\ &={\sum} {1 \over 2}m_i v_{cm}^2 + \vec v_{cm}\cdot \color{red}{\sum m_i \bar v_i} \color {black}+ \sum {1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\ &={1 \over 2}(\sum m_i)v_{cm}^2 + \sum {1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\ &={1 \over 2 }m v_{cm}^2 + \sum {1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\ \end{align}

여기서 어느 벡터를 자기 자신과 내적하면 $\vec v_i \cdot \vec v_i = v_i^2 \cos 0^{\circ} = v_i^2$ 이 되는 스칼라곱 규칙을 적용하였습니다. 또한 식에서 빨강색으로 표기한 부분은 0이 되어 사라집니다.

또한 $\sum m_i$ 는 모든 입자요소가 갖는 질량의 합이므로 전체질량이 되죠. 이 전체질량을 $m$ 으로 표기하였습니다.

(7)식의 결과와 같이 [그림 3]의 회전하는 물체가 갖는 전체 운동에너지는 두개의 항으로 나타낼 수 있게 되는데요.

하나는 질량중심에 물체의 모든 질량 $m$ 이 모여있다고 했을 때 그 질량중심이 속력 $v_{cm}$ 으로 병진운동할 때 갖게 되는 운동에너지에 해당합니다.

그래서 이 항은 질량중심이 옆으로 이동하므로 병진운동에너지(translational kinetic energy)라고 부릅니다.

그리고 다른 하나는 질량중심에서 바라본 입자 요소의 질량 $m_i$ 와 그 입자요소가 질량중심을 축으로 자전함으로써 갖는 속력 $\bar v_i$ 에 의한 운동에너지에 해당합니다.

그래서 이 항은 질량중심이 옆으로 이동하지 않으므로 회전운동에너지(rotational kinetic energy)라고 부릅니다.

결국 [그림 3]의 회전하는 물체가 갖는 전체 운동에너지는 다음과 같이 정리할 수 있어요.

\tag{8} \begin{align} T=\sum{1 \over 2} m_i v_i ^2 &= {1 \over 2} mv_{cm}^2 + \sum{1\over2} m_i \bar v_i^2\\ &=T_{translational} + T_{rotational} \end{align}

그러면 다시 [그림 1]과 [그림 2]를 생각해 볼까요?

이 두 그림에서는 빗면위에 있는 물체를 사각형으로 그렸잖아요. 그것은 일부로 그렇게 그린거에요.

물체가 빗면을 미끄러져 내려온다는 상황으로 한정하기 위함이에요. 이렇게 함으로써 [그림 1]과 [그림 2]는 모두 (8)식의 병진운동에너지가 전체 운동에너지가 되며, 회전운동에너지는 0이 됩니다.

만약 빗면 위에 있는 물체를 동그라미로 그리면 물체가 데굴데굴 구르면서 내려가는 상황을 상상할 수 있어요. 그때는 물체 질량중심의 병진운동에너지와 물체의 회전에 의한 회전운동에너지가 모두 존재하게 되죠.

3. 운동에너지 예제

(문제) 한 끝을 회전축으로 길이 $l$ , 질량 $m$ 인 균일한 막대가 일정한 각속도 $\omega$ 로 회전하고 있다. 이 막대의 전체 운동에너지는 얼마인가? 단 막대의 선밀도는 $\lambda$ 이다.

3-1 회전하는 막대의 전체운동에너지

아래 [그림 4]는 문제에 주어진 회전하는 막대를 그림으로 표현한 것입니다.

이렇게 회전하는 막대의 전체 운동에너지는 (8)식에 따라 $T=\sum {1\over2}m_i v_i^2$ 으로 구할 수 있습니다.

우선 그림에서와 같이 막대의 한 부분에 있는 미소 질량 요소 ${\rm d}m$ 이 만드는 미소 운동에너지 ${\rm d}T$ 를 구해보겠습니다.

\tag{E1} \begin{align} {\rm d} T &= {1 \over 2} v^2 {\rm d}m\\ &={1 \over 2} v^2 {\lambda} {\rm d}r\\ &={1 \over 2} (r \omega)^2 \lambda {\rm d}r\\ &={1 \over 2} r^2 \omega^2 \lambda {\rm d}r \end{align}

여기서 선밀도 개념을 적용하여 ${\rm d}m = \lambda {\rm d}r$ 의 관계를 활용하였습니다. 또한 회전축으로부터 $r$ 만큼 떨어진 곳의 접선속도는 $v=r \omega$ 로 주어지는 관계를 적용하였습니다.

그럼 (E1)식을 이용해 막대 전체의 운동에너지를 구해 볼까요. 다만 $r$ 에 대한 적분이니 적분구간은 0에서부터 $l$ 까지 하면 됩니다.

\tag{E2} \begin{align} T &= \int_0^l dT\\ &=\int_0^l {1 \over 2} r^2 \omega^2 \lambda {\rm d}r\\ &={1 \over 2} \omega^2 \lambda \int_0^l r^2 {\rm d}r\\ &={1 \over 2} \omega^2 \lambda \Big[{r^3 \over 3}\Big]_0^l\\ &={1 \over 2} \omega^2 \lambda \Big( {1 \over 3} l^3\Big)\\ &={1 \over 6} \omega^2({m \over l})l^3\\ &={1 \over 6 } ml^2 \omega^2 \end{align}

회전하는 막대의 전체 운동에너지는 ${1 \over 6} ml^2 \omega^2$ 으로 주어지는 군요.

3-2. 회전하는 막대의 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합

이번에는 (8)식처럼 병진운동에너지 $T_{translational}$ 와 회전운동에너지 $T_{rotational}$ 을 각각 구한 후 그 둘을 합했을 때 정말 (E2)와 같아지는지 알아보겠습니다.

우선 병진운동에너지 $T_{translational}$ 부터 구해보겠습니다.

아래 [그림 5]는 막대의 질량중심 cm이 막대의 중간지점인 $l/2$ 인 곳에 있음을 나타냅니다. 그곳에 막대의 전체질량 $m$ 이 모두 모여있다고 할 때 그 질량중심의 이동에 의한 운동에너지를 구하면 그것이 병진운동에너지가 됩니다.

[그림 5] 막대의 질량중심점에 막대의 모든 질량이 모여 접선 속력 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">v_{cm}</span>으로 운동 — [그림 5] 막대의 질량중심점에 막대의 모든 질량이 모여 접선 속력 $v_{cm}$ 으로 운동

이를 식으로 전개하면 다음과 같아요.

\tag{E3} \begin{align} T_{translational} &= {1 \over 2} mv_{cm}^2\\ &= {1 \over 2} m \Big({l \over2} \omega\Big)^2\\ &={1 \over 8}ml^2 \omega^2 \end{align}

다음에는 회전운동에너지를 구해보겠습니다.

회전운동에너지는 질량중심점을 기준으로 회전하는 막대를 생각하면 됩니다. 아래 [그림 6]을 보면 질량중심점을 기준으로 막대가 회전하고 있는데요.

회전축으로부터 $r$ 만큼 떨어진 곳에 질량 요소 ${\rm d}m$ 이 접선속도 $\bar v$ 로 회전하고 있어요.

이때 미소 회전운동에너지 ${\rm d}T_{rotational}$ 를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{E4} \begin{align} {\rm d}T_{rotational} &= {1 \over 2} \bar v^2 dm\\ &={1 \over 2} (r \omega)^2 (\lambda {\rm d}r)\\ &={1 \over 2} r^2 \omega^2 \lambda{\rm d}r \end{align}

(E4)식을 활용하여 회전운동에너지 $T_{rotational}$ 를 구하면 다음 (E5)식과 같아요. 이때 막대는 연속적이므로 $\sum$ 을 적분으로 대체해야 합니다.

아울러 적분구간은 0에서 $l/2$ 까지로 하되 질량중심점 양쪽으로 막대가 있으므로 적분값을 2배 해주면 됩니다.

\tag{E5} \begin{align} T_{rotational} &= \sum{1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\ &=2 \int_0^{l/2} {\rm d} T_{rotational}\\ &=\cancel2 \int_0^{l/2} {1 \over \cancel2} r^2 \omega^2 \lambda {\rm d}r\\ &=\omega^2 \lambda \int_0^{l/2} r^2 {\rm d}r\\ &=\omega^2 \lambda \Big[ {r^3 \over 3}\Big]_0^{l/2}\\ &=\omega^2 \lambda \Big({1 \over 3} \times{l^3 \over 8}\Big)\\ &={1 \over 24 }\omega^2 \Big( {m \over l} \Big)l^3\\ &={1 \over 24} ml^2 \omega^2 \end{align}

그러면 마지막으로 (E3)식의 병진운동에너지와 (E5)식의 회전운동에너지를 합하여 전체 운동에너지를 구해보겠습니다.

\tag{E6} \begin{align} T &= T_{translational} + T_{rotational}\\ &={1 \over 8} ml^2 \omega^2 +{1 \over 24} ml^2 \omega^2\\ &={1 \over 6} ml^2 \omega^2 \end{align}

(E6)식에 주어진 ${1 \over 6} ml^2 \omega^2$ 이 문제에 주어진 회전하는 막대의 전체 운동에너지가 됩니다. 이 값을 (E2)식과 비교해보세요.

동일합니다.

결국 전체 운동에너지는 질량중심의 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합으로 주어진다는 것을 이해할 수 있습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

[Total: 3 Average: 5]