단순조화운동 :등속원운동의 투영

BallPen · 2024-02-06T18:29:10+09:00

단순조화운동(SHM)은 투영된 등속원운동의 그림자가 만드는 왕복운동입니다. 이 운동의 변위, 속도, 가속도는 등속원운동의 위치, 선속도, 구심가속도 벡터를 투영해서 구할 수 있어요. 이 운동은 변위에 비례하되 변위와 반대방향을 향하는 힘이 필요합니다.

Last Updated on 2024-02-06 by BallPen

측면에서 등속원운동하는 물체에 빛을 비추면 물체의 그림자는 어떤 운동을 할까요?

단순조화운동(SHM, Simple Harmonic Motion)은 등속원운동하는 물체를 투영했을 때 그 그림자가 만드는 왕복운동을 말합니다.

질량 $m$ 인 물체가 이 운동을 하기 위해서는 힘 $F$ 가 필요한데요. 물체의 변위를 $x$ 라 할 때 다음의 관계가 성립해요.

\tag{D1} \bold{F= - k x}

여기서 $k$ 는 상수입니다.

이번 글에서는 등속원운동하는 물체를 투영했을 때 나타나는 단순조화운동의 변위, 속도, 가속도를 구하고 위 (D1)식이 어떻게 도출되는지를 설명드립니다.

재미있는 내용이니 편하게 읽어보시기 바랍니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents [hide]

1. 등속원운동의 투영
- 1-1. 등속원운동하는 물체
- 1-2. 단순조화운동
2. 단순조화운동 변위, 속도, 가속도
3. 단순조화운동을 일으키는 힘

1. 등속원운동의 투영

등속원운동하는 물체의 측면에서 빛을 비추면 물체의 그림자가 생깁니다. 이것을 투영한다고 말해요.

이때 투영된 그림자는 어떤 운동을 할까요?

1-1. 등속원운동하는 물체

아래 [그림 1]은 반지름이 $A$ 이고 일정한 각속도 $\omega_0$ 로 회전하는 원판을 정면과 측면에서 바라본 모습이에요.

이 원판에는 앞으로 튀어나온 손잡이가 있는데요. 그것을 진한 파랑색으로 표현했어요.

[그림 1] (a) 손잡이가 달린 등속원운동하는 물체의 정면 모습, (b) 측면 모습

이때 이 등속원운동하는 물체의 측면에서 빛을 비춘다면 손잡이 그림자가 벽면에 생길거에요.

그렇다면 그 손잡이 그림자는 어떤 운동을 할까요?

네 맞아요.

원판의 지름 범위인 $2A$ 내에서 왔다 갔다하는 왕복운동을 하게 됩니다. 이에 대해 더 알아봐요.

1-2. 단순조화운동

아래 [그림 2]는 등속원운동하는 물체의 측면에 빛을 비추고 손잡이 그림자가 스크린에 만들어지는 모습을 나타내고 있어요.

그림과 같이 등속원운동하는 물체의 손잡이가 시간 $t=0$ 에서 가로축으로부터 $\phi_0$ 만큼 돌아간 위치에 있어요. 그곳이 $\textcircled{1}$ 번이에요.

그리고 물체가 일정한 각속도 $\omega_0$ 로 회전하고 있어요.

그래서 손잡이는 $\textcircled{1} \rightarrow \textcircled{2} \rightarrow \textcircled{3} \rightarrow \textcircled{4} \rightarrow \textcircled{5} \rightarrow \textcircled{6}$ 번 위치를 순차적으로 지나가게 됩니다.

이때 등속원운동하는 물체의 손잡이가 스크린에 맺히는데요.

스크린에 대응시켜놓은 번호처럼 그림자는 중심 축을 기준으로 위쪽으로 물체의 반지름인 $A$ 만큼 아래쪽으로는 $-A$ 만큼의 범위에서 왕복운동하는 것을 짐작할 수 있어요.

물론 왕복운동하는 그림자는 중심에서 속력이 가장 빠르고 양 끝단에서는 속력이 0이 될거에요. 왜냐하면 양끝단에서는 움직이는 방향을 바꾸어야 하므로 순간적으로 0이되는 지점이 존재할 수 밖에 없어요.

바로 이러한 그림자의 왕복운동을 물리학에서는 단순조화운동(simple harmonic motion) 또는 단순조화진동(단진동)이라고 합니다.

단순조화운동하는 그림자의 운동을 명확히 표현하기 위해 그림과 같이 가로축을 시간 $t$ , 세로축을 변위 $x$ 로 하여 그래프가 그려져 있어요.

그래프를 보면 $t=0$ 의 $\textcircled{1}$ 번 위치에서 시작하여 물체가 한바퀴 돌면 $\textcircled{7}$ 번 위치까지 그려지게 됩니다.

바로 이때가 등속원운동하는 물체가 한바퀴 돌아가는데 걸리는 시간인 주기 $T$ 가 될거에요.

또 그래프를 잘 보면 싸인꼴 함수 형태로 그래프가 그려진 것을 알 수 있어요. 결국 단순조화운동은 시간의 함수로서 변위가 싸인꼴로 변하게 됩니다.

그럼 이제부터는 단순조화운동을 수학적으로 표현해봐요. 즉 단순조화운동의 변위, 속도, 가속도에 관한 식을 구해보겠습니다.

2. 단순조화운동 변위, 속도, 가속도

위에서 등속원운동하는 물체를 투영하면 그 그림자가 단순조화운동을 한다고 말씀드렸어요. 그래서 단순조화운동의 위치, 속도, 가속도에 관한 공식에는 등속원운동과 관련된 개념들이 사용됩니다.

2-1. 변위

아래 [그림 3]은 각속도 $\omega_0$ 로 등속원운동하는 물체를 투영하여 그 그림자가 단순조화운동하는 모습입니다.

이때 기준축으로부터 손잡이 그림자가 있는 곳까지의 거리가 단순조화운동의 변위 $x$ 에요.

[그림 3] 단순조화운동. 단순조화운동의 변위는 등속원운동하는 물체의 위치 벡터를 투영한 것과 같습니다.

단순조화운동이 등속원운동하는 물체를 투영해서 얻을 수 있듯이 단순조화운동의 변위 $x$ 도 등속원운동하는 물체의 위치 벡터를 투영하면 구할 수 있어요.

[그림 3]을 보면 반지름 $A$ 로 등속원운동하는 물체가 각도 $\omega_0 t$ 만큼 회전되어 있어요. 이때 투영된 단순조화운동의 변위 $x$ 는 그림에 나타낸 것처럼 아래 (1)식으로 구할 수 있습니다.

\tag{1} \begin{align} x &= A \sin \theta \\ &= A \sin (\omega_0 t) \end{align}

그리고 (1)식을 그래프로 나타낸 것이 바로 [그림 3]의 오른쪽 그래프입니다. 이때 변위의 최대값인 진폭은 $A$ 입니다.

이 그래프위에 그려진 동그란 원은 왼쪽 그림으로부터 투영된 위치를 나타낸거에요.

2-2. 속도

단순조화운동의 변위가 등속원운동하는 물체의 위치 벡터를 투영해서 구할 수 있듯이, 단순조화운동의 속도는 등속원운동하는 물체의 선속도 벡터를 투영하면 구할 수 있어요.

[그림 4] 단순조화운동. 단순조화운동의 속도는 등속원운동하는 물체의 선속도 벡터를 투영한 것과 같습니다.

위 [그림 4]와 같이 등속원운동하는 물체의 선속도는 $v_0 = A\omega_0$ 로 주어지므로 이를 스크린에 투영한 단순조화운동의 속도 $v$ 는 다음 (2)식과 같이 주어져요.

\tag{2} \begin{align} v &= v_0 \cos \theta\\ &=(A \omega_0) \cos(\omega_0 t) \end{align}

그리고 (2)식을 그래프로 나타낸 것이 [그림 4]의 오른쪽에 있는 그래프입니다. 이때 속도의 최대값인 진폭은 $A \omega_0$ 입니다.

자칫 그림이 비슷해서 [그림 3]의 변위 그래프와 진폭이 같을 것이라 착각할 수 있는데요. 이것은 속도를 나타내는 그래프이기 때문에 진폭이 다르다는 것에 유념하세요..

이 그래프위에 그려진 동그란 원은 왼쪽 그림의 선속도 벡터를 투영한 속도를 대략적으로 나타낸거에요.

참고로 변위를 시간으로 미분하면 속도를 구할 수 있습니다. 따라서 (1)식의 변위를 시간으로 미분해도 (2)식과 동일한 결론을 얻을 수 있어요.

2-3. 가속도

단순조화운동의 변위와 속도가 등속원운동하는 물체의 위치 벡터와 선속도 벡터를 투영하여 구할 수 있듯이, 단순조화운동의 가속도도 등속원운동하는 물체의 구심가속도 벡터를 투영하면 구할 수 있어요.

[그림 5] 단순조화운동. 단순조화운동의 가속도는 등속원운동하는 물체의 구심가속도 벡터를 투영한 것과 같습니다.

위 [그림 5]와 같이 등속원운동하는 물체의 구심가속도는 $a_0 = -A\omega_0^2$ 으로 주어지므로 이를 스크린에 투영한 단순조화운동의 가속도 $a$ 는 다음 (3)식과 같습니다.

여기서 가속도에 음의 부호가 붙는 이유는 [그림 3], [그림 4]에 그려진 단순조화운동의 위치, 속도벡터와 반대방향을 향하기 때문이에요.

또한 투영되는 각도는 [그림 5]에서와 같이 $\theta$ 가 아닌 $\gamma$ 이고, 삼각형 내각의 합은 $\theta + \gamma+{{\pi}\over{2}}={\pi}$ 의 관계가 성립됩니다.

\tag{3} \begin{align} a &= a_0 \cos \gamma\\ &=-(A \omega_0^2) \cos \big(\pi - {{\pi}\over{2}} - \theta \big)\\ &=-(A \omega_0^2) \cos \big({{\pi}\over{2}} - \theta \big)\\ &=-(A \omega_0^2)\big(\cos{{\pi}\over{2}}\cos \theta + \sin{{\pi}\over{2}}\sin \theta \big)\\ &=-(A\omega_0^2) \sin \theta\\ &=-(A\omega_0^2)\sin(\omega_0 t)\\ \end{align}

전개 과정에서 삼각함수 덧셈정리가 적용되었습니다.

(3)식을 그래프로 나타낸 것이 [그림 5]의 오른쪽에 있는 그래프입니다. 이때 가속도의 최대값인 진폭은 $A \omega_0^2$ 입니다.

그래프위에 그려진 동그란 원은 왼쪽 그림의 구심가속도 벡터를 투영한 가속도를 대략적으로 나타낸거에요.

참고로 속도를 시간으로 미분하면 가속도를 구할 수 있습니다. 따라서 (2)식의 속도를 시간으로 미분해도 (3)식과 동일한 결론을 얻을 수 있습니다.

3. 단순조화운동을 일으키는 힘

지금까지 단순조화운동은 등속원운동하는 물체를 투영해서 구할 수 있다고 했습니다. 그리고 단순조화운동의 변위, 속도, 가속도 공식을 유도했어요.

그렇다면 이번에는 단순조화운동을 일으키기 위한 힘의 요건까지 확장해봐요.

만일 질량 $m$ 인 물체가 단순조화운동을 하고 있다면 그 물체에 작용하는 힘은 어떻게 표현될까요? 바꾸어 말하면 정지된 물체에 어떠한 형태의 힘이 작용해야 단순조화운동과 동일한 왕복운동을 하게 될까요?

이를 구하기 위해서는 뉴턴 운동의 제2법칙인 $F=ma$ 을 적용하면 되는데요. 이때 가속도 $a$ 는 (3)식을 대입합니다.

\tag{4} \begin{align} F&= ma\\ &=m(-A\omega_0^2 \sin (\omega_0 t))\\ &=-(m\omega_0^2A)\sin(\omega_0 t) \end{align}

그런데 (4)식에서 $m,~\omega_0$ 는 모두 상수에요. 그래서 $m\omega_0^2$ 을 $k$ 로 치환하면 다음과 같아요.

\tag{5} \begin{align} F&=-(m\omega_0^2A)\sin(\omega_0 t)\\ &=-kA\sin(\omega_0 t)\\ \end{align}

그리고 (5)식에서 $A \sin (\omega_0 t)$ 가 있는데요. 이것은 (1)식에 주어진 물체의 변위 $x$ 와 같아요.

이를 반영하면 단순조화운동에 필요한 힘 $F$ 는 다음과 같이 아주 간단하게 정리될 수 있어요.

\tag{6} F = - k x

결국 질량 $m$ 인 물체에 작용하는 힘 $F$ 가 (6)식처럼 변위의 크기 $x$ 에 비례하되 변위의 반대방향으로 작용한다면 물체는 단순조화운동을 하게 됩니다.

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단순조화운동 :등속원운동의 투영