면전하 분포의 경계 조건

Last Updated on 2024-06-04 by BallPen

면전하 분포에 의한 전기장과 전위의 경계조건을 알아봐요.

면전하 분포의 경계 조건 개념을 이용하면 다양한 문제를 푸는데 도움이 됩니다.

여기서 경계조건(boundary condition)이란 어떤 면에 면전하밀도 \sigma가 분포되어 있을 때 그 면을 가로지르는 전기장의 수직성분 E^{\perp}과 수평성분 E^{\parallel}이 어떻게 변하는지? 또 전위 V는 어떻게 되는지에 대한 규칙성이에요.

따라서 이 경계조건을 알면 문제 풀이가 간결해지겠죠.

결론부터 말씀드리면 전기장의 수직성분은 다음과 같이 {{\sigma}\over{\epsilon_0}}만큼 불연속적입니다. 반면에 전기장의 수평성분과 전위는 연속이기 때문에 변하지 않아요.

\tag{D1}
\begin{align}{
E^{\perp}}_{above} - {E^{\perp}}_{below} = {{\sigma}\over{\epsilon_0}}
\end{align}

\tag{D2}
\begin{align}
{E^{\parallel}}_{above} - {E^{\parallel}}_{below} =0
\end{align}

\tag{D3}
V_{above} - V_{below} =0

위 식에서 첨자 ‘above’는 면전하의 위쪽을, ‘below’는 아래쪽을 의미합니다.

아울러 전기장은 수직성분과 수평성분이 있고 전위는 없는데요. 그 이유는 전기장은 벡터이고 전위는 스칼라이기 때문이에요.

그럼 이제부터 (D1), (D2), (D3)식이 어떻게 도출되었는지 더 구체적으로 알아봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

본 글에서 사용된 그림파일 원본이 필요한 분은 다운받아 사용하세요. 키노트로 작성 후 파워포인트로 변환했기 때문에 일부 그림이 파워포인트에서 제대로 안보일 수도 있어요. 편집해서 사용하시기 바랍니다.

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1. 면전하 분포의 경계 조건 : 전기장

면전하가 분포된 면을 중심으로 양 측면에서의 전기장의 경계조건을 알아봐요. 이때 전기장은 벡터량이므로 수직한 성분과 수평한 성분으로 구분할 수 있는데요.

각각에 대해 알아보겠습니다.

1-1. 전기장의 수직 성분

아래 [그림 1]을 보면 검정색 판이 있는데요. 그 판이 면전하밀도 \sigma로 대전되어 있어요. 그러면 위쪽과 아래쪽 공간으로 전기장이 생성될 거에요.

그래서 면에 수직한 전기장 성분을 빨강색 화살표로 그렸고, E^{\perp}로 표시했습니다. 그리고 면의 위쪽을 ‘above’로, 아래쪽을 ‘below’로 표기했어요.

가장 단순한 조건의 전기장 수직성분을 가정해서 {E^{\perp}}_{above}와 {E^{\perp}}_{below}가 서로 크기가 갖고 방향도 동일한 경우를 생각해봐요.

그렇다면 이 경우 {E^{\perp}}_{above} - {E^{\perp}}_{below} 를 계산하면 얼마가 나올까요? 네, 두 벡터의 크기와 방향이 모두 동일하므로 당연히 0이 될거에요. 이러한 조건을 연속, 만일 0이 아닌 어떤 값이 도출된다면 불연속이라고 말해요.

그렇다면 정말로 면전하 분포에 의한 전기장의 수직 성분 경계 조건이 연속일지 아닐지를 알아봐요.

일단은 가우스 법칙 적용을 위해 [그림 1]과 같이 윗면과 아래면의 면적이 A인 직육면체 모양의 가우스면을 상상해 봐요.

그러면 가우스 면의 위쪽을 통과하는 전기장 선속은 면벡터와 전기장의 수직성분이 서로 평행(0^{\circ})하고, 아래쪽 면을 통과하는 전기장 선속은 면벡터와 전기장의 수직성분이 반평행(180^{\circ})할 거에요.

한편 그림에 표기된 가우스 육면체의 높이 \epsilon을 0으로 보내면 측면을 통과하는 전기장 선속은 측면 면벡터의 크기가 0이 되므로 측면을 통과하는 전기장 선속도 0으로 간주할 수 있어요.

이때 가우스 면의 두께 효과를 없애는 이유는 경계면과 아주 가까운 곳에서의 경계 조건을 얻기 위함입니다.

이 관계를 반영하여 가우스 법칙을 식으로 표현하면 아래와 같아요.

\tag{1-1}
\begin{align}
\oint \vec E \cdot da &= ({\vec {E}^{\perp}}_{above} \cdot \vec A) + ({\vec {E}^{\perp}}_{below} \cdot \vec A) + \cancel {\Sigma ({\vec E^{\perp} \cdot d \vec a_{side}})}\\[10pt]
&=({E^{\perp}}_{above} A \cos 0^{\circ}) +  ({E^{\perp}}_{below}A \cos 180^{\circ})\\[10pt]
&=\color{blue}({E^{\perp}}_{above} - {E^{\perp}}_{below})A\\[10pt]
&=\color{blue}{{Q_{enc}}\over{\epsilon_0}}\\[10pt]
\end{align}

윗 식에서 파랑색 부분은 서로 같으므로 다음의 관계식을 얻을 수 있습니다. 이때 면전하밀도 정의식인 {{Q_{enc}}\over{A}}=\sigma의 관계식을 적용했어요.

\tag{1-2}
\begin{align}
{E^{\perp}}_{above} - {E^{\perp}}_{below} = {{\sigma}\over{\epsilon_0}}
\end{align}

그 결과 면전하 분포에 의한 전기장의 수직성분 차이가 0이 아니므로 불연속하며, 그 불연속 정도의 크기는 {{\sigma}\over{\epsilon_0}}임을 알 수 있습니다.

[예제]

(1-2)식을 이용하면 {E^{\perp}}_{below}의 값을 알고 있을 때 {E^{\perp}}_{above}값을 구할 수 있을 거에요.

면전하 \sigma로 대전된 무한 평면 전하 분포에 의한 전기장 이론에 따르면 {E^{\perp}}_{below}의 크기는 {{\sigma}\over{2 \epsilon_0}}인데, 그 방향이 [그림 1]과 반대방향이에요.

그래서 이 경우 음의 부호를 붙여주어야 합니다. (1-2)식의 경계 조건을 통해 {E^{\perp}}_{above}의 크기를 구하면 다음과 같아요.

\tag{1-3}
\begin{align}
{E^{\perp}}_{above} &= {\sigma \over {\epsilon_0}} + {E^{\perp}}_{below}\\[10pt]
&={{2 \sigma}\over{2 \epsilon_0}} + \big(-{{\sigma}\over{2 \epsilon_0}}\big)\\[10pt]
&= {\sigma \over {2 \epsilon_0}}
\end{align}

윗 식에서 결과값의 부호가 +가 나왔으므로 방향은 위쪽을 향합니다.

1-2. 전기장의 수평 성분

이번에는 전기장 수평 성분의 경계 조건을 알아봐요.

아래 [그림 2]는 [그림 1]과 동일하게 면전하 밀도 \sigma가 있어요. 그리고 이 면전하밀도에 의해 생성되는 전기장의 수평성분을 가정해서 빨강색 화살표로 나타냈습니다.

이 경우에도 {E^{\parallel}}_{above} - {E^{\parallel}}_{below}를 구한다면 어떤 결과가 얻어질까요? 만일 0이 나온다면 연속이고, 0이 아닌 어떤 값이 나온다면 불연속한 거에요.

이를 구하기 위해 닫힌 경로를 따라 전기장을 선적분해봐요. 그러면 전기장은 보존장이므로 0이 나와야만 합니다.

직접 식을 세우면 다음과 같을 거에요. 이때 [그림 2]에 표기한 사각형 경로의 높이 \epsilon은 두께 효과를 없애기 위해 0으로 보내도록 하겠습니다.

\tag{1-4}
\begin{align}
\oint \vec E \cdot d \vec l &= ({\vec E^{\parallel}}_{above} \cdot \vec L) + ({\vec E^{\parallel}}_{below} \cdot \vec L) + \cancel {\sum (\vec E^{\parallel } \cdot \vec \epsilon)}\\[10pt]
&= ({E^{\parallel}}_{above} L \cos 0^{\circ}) + ({E^{\parallel}}_{below}L \cos 180^{\circ})\\[10pt]
&=\color{red}({E^{\parallel}}_{above} - {E^{\parallel}}_{below})L\\[10pt]
&=\color{red}0
\end{align}

윗 식에서 빨강색 부분은 서로 같으므로 다음 (1-5)식을 만족해야 합니다. 물론 L은 우리가 이미 0이 아닌 것으로 가정하고 적분까지 했으니 0이 될 수 없어요.

\tag{1-5}
\begin{align}
{E^{\parallel}}_{above} - {E^{\parallel}}_{below} = 0
\end{align}

윗 식과 같이 면전하 분포에 의한 전기장의 수평성분은 위나 아래나 전혀 차이가 없다는 것을 알 수 있어요. 그러므로 연속입니다.

결국 (1-2)식과 (1-5)식을 종합하면, 면전하가 분포된 면을 통과하는 전기장 \vec E의 경계조건은 다음과 같이 면의 법선 방향 \hat n(수직방향)으로 {{\sigma}\over{\epsilon_0}}만큼의 불연속이 존재합니다.

\tag{1-6}
{\vec E}_{above} - {\vec E}_{below} = {{\sigma}\over{\epsilon_0}} \hat n

2. 면전하 분포의 경계 조건 : 전위

아래 [그림 3]에는 면전하 밀도가 \sigma인 판이 있고, 그 판에서 아래쪽 한 지점을 a, 위쪽 한 지점을 b라고 표기했어요.

그리고 a지점과 b지점 사이의 거리를 \epsilon으로 둘께요.

여기서도 판의 두께 효과를 없애기 위해 \epsilon을 0으로 보냅니다.

그러면 a점의 전위 V_{below}와 b점의 전위 V_{above}의 차이는 0이 될 것임을 생각할 수 있을 거에요.

이러한 관계를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2-1}
\begin{align}
{\color{brown}V_{above} - V_{below}} &= - \int_a^b \vec E \cdot d \vec l \\[10pt]
&= \color{brown} 0
\end{align}

윗 식에서 갈색 부분은 서로 같으므로 다음 식이 성립해야 합니다.

\tag{2-2}
V_{above} - V_{below} = 0

이렇게 해서 지금까지 면전하 분포에 의한 전기장의 수직성분과 수평성분, 그리고 전위의 경계 조건을 알아봤어요.

지금까지의 내용을 종합해서 (1-6)식의 형태를 조금만 바꾸어 볼게요. 이때 전기장과 전위 사이의 관계식인 \vec E = - \nabla V를 적용하면 다음과 같습니다.

\tag{2-3}
\begin{align}
{\vec E}_{above} - {\vec E}_{below} &= {{\sigma}\over{\epsilon_0}} \hat n\\
&\downarrow\\
\nabla V_{above} - \nabla V_{below} &= - {{\sigma}\over{\epsilon_0}}  \hat n\\


\end{align}

그리고 바로 윗식 마지막 줄의 양변에 \hat n을 내적해 보세요.

\tag{2-4}
\begin{align}
\nabla V_{above} \cdot \hat n - \nabla V_{below} \cdot \hat n &= -{{\sigma}\over{\epsilon_0}}(\hat n \cdot \hat n)\\[10pt]
&\downarrow\\


{{\partial V_{above}}\over{\partial n}} (\hat n \cdot \hat n )- {{\partial V_{below}}\over{\partial n}} (\hat n \cdot \hat n )&= - {{\sigma}\over{\epsilon_0}} (\hat n \cdot \hat n )
\end{align}

이때 \hat n \cdot \hat n = 1 \times 1 \times \cos 0^{\circ} = 1이므로 위 (2-4)식의 마지막 줄은 최종적으로 다음과 같이 쓸 수 있어요.

\tag{2-5}
{{\partial V_{above}}\over{\partial n}} - {{\partial V_{below}}\over{\partial n}} = - {{\sigma}\over{\epsilon_0}}

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