키르히호프 법칙

Last Updated on 2023-04-09 by BallPen

키르히호프 법칙을 구성하는 분기점의 법칙과 고리 법칙을 알아보겠습니다.

키르히호프 법칙(Kirchhoff’s Rules)이란 회로의 임의 지점을 통과하는 전류의 크기를 구하기 위해 사용되는 법칙입니다.

이 법칙을 사용하면 직렬과 병렬연결로 단순화하기 어려운 복잡한 회로에서도 전류의 크기를 쉽게 구할 수 있습니다.

물론 이 법칙은 키르히로프(1824~1887)에 의해 제안되었습니다.

이제 시작해 보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 기전력, 전류, 저항, 전압강하

키르히로프 법칙 개념을 이해하기 위해서는 기전력, 전류, 저항, 전압강하를 우선 이해해야 합니다.

하나 하나씩 알아봐요.

1-1. 기전력

기전력(electromotive force)이란 전하(또는 전자)가 갖는 위치에너지의 크기를 뜻합니다.

지구 표면에서 어떤 높이에 떠있는 물체는 중력 위치에너지를 가져요. 이 때문에 언제든지 바닥으로 떨어지며 움직일 수 있습니다. 이와 같이 질량을 갖는 물체가 위치에너지를 가지면 언제든지 운동에너지로 바뀔 수 있어요.

이와 동일하게 전하도 위치에너지를 갖게 되면 언제든지 회로를 통해 운동에너지로 변환되어 전하의 흐름을 만들어 냅니다.

이때 전하의 흐름을 우리는 전류(current)라고 부릅니다. 즉 기전력이 있어야 전류가 흐를 수 있는거에요.

기전력을 만들어내는 몇가지 장치들이 있습니다. 대표적으로 발전기, 배터리, 전지 등이 이에 해당해요. 이러한 장치들은 기전력을 만드는 원천이라는 의미에서 기전력원이라고 부릅니다.

또한 기전력원이 만드는 기전력의 크기는 보통 \epsilon으로 표기하고 전압의 단위인 볼트 V를 사용합니다.

아래 [그림 1]에 건전지가 있어요.

[그림 1]에 제시된 건전지는 1.5 V의 기전력을 만들어 내요. 아래쪽 음극을 기준으로 위쪽 양극에 전하 1 C 당 1.5 J의 위치에너지를 만들어 낸다는 의미입니다.

조금 더 쉽게 이해하기 위해서는 0V인 음극을 기준으로 양극의 전압이 1.5 V가 되도록 전압을 계속적으로 생성한다는 의미로 보셔도 좋습니다.

[그림 1]의 오른쪽 그림은 기전력원에 대한 회로 기호에요. 국제적인 약속에 의해 길게 그려진 쪽이 양극이고 짧게 그려진 쪽이 음극입니다.

\epsilon = 1.5 ~\mathrm {V}라고 표기되어 있는데요. 다시 한번 더 말씀드리면 음극을 기준으로 양극쪽의 전압이 1.5 V가 되도록 계속 기전력을 생성한다는 의미에요.

만약 건전지가 모두 소모되면 더이상 기전력이 나오지 않습니다.

1-2. 전류

앞서 말씀드렸듯이 전류란 기전력에 의해 도선을 통해 흐르는 전하의 흐름을 말하는데요. 전류의 크기는 도선의 한 단면을 통과하는 단위시간당 전하의 양으로 정의합니다.

아래 [그림 2]가 있습니다.

도선 안에는 음의 전하량 q=1.6 \times 10^{-19}~\mathrm{C}을 갖는 자유롭게 움직일 수 있는 수많은 전하가 있어요. 이러한 전하를 자유전자라고 합니다.

그림과 같이 기전력원 \epsilon이 있고 도선이 닫혀진 경로를 구성하면 자유전자들은 도선을 따라 이동합니다. 이때 도선의 한 단면을 자유전자들이 통과하게 되는데요.

단위시간 \Delta t동안 그 도선의 한 단면을 통과한 총 전하량 \Delta Q를 전류 I라고 합니다.

\tag{1}
I= {{\Delta Q}\over{\Delta t}}

이때 \Delta Q는, 예를 들어 100개의 전자가 통과했다면 \Delta Q = 100q = 100\times (1.6 \times 10^{-19} ~\mathrm{C}) = 1.6 \times 10^{-17}~\mathrm{C}이 됩니다.

한편 전류가 흐르는 방향은 관습적으로 전자 흐름의 반대방향으로 약속되었습니다.

그래서 그림과 같이 전자들은 반시계방향으로 흐르지만 전류는 시계방향으로 흘러갑니다. 즉, 전류는 기전력이 높은 양극에서 기전력이 낮은 음극으로 회로를 통해 흐릅니다.

1-3. 저항

저항(resistance)이란 전류의 흐름을 방해하는 성질을 말합니다.

물질 속에는 수많은 불순물이 있을 수 있으며, 전자들이 자유롭게 움직이지 못하고 어떤 원인에 의해 구속되어 있을 수도 있어요.

그래서 자유롭게 움직일 수 있는 자유전자가 적으면 기전력이 걸려있더라도 전류의 크기가 작을 수 밖에 없어요. 이때 전류 흐름을 방해하는 성질의 척도가 저항이에요.

예를 들어 전류가 흐르는 정도에 따라 물질을 도체와 부도체로 구분할 수 있는데요. 도체는 저항이 작고 부도체는 저항이 큽니다.

우리가 일상생활에서 도선으로 자주 사용하는 구리도 저항이 작기는 하지만 존재합니다. 또한 저항기라고 부르는 전자부품은 전류의 흐름을 조절하기 위해 많이 사용됩니다.

아래 [그림 3]이 바로 저항기의 모습과 저항의 회로기호를 나타냅니다.

모든 저항기가 똑같은 모습을 갖지는 않지만 보통 [그림 3]에 보이는 원통형 모양의 저항기를 많이 사용합니다. 사진에서는 크게 보이지만 생각보다 아주 작아요.

저항의 회로기호는 마치 도선이 지그재그로 구부러진 형태입니다. 회로도에서 R=1.0~\mathrm{k\Omega}이라고 표기되어 있으면 저항값이 1000~\Omega임을 뜻해요.

동일한 크기의 기전력이 걸렸을 때 저항값이 클수록 회로에 흐르는 전류는 작아집니다.

1-4. 전압강하

전압강하란 기전력원에서 생성된 전압이 저항을 거치며 강하하는 현상을 말합니다. 이것을 이해하기 위해서는 아래 [그림 4]를 보아주세요.

기전력원에서 생성되는 전압이 15 V이고 저항 2개가 직렬연결되어 있어요. 또한 회로에는 각 지점마다 a부터 h까지 이름이 붙어 있어요.

앞에서 말씀드렸듯이 기전력원 \epsilon이 15 V이면 음극을 0 V라고 했을 때 양극은 15 V만큼 단위전하당 위치에너지가 큽니다.

그러므로 회로에서 a점의 전압은 15 V가 됩니다. 또한 b점과 c점의 전압도 15 V입니다.

한편 음극 쪽을 생각하면 h점은 0 V입니다. 같은 맥락으로 g점과 f점도 0 V가 됩니다.

이때 여기서 중요한 것은 c점이 15 V이고 f점이 0 V가 되어야 한다면 기전력원에서 생성되는 전압은 각 저항을 거치면서 떨어진다는 논리가 성립합니다.

이와 같이 기전력원에서 생성된 전압은 저항을 거치며 떨어지게 되는데요. 이 현상을 전압강하라고 합니다. 그렇다면 각 저항에서 떨어지는 전압강하는 얼마일까요?

옴의 법칙을 적용하면 구할 수 있어요. 먼저 저항 R_1에서 일어나는 전압강하의 크기 V_{R1}은 이 저항을 통과하는 전류 I와 저항 R_1의 곱으로 주어집니다.

즉, 다음과 같아요

\tag{2}
V_{R1} = I R_1 = (4.7 \times 10^{-3}~ \mathrm{A})(2.2 \times 10^{3} ~\mathrm{\Omega})~ \approx 10\mathrm{V}

(2)식이 뜻하는 것은 c점 15 V의 전압이 저항을 거쳐 d점으로 오면서 10 V의 전압이 강하된다는 의미입니다.

그렇다면 [그림 4]에서 d점과 e점의 전압은 얼마가 되어야 할까요? 네 맞습니다. 전원전압 15 V에서 10 V를 뺀 5 V가 됩니다.

이 말은 저항 R_2를 거치며 떨어지는 전압 강하 V_{R2}가 5 V가 되어야 한다는 의미이기도 합니다. 실제로 구해보면 아래 (3)식처럼 약 5 V가 나옵니다.

\tag{3}
V_{R2} = I R_2 = (4.7 \times 10^{-3}~ \mathrm{A})(1.0 \times 10^{3} ~\mathrm{\Omega})~ \approx 5\mathrm{V}

정리하면, 기전력원에서 생성되는 기전력은 전류 흐름 방향에 놓여진 저항을 거치며 떨어집니다.

역으로 전류 흐름 방향과 반대 방향을 생각하면 저항을 거치며 전압은 올라갑니다.

예를 들어 d점에 비해 c점의 전압이 10 V 더 크다는 의미입니다.

이때 전압 강하의 크기만큼 전압이 상대적으로 올라간다는 뜻이지 저항이 기전력원이 된다는 뜻은 아닙니다.

2. 키르히호프 법칙

지금까지 기전력, 전류, 저항, 전압강하에 대한 이야기를 했습니다. 이러한 개념들을 바탕으로 이제부터 본격적으로 키르히호프 법칙 개념을 함께 공부해봐요.

키르히호프 법칙은 분기점의 법칙(junction rule)과 고리법칙(loop rule)이라는 두개의 법칙으로 구성되어 있습니다.

2-1. 분기점의 법칙

분기점의 법칙은 회로의 한 지점에서 도선들이 분기할 때 그 분기점으로 흘러들어오는 전류의 합은 흘러나가는 전류의 합과 같다는 법칙입니다. 분기점의 법칙을 교차점의 법칙으로 부르는 경우도 있어요.

이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

\tag{4}
\sum_{분기점} I = 0

즉, 분기점으로 들어오고 나가는 모든 전류의 합이 0이라는 의미입니다.

예를 들어 설명드릴게요. 아래 [그림 5]의 회로를 보아주세요.

그림 위쪽에 분기점 A가 있는데요. 분기점의 법칙에 따라 이 분기점으로 들어오는 전류와 나가는 전류는 같아야 합니다.

그런데 과연 어느 쪽에서 전류가 들어오고 어느쪽으로 나가는 걸까요? 이것을 정확히 모르니 키르히호프 법칙을 사용하는 것인데 처음부터 이것을 결정해야 하니 당황스러울 수 있어요.

결론을 말씀드리면 전류가 어느 쪽으로 들어오고 나가는지는 여러분들이 임의로 결정하면 됩니다.

그러니까 [그림 5]에 표시한 것처럼 분기점 A로 전류 I_1과 I_2가 들어오고 I_3로 나가는 것으로 설정했다고 보겠습니다.

들어오는 전류를 +, 나가는 전류를 -로 하여 (4)식을 쓰면 아래와 같습니다.

\tag{5}
\sum_{분기점} I = I_1 + I_2 - I_3 =0

또는 전류 I_1이 흘러들어오고 I_2와 I_3가 나가는 것으로 설정해도 됩니다. 이때는 식을 다음과 같이 만들면 됩니다.

\tag{6}
\sum_{분기점} I = I_1 - I_2 - I_3 =0

다만 들어오는 전류만 있거나 나가는 전류만 있는 형태는 안됩니다. 왜냐하면 들어오고 나가는 전류의 합이 0이 되어야 하는데 이 경우에는 0이 아니기 때문이에요.

정리하면 어느 분기점으로 들어오고 나가는 전류의 방향은 여러분 마음대로 결정하시면 됩니다. 다만 한번 결정하면 계산과정에서 중간에 바꾸면 안되요.

마지막으로 분기점의 법칙은 전하량 보존의 법칙(conservation of charge)에 근거하고 있음을 참고하세요. 전하는 회로내에서 사라지거나 새로 생성되지 않아요. 들어왔으면 그대로 나가야 합니다.

2-2. 고리 법칙

다음은 고리 법칙을 설명드립니다.

고리 법칙은 닫힌 회로에서 전압 변화량의 합이 0이 되어야 한다는 법칙입니다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

\tag{7}
\sum_{고리} \Delta V = 0

복잡해보이는데요. 이번에도 예를 들어 설명드립니다. 아래 [그림 6]을 보아 주세요.

두개의 그림이 있는데요. 왼쪽 그림을 보세요.

각 지점마다 소문자 알파벳이 표기되어 있어요. 그리고 회로의 한 부분에 회전하는 그림이 그려져 있는데요. 그것을 고리의 방향으로 보시면 됩니다.

고리 법칙에 따르면 회로의 어느 한 지점을 시작으로 고리 방향을 따라 한바퀴 도는 동안 전압 변화량의 합이 0이 되어야 합니다.

이를 적용해 볼께요.

어느 점에서 시작하든 상관 없는데요. 저는 a점을 시작으로 abcda로 고리 방향을 설정하겠습니다. 이 고리를 따라 전압 변화량의 합을 구하면 됩니다.

이때 부호 규약을 잘 지켜야 합니다. 앞에서 말씀드린 내용만 잘 이해하시면 아래의 부호규약을 외울 필요없이 모두 이해하실 수 있을거에요.

부호규약에 따르면, 고리 방향으로 기전력원이 음극-양극 순으로 연결되어 있으면 전압 변화량은 양수이고, 양극-음극 순으로 연결되어 있으면 전압 변화량은 음수입니다. 또한 고리 방향과 전류 방향이 같으면 저항에서 전압강하로 인한 전압 변화량은 음수이고, 고리의 방향과 전류의 방향이 반대이면 전압 변화량은 양수가 됩니다.

a점에서 b점으로 가는 동안 기전력원이 음극-양극 순으로 되어 있으므로 \epsilon_1만큼 전압이 증가합니다. 그리고 저항 R_1이 있는데요. 이 저항을 통과하는 전류가 I_1이므로 전압강하는 -I_1 R_1이 됩니다.

b점에서 c점 사이에는 아무런 부품이 없으므로 넘어갑니다.

c점에서 d점 사이에는 저항 R_2가 있어요. 그런데 이 저항을 통과하는 전류가 I_2인데 고리 방향과 반대방향으로 흐릅니다. 그러므로 부호 규칙대로 전압강하는 I_2 R_2로서 양수를 적용해야 합니다. 기전력원 \epsilon_2는 양금-음극 순으로 되어 있으므로 전압 변화량은 음수가 됩니다.

그러므로 회로 abcda에 대한 고리 법칙은 다음과 같습니다.

\tag{8}
\sum_{고리} \Delta V = \epsilon_1 -I_1 R_1 +I_2 R_2 -\epsilon_2 =0

동일한 방식으로 [그림 6]의 오른쪽 그림에서 회로 abcefda에 대한 고리 법칙은 다음과 같습니다.

\tag{9}
\sum_{고리} \Delta V = \epsilon_1 -I_1 R_1 - I_3 R_3 =0

참고로 고리의 방향을 어떻게 설정할지, 어느 회로의 전압 변화량을 구할 것인지는 여러분들이 임의대로 선택하시면 됩니다.

또한 고리 법칙은 단위 전하당 위치에너지와 관련된 것으로 에너지 보존 법칙(conservation of energy)을 근거로 하고 있습니다. 시작점에서 출발하여 회로를 한바퀴 돌아 처음 시작 위치로 되돌아오면 전기 위치에너지 변화량은 0이 되어야겠지요.

지금까지 분기점 법칙과 고리 법칙으로 구성된 키르히호프 법칙 원리에 대해 말씀드렸습니다. 그렇다면 회로에 흐르는 각 전류 I_1, ~I_2, ~I_3는 어떻게 구할 수 있을까요?

분기점 법칙과 고리법칙을 통해 (5)식, (8)식, (9)식과 같은 여러 개의 식들을 만든 후 서로 연립하여 풀어내면 됩니다.

3. 키르히호프 법칙 예제 풀이

예제를 하나 풀어보겠습니다.

아래 [그림 7]에 제시된 I_1,~I_2,~I_3를 구해보세요.

첫번째로 분기점의 법칙을 적용합니다. 분기점 e를 기준으로 다음의 식이 만들어 집니다. 이때 들어오는 전류는 +, 나가는 전류는 -로 정하겠습니다.

\tag{q-1}
I_3 + I_1 - I_2 =0

두번째로 고리법칙을 적용합니다. 저는 [그림 7]에 표기한 것처럼 고리 방향을 잡도록 하겠습니다. 고리 방향도 꼭 저렇게 해야 한다고 정해진 것이 아닙니다. 반대방향으로 설정해도 부호 규약을 잘 적용하기만 하면 됩니다.

우선 bcde 고리에 대한 전압변화량의 합은 다음과 같습니다. 고리 방향에 대해 전지가 양-음의 순으로 되어 있으므로 전압변화량은 음수가 되며, 고리 방향과 저항을 통과하는 전류의 방향이 반대이면 저항에서의 전압 변화량은 양수입니다.

\tag{q-2}
-3.0~\mathrm{V}+(2.0~\Omega)I_2 + (2.0~\Omega)I_3 =0

같은 방식으로 abefg 고리에 대한 전압변화량의 합은 다음과 같습니다.

\tag{q-3}
-(2.0~\Omega)I_3 + (4.0~\Omega)I_1 +6.0~\mathrm{V} =0

이제 위에서 도출한 (q-1), (q-2), (q-3)식을 연립하여 풀면 다음과 같습니다.

\tag{q-4}
I_1 = -0.9~\mathrm {A},~I_2 = 0.3~\mathrm{A}, ~ I_3 = 1.2~\mathrm{A}

그런데 I_1의 값이 음수로 나왔는데요. 이것은 [그림 7]에서 제시된 I_1의 반대 방향으로 실제 전류가 흐른다는 것을 의미합니다.

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